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1.2.1任意角的三角函数定义


第一课时

1、复习旧知 1、终边相同的角的集合:

{? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z}
0

或{? | ? ? ? ? k ? 2? , k ? Z}
2、特殊角的度数与弧度数的对应值表:
度 弧 度

0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

2、引 入 (1)初中时学过的锐角三角函数的定义 如图:在Rt△ABC中,

A

b sin ? ? c b tan ? ? a

a cos? ? c

c

b
C

? B a

思考:任意角的三角函数如何定义呢?

(2)探究:在直角坐标系中,锐角 ? 的三角函数能用其终 边上的点的坐标表示吗? y
r ?| OP |? 记 x2 ? y2 = 1

MP sin ? ? OP

= =

y ry

P( x, y)
P( x, y)

OM cos? ? OP
MP tan ? ? OM

x x r

?
O M x

y = x

3、任意角三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么: y

(1)y叫做α 的正弦(sine), 记作sinα ,即sinα =y (2)x叫做α的余弦(cosine), 记作cosα,即cosα=x
y (3) x 叫做α的正切(tangent), y

O

?

x

P(x,y)

记作tanα,即tanα=

x

(x≠0)

统称为三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变 量,以单位圆上点的坐标或坐标比值为 函数值的函数,我们将它们统称为三角 函数。 由于角的集合与实数集之间可以建立 一一对应关系,三角函数可以看成是 自变量为实数的函数.

二:知识迁移 【例1】:如图已知角α的终边与单位圆的交点是

解:根据任意角的三角函数定义: 1 1 3 P(? , cos ? ? ? 2 sin ? ? 2 2

1 3 ,求角α的正弦、余弦和正切值。 P(? , ) 2 2 y
3 ) 2

?
O x

tan? ? ? 3

【例2】:

5? 例1求 的正弦、余弦和正切值. 3
解:在直角坐标系中, 作 5? ?AOB ? , 则?AOB与单位圆 3 1 3 的交点坐标为 ( ,? ) 2 2

y
5? 3

5? 3 sin ?? 3 2 5? 1 cos ? 3 2 5? tan ?? 3 3

M O
B

A x

2? 变式:求角 的正弦、余弦和正切值。 3
解:在直角坐标系中,作 2? ?AOP ? , 则?AOP与单位圆 3 1 3 的交点坐标为(? , ) 2 2

y P(x,y)
2? 3
M O

2? 3 sin ? 3 2

2? tan ?? 3 3

2? 1 cos ?- 3 2

x
A

例3:已知角α的终边经过点 P0 (?3,?4) ,求角α的正弦、 余弦和正切值。
解: | OP0 |? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5

如图,设角?与单位圆交于点 P( x, y) 分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M 0 P0,则
| M 0 P0 |? 4, | MP |? ? y, | OM 0 |? 3, | OM |? ? x.

y
M
O

| M 0 P0 | y ? | MP | 4 sin ? ? y ? ? ?? ?? 1 | OP | | OP 5 0 |
cos? ? x ? | OM 0 | x ? | OM | 3 ? ?? ?? 1 | OP | | OP 5 0 | sin ? 4 tan ? ? ? cos ? 3

?OM 0 P0∽ ?OMP

M0

x

P( x, y)
P0 (?3,?4)

y 设?是一个任意角,在?的 终边上任取(异于原点的)一 点P(x,y),P与原点的距离
P( x,y )

r

?
o

r ? x ?y ?0 y sin ? ? r x cos ? ? r y tan ? ? (x ? 0) x
2 2

x

变式2:已知角α的终边经过点 P(?1, 3,求角 α的正 ) 弦、余弦和正切值。

y 3 cos ? ? x ? ? 1 ? ? 1 sin ? ? ? r 2 2 r 2 y 3 tan? ? ? ?? 3 x ?1
变式3:已知角α的终边经过点 P(?t , 3t,求角 α的正 )

弦、余弦和正切值。

1、任意角三角函数的定义: 若已知角α终边与单位圆交于点P(x,y),则:
sin ? ? y cos? ? x y tan ? ? ( x ? 0) x 2、解题方法总结

(1)已知交点P的坐标,直接用定义 (2)已知角,则先求交点P的坐标再用定义

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 1 ?1 0 0 不存在 0

3? 2

2?

第二课时

知识建构

x2 ? y 2
y r x r y x
R R

三个三角函数在各象限的符号
y sin ? ? r
y + +

x cos ? ? r
x

y

y tan ? ? x
y
+ o + - x

+ + x

o

-

-o

y

sin ? 全为+
tan ?
o

记法:
一全正 二正弦 三正切 四余弦

cos?

x

心得:角定象限,象限定符号.

例 1:确定下列三角函数值的符号: (见课本 P14) ? 11? (1) cos 250 ; (2) sin( ? ) ; (3) tan(?672 ) ; (4) tan 4 3

解: (1)因为

250 ?是第三象限角,所以 cos 250 ? ? 0;

(3) ? 672? ? 48? ? 2 ? 360? 因为48?在第一象限, 所以tan(?672?) ? 0; 11? 5? (4) ? 2? ? ,终边在第四象限 3 3 11? ? tan ?0 3

? ? ? (2)因为 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? ? 0; 4 ? 4?

?

如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?

360?? 角的三角函数值 .

例 2:求下列三角函数的值: (见课本 P14) 9? 11? 9? ), (1) cos , (2) tan(? (3) sin . 4 6 2

9? ? ? 2 解: (1) cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? ; 4 4 4 2
11? ? ? 3 (2) tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? . 6 6 6 3

9? ? ? (3)sin ? sin( ? 4? ) ? sin ? 1; 2 2 2

4.三角函数线的定义

我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向, 与坐标轴相反的方向为负方向).
y

P
x

? 的终边

M?
? 的终边
P?
o M

T P MA
(1,0)

sin ? ? y= MP

P

cos ? ? x ? OM

M

A T

y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA

T M P A

MA
P T

这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 分别叫做角? 的正弦线、余弦线、正切线.统称为 三角函数线.
T P
M A

P M

T A T
M P

A

MA

P T

当角? 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线分别 变成一个点;此时角 ? 的正弦值和正切值都为0 当角? 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点, 正切线不存在.此时角? 的正切值不存在。

题组一

?sin ? ? 0 例 3:若不等式 ? 成立,则 ? 为第几象限角 ? tan ? ? 0
解:

设? 终边上一点为P(x, y) y 由sin ? ? ? 0得y ? 0; r y 再由 tan ? ? ? 0可得x ? 0 x ? P( x, y )在第三象限,从而知? 是第三象限角。

题组二

4? 例4.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

变式.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线. ? 2? ( 1) ;(2)? . 3 3


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