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3.3.2函数的极值与导数学案


预 习 学 案

班级: 班级:

姓名: 姓名:

课题:函数的极值与导数(学案)
编写人:蔡美丽 审核人:宋志光 李明春 使用时间 :2009-12 【使用说明】1、课前完成预习学案,牢记基础知识,掌握基本题型; 2、认真限时完成,规范书写;课上小组合作探究,答疑解惑。

一、学习目标:



1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 学习重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.

二、问题导学:
观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点 P 位置的特点
y y=f(x) P(x1,f(x1))

Q(x2,f(x2)) a x1 x x3 b x

点 Q 呢?点 P、点 Q 的位置怎样用导数来求?


三、合作、探究、展示: 合作、探究、展示:
例 1. 课本例 4)求 f ( x ) = . (

1 3 x ? 4 x + 4 的极值 3

新疆 王新敞
奎屯

y

o
总结求可导函数的极值的基本步骤与方法:

x

线

一般地,如果函数 y = f (x) 在某个区间有导数,可以用下面方法求它的极值:

① ; ③ ④



强调:要想知道 x0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f′( x0 )=0 左右侧导数的符号

1

例 2、函数 A、 B、

f ( x ) = x 3 ? ax 2 ? bx + a 2


在 x=1 时有极值 10,则 a,b 的值为( )

a = ?4, b = 1

a = 3, b = ?3


a = ?4, b = 11

a = ?4, b = 11

C、 D、 以上都不对 / 注意:f (x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2 3 例3、求y=(x -1) +1的极值 、
新疆 王新敞
奎屯

a = ?4, b = 11

四、课堂检测:
1、求下列函数的极值

(1 y = )

1 + x x

2、 y = 8 x 3 ? 12 x + 6 x + 1

2、 (2006 年天津卷)函数 f (x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′(x ) 在 (a, b) 内的图象如 y 图所示,则函数 f (x ) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A ) y = f ′ (x ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别

b a O x

3、已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx 在 x=1 处有极小值-1,则 f (2 ) 等于 4、函数 y = 2 x 3 ? 3 x 2 的极值情况为( )



A、在 x=0 处取得极大值 0,但无极小值 B、在 x=1 处取得极大值-1,但无极大值 C、在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极大值-1 D、以上都不对 5、函数 y = ax 3 + x + 1 有极值的充要条件是( A、a>0 B、a≥0 C、a<0 D、a≤0 )

6、设 f ( x ) = x ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 X 轴上的是( )
2

(

)

A、 (a,b) B、 (a,c) C、 (b,c) 7、已知函数 f ( x ) = x ? 3 x ? 9 x + 11
3 2

D、 (a+b,c)

⑴写出函数的单调区间; ⑵讨论函数的极大值或极小值,如有,试写出极值; ⑶画出它的大致图像。

五、课堂小结:
1、知识与方法方面: 2、数学思想方法方面:

六、反馈检测:
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 1.下列说法正确的是 A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 C.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值且 f′(x0)存在时,则有 f′(x0)=0 2.下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是 ①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数 y=

6x 的极大值为 1+ x2

A.3 B.4 C.2 D.5 3 4.函数 y=x -3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.函数 y = ( x + 1) 3 ,当 x=-1 时() A.有极大值 B.有极小值

3

C.既无极大值也无极小值 D.无法断定 6.y=2x3-3x2+a 的极大值为 6,那么 a 等于 A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 7.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值为___________. 8.曲线 y=3x5-5x3 共有___________个极值. 9.函数 y=-x3+48x-3 的极大值为___________;极小值为___________.

3 10.函数 f(x)=x- x 3 的极大值是___________,极小值是___________. 2
11. 若 函 数 y=x3+ax2+bx+27 在 x= - 1 时 有 极 大 值 , 在 x=3 时 有 极 小 值 , 则 a=___________,b=___________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分) 12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值.求这 个极小值及 a、b、c 的值.

2

13.函数 f(x)=x+

a +b 有极小值 2,求 a、b 应满足的条件. x

14.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 数的解析式.

1 时,f(x)的极小值为-1,求函 2

4


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