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广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科)


惠州市2013届高三第三次调研考试

数学试题(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

1 ? 3i 3 1.复数 i 的共轭复数是(
A. ?3 ? i

) C. 3 ? i ) D. 13 ) D. 3 ? i

B. ?3 ? i

6 ? ? 2 , 3? q ? ? x , ? ? p?q 2.已知向量 p , ,且 p // q ,则 的值为(
A. 5 3.已知集合 A. B. 13 C. 5

A ? ??1 , 1?



B ? ? x ax ? 1 ? 0?
B.

,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为( C.

??1?

?1?

1 ??1,?

D.

0 1 ??1, ,?

1 2 ( , ) log 4 f (2) 4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 2 2 ,则 的值为(



1 A. 4
5.“ m ? n ? 0 ”是“方程

1 B. - 4
mx 2 ? ny 2 ? 1

C.2 表示焦点在y轴上的椭圆”的( )

D.-2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶 图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20
·1·

y 7.已知 x , 满足约束条件
A. ?14 8.数列{ A.76

?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y ?x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
C. ?16

的最小值为(

) D. ?17 ) D.82

B. ?15

an } 中, an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则数列{ an }前 12 项和等于(
B.78 C. 80

二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分) (一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9. 在等比数列

?an ? 中,a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项



Sn ? 127

, .

则 n 的值为

10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为 ________.

x2 y2 ? ?1 a 2 b2 11 . 已 知 双 曲 线 的一个焦点与抛线线
y2 ? 4 1 0 x
的焦点

10 重合,且双曲线的离心率等于 3 ,则该双曲线的方程
为 .

? ? 12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题
中正确的有 .

n 则 ? 则 ① 若m‖? ,‖? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; m 则 n 则 ③ 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, f ? x? ? ? 2 ?a x ? a ,x ? 1 f ? x? ?0 , ?? ? ? 13.已知函数 .若 在
·2·

上单调递增,则实数 a 的取值范围为 . (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, PA 切 ? O 于点 A ,割线 PBC 经过圆心 O ,OB ? PB ? 1 ,OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长为 .

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A 、 B 的极

(3, ) (4 , ) 3 , 6 ,则△ AOB (其中 O 为极点)的面积 坐标分别为
为 .

?

?

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ?R , 0 ? ? ? ? ) ,且函

?? ? ? y ? f ? 2x ? ? x? 4 ? 的图像关于直线 ? 6 对称. 数
(1)求 ? 的值;

f (? ?
(2)若

2? 2 )? 3 4 ,求 sin 2? 的值。

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满 分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 下图的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在

50 100 60 ? 40 , ? ,?50 , ? ,…,?90 , ? 后得到如

50 100 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学

生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。

·3·

18. (本小题满分14分)如图,在长方体 棱 AB 上移动. (1)证明:

ABCD ? A1 B1C1D1

中,

AD ? AA1 ? 1

, AB ? 2 ,点 E 在

D1 E ? A1 D



(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面

ACD1

的距离;

(3) AE 等于何值时,二面角

D1 ? EC ? D

? 的大小为 4 ?

·4·

1 x 19. (本小题满分14分)已知点(1, 3 )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数


{an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足:

Sn - Sn?1 = Sn + S n ?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列

{an } 和 {bn } 的通项公式;

1 cn ? bn ? ( )n {c } 3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ; (2)若数列 n 的通项
1 } bn bn ?1

(3)若数列{

1000 T ? T 前 n 项和为 n ,问 n 2009 的最小正整数 n 是多少?

x2 y 2 l:x? M: 2? ?1 a ? 2 F1 ,直线 a 2 20. (本小题满分14分)设椭圆 的右焦点为 ???? ???? OF ? 2 F1 A 交于点 A ,若 1 (其中 O 为坐标原点) .

?

?

a2 a2 ? 2 与 x 轴

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆

N : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直径
2

·5·

的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

21. (本小题满分14分)已知函数

f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax ? a ? R ? 3 .

(1)若 x ? 2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值;

? ?3 , ? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 y ? f (x) 在

?1 ? x ? + b 1 f ?1 ? x ? ? a?? 3 x 有实根,求实数 b 的最大值。 2 时,方程 (3)当
3

·6·

惠州市2013届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i 3 1. 【解析】 i .故选D.
2. 【解析】

2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 ? 6) 3)

.故选B.

3. 【解析】 a ? 0或1或 ?1 .故选D.

1 2 1 ? 2 1 1 1 ? ( )2 ? ? ? ( , ) ( ) ? f ( x) ? x? ,图象过点 2 2 得 2 2 2 2, 4. 【解析】由设

log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?

1

1 4 .故选A.

mx 2 ? ny 2 ? 1 ?
5. 【解析】

x2 y 2 ? ?1 1 1 1 1 m?n?0?0? ? m n m n ,即 p ? q .故选C. ,

6. 【解析】甲中位数为19,甲中位数为13.故选A. 7. 【解析】最优解为 8. 【解析】

(?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 ?

.故选B.

an ? 2 ? an ? (?1)n (2n ? 1) ? (2n ? 1)



5, 6 10 取 n ? 1, 9 及 n ? 2 ,, ,
结果相加可得

S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78

.故选

B. 二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题, 每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.

9.7

10.3

x2 ? y2 ? 1 11. 9

12.④
·7·

13.

2 ?1, ?

14. 7

15.3

9. 【解析】

Sn ? 127 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 .答案: 7 .

k k k k 10. 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3.
11. 【解析】抛线线

y 2 ? 4 10 x

0 的焦点 ( 10 , ) ? a ? b ? 10 .
2 2

e?

x2 10 10 ? ? a ? 3? b ?1 ? y2 ? 1 a 3 .答案: 9 .

n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;
m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.

1 12 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x 2 13. 【解析】 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1

? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵PA切 ? O 于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA, ∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD中由余弦定理,
? ?

得: PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos ?POD
2 2 2

1 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 2 = .
解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵ ?POD ? 120 ,
?

∴ ?DOB ? 60 ,
?

OE ?
可得

3 1 DE ? 2 ,在 Rt ?PED 中, 2,
25 3 ? ? 7 4 4 .答案: 7 .

PD ? PE 2 ? DE 2 ?


? ? 1 (3 , ) (4 , ) S? ABC ? OA? OBsin?AOB ? 3 , 6 ,则 2 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为
·8·

1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 2 6 (其中 O 为极点) .答案3.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ ∴函数

f ( x) ? sin ? x ? ? ?

,……………………………………2分

f ? x?

的最小正周期为 2? .……………………………………3分

?? ? ? ? ? y ? f ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? ? ? ,……………………………………5分 ∵函数
又 y ? sin x 的图像的对称轴为

x ? k? ?

?
2 ( k ?Z ) ,………………………………6分

2x ?


?
4

? ? ? k? ?

?
2,

x?


?
6 代入,得

? ? k? ?

?
12 ( k ?Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

??

11? 12 .……………………………………7分

f (? ?
(2)解:

2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) 3 4 3 12 4 2 ,…9分

sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4 ………12分

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .…………………………1分 解得 a ? 0.03 .………………………………………………………………………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3分 由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.………………………………………5分

·9·

(3)解:成绩在 成绩在

50 ? 40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,………………

6分

?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
C62 ? 15

……………………………………7分 ………………… 9分

若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有 如果两名学生的数学成绩都在

50 100 ? 40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内,那么这两名学生的数学 50 100 ? 40 , ? 分数段内,另一个成绩在 ?90 , ? 分数
10分 ……11分
2 2 C2 ? C4 ? 7

成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在

段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.………………… 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为

所以所求概率为

P?M ? ?

7 15 .……………………………………………………………………13分
AD ? AA1 ? 1

18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接

D1 B

,依题意有:在长方形

A1 ADD1

中,



四边形A1 ADD1 ?

A1D ? AD1 ? ? ? A1D ? 平面AD1B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E D1 E ? 平面AD1B ? AD ? AB ? A? ? .……… 4分
AB 2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,

(2)解: AC ?

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,

cos ?AEC ?

1? 2 ? 5 2 ?? 2 , 2 ? 1? 2

? sin ?AEC ?

2 2 .

1 2 1 S?AEC ? ?1? 2 ? ? 2 2 2 ,…………… 6分 ∴

1 1 1 2 2 2 2 VD1 ? AEC ? ?1? ? 3 2 6 . AD1 ? AA1 ? DA ? 2 , D1C ? D1C1 ? CC1 ? 5 ,

·10·

5? ? sin ?D1 AC ?

1 1 3 10 3 2 ? 3 10 S?A1DC ? ? 2 ? 5 ? ? 10 .∴ 5 2 10 2.

1 3 1 1 VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? ACD1 3 2 6 3. 设点 E 到平面 的距离为 d ,∴ 1 的距离为 3 . ………………………………………………… 8分

∴点 E 到平面

ACD1

DF ?DFD1 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 1 .由三垂线定理可知, 为二面角
D1 ? EC ? D
的平面角.



?DFD1 ?

?
4,

?D1DF ?

?

2 , D1D ? 1 ? DF ? 1 . ……………………… 10分

sin ?DCF ?

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ?BCF ? DC 2 6 ,∴ 3 .…………………… 12分

tan


?
3

?

BE ? BE ? 3 BC , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 .

? D ? EC ? D 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 1 的平面角为 4 .…………………………… 14分
19. (本小题满分14分)

1 ? f x ??1? ? ? ? ? Q f ?1? ? a ? ?3? 3, 解: (1)

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? 9 ? ? ? ? 3 , , 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27

.

4 a 2 1 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c a3 ? 2 3 3 ?an ? 成等比数列, 27 又数列 ,所以 c ? 1 ;
2 2

·11·

q?
又公比

a2 1 2?1? ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n ? N*

;……………………2分

Q S n ? S n ?1 ?


?

S n ? S n ?1


??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1


?

? n ? 2?

bn ? 0


n

Sn ? 0

? S n ? S n ?1 ? 1

数列

? S ? 构成一个首相为1公差为1的等差数列,
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n



Sn ? n 2

2 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;又其满足 b1 ? c ? 1 , 当

? bn ? 2n ? 1 n ? N * ( );
n n

……………………………… 5分

?1? ?1? ? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ?3? ? 3 ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn (2) ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ?3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4 1 2 3 3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①式减②式得:



n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? …… 7分

2 n ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ?3? ? ? 3? ? 2 1 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2( n ? 1) ? ? 1 ? Rn ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 ?3? ?3? 1? 3 化简: …… 9分

所以所求

Rn ? 1 ?

n ?1 3n

…………………………………………

10分

Tn ?
(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
·12·

…… 12分

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ; …… 13分



Tn ?

n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2009 得 9 ,满足 2009 的最小正整数为112. ………… 14分

20. (本小题满分14分)

A(
解: (1)由题设知,

a2 a2 ? 2

, 0)


F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,………………………………1分



???? ???? OF1 ? 2 AF1 ? 0
2

? a2 ? a 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? 2 ? ? 2 ? ? a ?2 ? ,…………………………3分 ,得

解得 a ? 6 .

所以椭圆 M 的方程为 (2)方法1:设圆

M:

x2 y2 ? ?1 6 2 .……………………………4分
2

N : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N ,

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6分

?

??

?

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

? …………………………………………7分

??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? NP ? NF ? NP ? 1 .………………………………………………………………8分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设
2 2

2

P ? x0 , 0 ? y

,………………………………………10分

x0 y ? 0 ?1 2 2 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 .………………………………………………11分

N ?0,2 ? ,所以 NP ? x0 ? ? y0 ? 2? ? ?2? y0 ? 1? ? 12 .…………………12分 因为点
2 2 2 2

因为

y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?

,所以当

y0 ? ?1 时, NP 取得最大值12.…………………13分
2

所以 PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………………………14分 方法2:设点

E ( x1 ,1 ) , ( x2 , 2 ), P( x0 ,0 ) y F y y


·13·

因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 所以

? x2 ? ? x1 , ? ? y2 ? 4 ? y1.

………………………………………6分 …………………………………7分

??? ??? ? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 )

.………………………………………9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2)2 ? 1

,即

x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3

.………………10分

2 2 x0 y0 ? ?1 2 x 2 ? 6 ? 3 y0 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0 .…………………………11分

所以 PE ? PF 因为

??? ??? ? ?

2 ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11

.……………………………………12分
min

y0 ? [? 2 , 2]

,所以当

y0 ? ?1

? PE ? PF ? 时,

??? ??? ? ?

? 11

.………………………14分

方法3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6分

? y ? kx ? 2 1 x?? ? 2 2 x ? ( y ? 2) ? 1 ,解得 k 2 ? 1 .……………………………………………7分 由?
因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2

P ? x0 , 0 ? y



x0 y ? 0 ?1 2 2 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 .……………………………………………8分

??? ? 1 ? ? ? ??? ? ? k 1 k PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? k ?1 ?, ? ? 所以
…………………………………9分

所以

PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y0 ) 2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 2 k ?1 k ?1 .
……………………………………10分

因为

y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.……………11分

·14·

?x ? 0 ? 2 x ? ( y ? 2) 2 ? 1 ②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ? ,解得 y ? 1或 y ? 3 .
不妨设,

E ? 0 ,? 3



F ? 0 ,? 1



…………………………………………12分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2

P ? x0 , 0 ? y



x0 y ? 0 ?1 2 2 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 . ??? ? ??? ? PE ? ? ? x0 , ? y0 ? PF ? ? ? x0 ,? y0 ? 3 1
所以 所以 因为 ,

. .

??? ??? ? ? PE ? PF ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11
y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?
,所以当

y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.……………13分

综上可知, PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………14分 21. (本小题满分14分)

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? 2a ? 2 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 解: (1) .……1分
因为 x ? 2 为

f ? x?

的极值点,所以

f ? ? 2? ? 0

.…………………………………2分

2a ? 2a ? 0 即 4a ? 1 ,解得 a ? 0 .

…………………………………………3分 ……………4分

? 又当 a ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为 f ( x ) 的极值点成立.
(2)因为

f ? x?

在区间

?3, ?? ? 上为增函数,
2ax ? 1 ?0
在区间

所以

f ?? x? ?

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ?

?3, ?? ? 上恒成立.………5分

? [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增函数,故 ? ①当 a ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 2) ? 0 在
a ? 0 符合题意.…………………………………………6分
②当 a ? 0 时,由函数

f ? x?

的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,
·15·

? 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ? [3 , ?) 上恒成立.
2 2

……………………7分

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为
2 2

x ? 1?

1 4a ,

…………8分

因为 a ? 0 所以 因 为

1?

1 ?1 ? 4a ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g(3) ? 0 即可,
g ? 3? ?
?4a 2 ? a ? ? 6 ,


1



3 ? 13 3 ? 13 ?a? 4 4 .

……………………………………9分

因为 a ? 0 ,所以

0?a?

3 ? 13 4 .

? 3 ? 13 ? ?0 , ? 4 ? a 的取值范围为 ? 综上所述, .

……………………………10分

a??
(3)若

(1 ? x)3 b 1 b f (1 ? x) ? + ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? 3 x 可化为, 2 时,方程 x.
2 2 3

? ? 0 , ? ? 上有解, 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在
即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

………………………………11分

以下给出两种求函数 方法1:因为

g ? x?

值域的方法: ,令 h( x) ? ln x ? x ? x
2

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

( x ? 0) ,



h?( x) ?

1 (2x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x ,
?

………………………………12分

1) 所以当 0 ? x ? 1时, h ( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数, h 当 x ? 1时, ( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数,
因此 h(x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 ,
·16·

?

………………13分

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. 方法2:因为

………………………………………14分
2

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

? ,所以 g ( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x .
1 6 x2 ? 2 x ?1 ? 2 ? 6x ? ? x x .

设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则
2

p?( x) ?

0? x?


1? 7 1? 7 p? ? x ? ? 0 p ? x ? (0 , 6 ) 6 时, ,所以 在 上单调递增;

x?


1? 7 1? 7 ? p? ? x ? ? 0 p ? x ? ( 6 , ?) 6 时, ,所以 在 上单调递减;

? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p? p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 ? 6 ??0 ? p ?1? ? 0 e e e ? 因为 ,故必有 ? ,又 ? e ? ,

因此必存在实数

x0 ?(

1 1? 7 , ) g '( x0 ) ? 0 , e2 6 使得
,所以

? ) ?当0 ? x ? x时,g ( x ? 0 0
当 当

g ( x)在 ? 0 ,0 ? x

上单调递减;

x0 ? x ? 1时, ?( x) ? 0 g

,所以

g ( x)在 ? x0 ,1?

上单调递增;

x ? 1时, '( x) ? 0 , g 所以g ( x)在 ?1, ? ? ?

上单调递减;

1 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) 4 , 又因为
x ? 0时, x ? ln


1 ?0 4 ,则 g(x) ? 0 ,又 g(1) ? 0 .

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. …………………………………………14分

·17·


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