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解析几何学案(二)轨迹方程的求法


营口开发区高二数学解析几何学案(二)轨迹方程的求法 2015 年 11 月

第一类着眼于宏观(整个曲线) ,这时常有定义法与待定系数法
一、定义法 例 1. 已知 A(5 ,1) 、B(7 ,-3),求到 A、B 两点的距离相等的点的轨迹方程

练习 5. 过圆 x 2 ? y 2 ? 1外一点 A(2, 0)作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程

练习 1. 求过三点 A(5 , 1)、B(7 , -3)、C(2 , -8)的圆的方程 二、相关点法(转移代入法) 例 4.已知线段 AB 的端点 B(4, 3),端点 A 在圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的
2

练习 2. 求圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0关于直线x ? y ?1 ? 0的对称圆的方程

轨迹方程。

二、待定系数法 例 2. 求过点 A(2,0)的圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线方程 练习 6. ?ABC顶点B、C坐标分别是? ?3, ?1?、 , ? 21 ? 顶点 A 在圆 ? x+2 ? ? ? y-4 ? ? 4 上运动,
2 2

求 ?ABC的重心G的轨迹方程

练习 3.求过三点 A(5 , 1)、B(7 , -3)、C(2 , -8)的圆的方程(待定系数法) 练习 7.求圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0关于直线x ? y ?1 ? 0的对称圆的方程 (相关点法)
2 2

第二类着眼于微观(曲线上的点)探求动点横、纵坐标满足的关系式 f(x,y)=0 .一般有直接法、相关点法、参数法
一、直接法 例 3. 已知 A(5 ,1) 、B(7 ,-3),求到 A、B 两点的距离相等的点的轨迹方程 三、参数法 例 5. 已知圆方程为 x ? y ? 2 ? m ?1? x ? 4my ? 5m ? 2m ? 8 ? 0 ,求圆心轨迹方程
2 2 2

练习 8. 过圆 x ? y ? 1外一点 A(2, 0)作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程(参
2 2

练习 4. 求到两条平行线 3x+2y-6=0 与 6x+4y-3=0 的距离相等的点的轨迹

数法)

1

营口开发区高二数学解析几何学案(二)轨迹方程的求法 2015 年 11 月

建立了平面直角坐标系以后,坐标平面上的点就和有序数对建立了一一对应关系,点动成线,当 点运动时, 其坐标就会发生变化, 这种变化并不是毫无章法的, 其横坐标、 纵坐标是相互依赖的, 对这种关系的定量刻画就是曲线(含直线)的方程。 下面我们探讨如何求曲线的方程,求曲线的方程可以分为两大类:

d?

2k 1? k 2

?1? k ? ?

3 3

所以所求的切线方程为 y ? ?

3 ( x ? 2) 3

练习 3.求过三点 A(5 , 1)、B(7 , -3)、C(2 , -8)的圆的方程(待定系数法)

第一类着眼于宏观(整个曲线) ,这时常有定义法与待定系数法
一、定义法 例 1. 已知 A(5 ,1) 、B(7 ,-3),求到 A、B 两点的距离相等的点的轨迹方程 解: 线段 AB 中点 C(6 , -1), 直线 AB 的斜率 k= 即 x ? 2y ?8 ? 0 练习 1. 求过三点 A(5 , 1)、B(7 , -3)、C(2 , -8)的圆的方程 解: AB 的垂直平分线为:x-2y-8=0 AC 的垂直平分线为:x+3y+7=0 以上两条垂直平分线的交点即所求圆的圆心为 D(2,-3),
2 2 半径设为 R , R ? AD ? (2 ? 5) ? ? ?3 ? 1? ? 25 2 2

第二类着眼于微观(曲线上的点)探求动点横、纵坐标满足的关系式 f(x,y)=0 .一般有直接法、相关点法、参数法
一、直接法 例 3. 已知 A(5 ,1) 、B(7 ,-3),求到 A、B 两点的距离相等的点的轨迹方程 解: 设 P(x ,y)为所求轨迹上任一点,由题意得 PA ? PB , 即

1 1 ,所以所求直线为 y ? 1 ? ( x ? 6) 2 2

? x ? 5? ? ? y ?1?
2

2

?

? x ? 7 ? ? ? y ? 3?
2

2

化简得 x ? 2 y ? 8 ? 0

练习 4. 求到两条平行线 3x+2y-6=0 与 6x+4y-3=0 的距离相等的点的轨迹 解: 设 P(x ,y)为所求轨迹上任一点,由题意得 化简得 6x ? 4 y ?12 ? 6x ? 4 y ? 3
2 2

3x ? 2 y ? 6 13

?

6x ? 4 y ? 3 52

所求圆的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 25
2 2

所以所求方程为 12x + 8y – 15 = 0

练习 2. 求圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0关于直线x ? y ?1 ? 0的对称圆的方程
2 2

解: x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 写为 ? x-1? ? ? y-3 ? ? 1
2 2

练习 5. 过圆 x ? y ? 1外一点 A(2, 0)作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程

设圆心 C(1 ,3) 关于直线x ? y ?1 ? 0 的对称点为 C?(a,b)

?b ? 3 ? ?1 ? ?a ? 4 ? a ?1 则? ?? ? a ? 1 ? b ? 3 ? 1 ? 0 ?b ? 0 ? ? 2 2
三、待定系数法

2 所以所求圆的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 1 2

O

A

例 2. 求过点 A(2,0)的圆 x ? y ? 1的切线方程
2 2

解:所求直线的斜率一定存在,直线方程为 y ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 0

2

营口开发区高二数学解析几何学案(二)轨迹方程的求法 2015 年 11 月

二、相关点法 例 4. 已知线段 AB 的端点 B(4, 3),端点 A 在圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的
2

轨迹方程。

练习 6. ?ABC顶点B、C坐标分别是? ?3, ?1?、 , ? 21 ? 顶点 A 在圆 ? x+2 ? ? ? y-4 ? ? 4 上运动,
2 2

求 ?ABC的重心G的轨迹方程

练习 7.求圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0关于直线x ? y ?1 ? 0的对称圆的方程 (相关点法)

三、参数法 例 5. 已知圆方程为 x ? y ? 2 ? m ?1? x ? 4my ? 5m ? 2m ? 8 ? 0 ,求圆心轨迹方程
2 2 2

练习 8. 过圆 x ? y ? 1外一点 A(2, 0)作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程(参
2 2

数法)

3



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