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高考数学二轮专题突破训练精选卷——概率与统计、排列组合、平面向量、数列、函数、三角函数专题大合


广东省揭东县登岗中学 2009 届高考数学二轮专题突破训练
2009 届高考数学二轮专题突破训练——概率与统计 届高考数学二轮专题突破训练—— ——概率与统计
小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 一,选择题: 选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1, 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩, 统计如表, 则这 100 人成绩的标准差为 ( ) 分 数 人数 A. 3 B. 5 20 C.3 4 10 D. 3 30 2 30 1 10

2 10 5

8 . 5

2 从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同 学又有女同学的概率为( ) A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29

3,已知随机变量 ζ 服从正态分布 N(3,a2),则 P (ξ < 3) = A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

4,某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 是 A.

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 5 192 625 256 625

16 625

B.

96 625

C.

D.

5,某班级要从 4 名男生,2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

6,某校共有学生 2000 名,各年级男,女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( C ) A.24 B.18 C.16 一年级 二年级 三年级 D.12
1

7,4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和 为奇数的概率为( ) A.

女生 男生

373 377

x
370

y z

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

8,明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲,乙两个闹钟叫醒自己, 假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一准时 响的概率是( ) A.0.9 B.0.95 C.0.98 D.0.97 9,电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任 : : 一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 A.

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

10,两位大学毕业生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说: "我们要从面试的 人中招聘 3 人,你们俩同时被招聘进来的概率是 1 " ,根据这位负责人的话可以推断出参

70

加面试的人数为( ) A.21 B.35 C.42 D.706 11,一组数据的平均数是 2.8 ,方差是 3.6 ,若将这组数据中的每一个数据都加上 60 ,得 到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A. 57.2 3.6 B. 57.2 56.4 C. 62.8 63.6 D. 62.8 3.6 12,已知 k ∈ Z , AB = ( k ,1), AC = (2, 4) ,若 概率是( A. ) B.

uuu r

uuur

AB ≤ 10 ,则△ABC 是直角三角形的
3 7 4 7
六 个 点 :

uuuu r

1 7

2 7

C.

D.

个小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 6 个小题.把答案填在题中横线上. 填空题: 13 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,



A(0, 0),B (2, 0),C (1,1),D (0, 2),E (2, 2),F (3,3) 中任取三个, 这三点能构成三角形的
概率是_________________(结果 用分数表示) 14, 为了调查某厂工人生产某种产 品的能力,随机抽查了 20 位工人 某天生产该产品的数量, 产品数量 的分组区间为 [45, 55) , [55, 65) ,

[65, 75) ,[75,85) ,[85,95) ,由
2

此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 [55, 75) 的人数 是 .

15,已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a,b 的取值分别是__________________ 16,某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如题(16)图所示的 6 个点 A, B,C,A1,B1,C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯 泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种(用数字作答). 17, 一个单位共有职工 200 人, 其中不超过 45 岁的有 120 人, 超过 45 岁的有 80 人. 为了调查职工的健康状况, 用分层抽样 的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人. 18,从甲,乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 乙

27 7 5 28 4 5 29 2 5 8 7 3 30 4 6 7 9 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 32 0 2 2 4 7 9 7 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 解答题 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 9 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19,现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄语,

C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语,俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.
(Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.
3

20,为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树,沙柳等植物.某人一次种植 了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学 期望 Eξ = 3 ,标准差 σξ 为

6 . 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ξ 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

21,甲,乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲,乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲,乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列.

22,随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件,二等品 50 件,三等 品 20 件,次品 4 件.已知生产 1 件一,二,三等品获得的利润分别为 6 万元,2 万元,1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ . (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?
4

23,甲,乙,丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面 试合格就签约.乙,丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人 面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ξ 的分布列和数学期望.

24,某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得

1 ~ i (i = 1, 3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其 2,
各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.

25,设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率位 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的. (Ⅰ)求进入该商场的 1 位顾客购买甲,乙两种商品中的一种的概率 (Ⅱ)求进入该商场的 3 位顾客中,至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概 率

5

26,甲,乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1 与 p ,且乙投球 2

1 . 16 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ;
2 次均未命中的概率为 (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲,乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

27,一个袋中装有大小相同的黑球,白球和红球,已知袋中共有 10 个球,从中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 7 ;从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .求: 5 9

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数.

6

答案: 答案: 一,选择题 1,B 2,D 3,D 4,B 5,A 6,C 7,C 8,C 9,C 10,A 11,D 12,C 二,填空题 3 13,4 14,13 15,10.5 和 10.5 16,216 17,10

18, .乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的 (1) 纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2) .甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长 度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉 花的纤维长度的分散程度更大) . (3) .甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4) .乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种 棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 三,解答题 19 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语,俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件空间

= { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生 是等可能的. 用 M 表示" A1 恰被选中"这一事件,则

M = { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , (A (A

( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P ( M ) =

6 1 = . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示" B1,C1 不全被选中"这一事件,则其对立事件 N 表示" B1,C1 全被选 中"这一事件,

7

由于 N = { ( A1,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, (A (A 所以 P ( N ) =

3 1 1 5 = ,由对立事件的概率公式得 P ( N ) = 1 P ( N ) = 1 = . 18 6 6 6 3 1 1 2 20(1)由 Eξ = np = 3, (σξ ) = np (1 p ) = , 得 1 p = ,从而 n = 6, p = 2 2 2

ξ 的分布列为 ξ
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记"需要补种沙柳"为事件 A,

则 P ( A) = P (ξ ≤ 3),

P ( A) =

1 + 6 + 15 + 20 21 15 + 6 + 1 21 = , 或 P ( A) = 1 P (ξ > 3) = 1 = 64 32 64 32 A33 1 = , 2 4 C5 A4 40

21 解: (Ⅰ)记甲,乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) = 即甲,乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 . 40 A44 1 = , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)记甲,乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) = 所以,甲,乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) = 1 P ( E ) =

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件" ξ = 2 "是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P (ξ = 2) =
3 C52 A3 1 = . 3 C5 A44 4

所以 P (ξ = 1) = 1 P (ξ = 2) =

3 , ξ 的分布列是 4

ξ
P

1

3

1 4 126 50 22 解:1) 的所有可能取值有 6, 1, P (ξ = 6) = ( ξ 2, -2; = 0.63 , (ξ = 2) = P = 0.25 200 200
8

3 4

P (ξ = 1) =

20 4 = 0.1 , P (ξ = 2) = = 0.02 200 200

故 ξ 的分布列为:

ξ
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) Eξ = 6 × 0.63 + 2 × 0.25 + 1× 0.1 + ( 2) × 0.02 = 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E ( x) = 6 × 0.7 + 2 × (1 0.7 0.01 x) + (2) × 0.01 = 4.76 x(0 ≤ x ≤ 0.29)
依题意, E ( x ) ≥ 4.73 ,即 4.76 x ≥ 4.73 ,解得 x ≤ 0.03 所以三等品率最多为 3% 23 解 用 A,B,C 分别表示事件甲,乙,丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,且 P(A)=P(B)=P(C)=

1 . 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 P ( ABC ) = 1 P ( A) P ( B ) P (C ) = 1 ( )3 = . 2 8
(Ⅱ) ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

P(ξ = 0) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) =( ) + ( ) + ( ) =
3 2 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

P (ξ = 1) = P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) =( ) + ( ) + ( ) =
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8

1 P (ξ = 2) = P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = . 8 1 P (ξ = 3) = P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = . 8
9

所以, ξ 的分布列是

ξ
P

0

1

2

3

3 3 1 8 8 8 3 3 1 1 ξ 的期望 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 1. 8 8 8 8

1 8

24(Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i = 1, 3) ,则 P ( Ai ) = 0.8,P ( Ai ) = 0.2 , 2,

P( Ai Ai ) = P( Ai ) P( Ai ) = 0.2 × 0.8 = 0.16 .
(Ⅱ) ξ 可能取的值为 0,1,2,3.

ξ 的分布列为 ξ
P
0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8

Eξ = 0 × 0.008 + 1× 0.032 + 2 × 0.16 + 3 × 0.8 = 2.752 .
25 解: (Ⅰ)记 A 表示事件:进入该商场的 1 位顾客选购甲种商品; B 表示事件:进入该商场的 1 位顾客选购乙种商品; C 表示事件:进入该商场 1 位顾选购甲,乙两种商品中的一种. 则 C=(A B )+( A B) P(C)=P(A B + A B) =P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.5×0.4+0.5×0.6 =0.5 (Ⅱ)记 A2 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中恰有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选 购乙种商品; A3 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选购乙种商品; D 表示事件:进入该商场的 1 位顾客未选购甲种商品,也未选购乙种商品; E 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选购乙种商 品. 则 D= A B P(D)=P( A B )=P( A )P( B )=0.5×0.4=0.2 2 P(A2)= C 3 ×0.22×0.8=0.096 P(A3)=0.23=0.008 P(E)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=0.096+0.008=0.104
10

26(Ⅰ)解法一:设"甲投球一次命中"为事件 A , "乙投球一次命中"为事件 B ,由题意 得 (1 P ( B )) = (1 p ) =
2 2

1 , 16

3 5 3 或 p = (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 解法二:设"甲投球一次命中"为事件 A , "乙投球一次命中"为事件 B ,由题意得 1 1 1 3 P ( B ) P ( B ) = ,于是 P ( B ) = 或 P ( B ) = (舍去) ,故 p = 1 P ( B ) = . 16 4 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知, P ( A) = , P ( A) = . 2 2 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 P ( A A) = . 4 1 1 解法二:由题设和(Ⅰ)知, P ( A) = , P ( A) = . 2 2 3 1 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C2 P ( A) P ( A) + P ( A) P ( A) = . 4 1 1 3 1 (Ⅲ)解:由题设和(Ⅰ)知, P ( A) = , P ( A) = , P ( B ) = , P ( B ) = . 2 2 4 4
解得 p = 甲,乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲,乙两人各中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次均不中,乙中 2 次.概率分别为

C1 P ( A) P ( A)C1 P ( B ) P ( B ) = 2 2 P ( A A) P ( B B ) =

3 , 16

1 9 , P ( A A) P ( B B ) = . 64 64 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32

所以甲,乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 27(Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 10 ×

2 = 4. 5
2 C4 2 = . 2 C10 15

记"从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球"为事件 A,则 P ( A) =

(Ⅱ)解:记"从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球"为事件 B. 设袋中白球的个数为 x,则

P ( B ) = 1 P( B ) = 1
得到

2 C n 1 7 = , 2 Cn 9

x=5
11

2009 届高考数学二轮专题突破训练——排列组合 届高考数学二轮专题突破训练—— ——排列组合
小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 一,选择题: 选择题:本大题共 16 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1,某高校外语系有 8 名奥运会志愿者,其中有 5 名男生,3 名女生,现从中选 3 人参加某 项"好运北京"测试赛的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生,则不同的 选法共有( A.45 种
n

). B.56 种 C.90 种 D.120 种 )

2 2,若二项式 3x 2 3 (n ∈ N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 ( x
A 5
10

B

6

C7

D8

1 展开式中,含 x 的负整数指数幂的项共有( 3,在 x 2x
A.8 项 B.6 项 C.4 项

) D.2 项

4,某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传 广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则 不同的播放方式有 ( A.120 种 ) C.36 种 D.18 种

B.48 种

5,从 5 名奥运志愿者中选出 3 名,分别从事翻译,导游,保洁三项不同的工作,每人承担 一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有
12

(

)

A.24 种

B.36 种

C.48 种

D.60 种

6,有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同的坐法种数是( ) A.234 B.346 C.350 D.363

7,五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队不 能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有
1 4 A. C4C4 种 1 4 B. C4 A4 种 4 C. C4 种 4 D. A4 种

8,有两排座位,前排 4 个座位,后排 5 个座位,现安排 2 人就坐,并且这 2 人不相邻(一 前一后也视为不相邻) ,那么不同坐法的种数是 A.18 B.26 C.29 D.58

9,某次文艺汇演,要将 A,B,C,D,E,F 这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A, 两个节目要相邻, B 且都不排在第 3 号位置, 那么节目单上不同的排序方式有( A
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

1

2

3

4

5

6

)

192 种
10

B

新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

144 种

C

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

96 种 ( )

D

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

72 种

1 4 10,在 x 的展开式中, x 的系数为 2x
A 120
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w k 1 o c 王@ 王c王 新新

B 120
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

C 15
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

D 15
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

11,若 ( x + 1)5 = a0 + a1( x 1) + a2 ( x 1)2 + ... + a5 ( x 1)5 ,则 a0 = ( A.32 12,设 5x ( B.1 C.-1 D.-32

)

n x)的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N,若 M-N=240, 则展

开式中 x3 的系数为 A.-150 C.-500 B.150 D.500

13,2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援 南方地区抗灾救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤
13

货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在 同一小组.如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有() A.36 种 B.108 种 C.216 种 D.432 种

14,现有甲,已,丙三个盒子,其中每个盒子中都装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的六 张卡片,现从甲,已,丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列 的取法数为 ( A.14 B.16
8

) C.18
5

D.20 ) C. 28 ( ) D.1120 种 D. 28

15,若 ( x 1)( x + 1) 的展开式中 x 的系数是( A. 14 B. 14

16,甲,乙,丙,丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,丙,丁 两公司各承包 2 项,共有承包方式 A.3360 种 B.2240 种

C.1680 种

个小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 15 个小题.把答案填在题中横线上. 填空题: 17,从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的不同选法共有
3 4

种(用数字作答)

18, (1 + 2 x ) (1 x ) 展开式中 x 的系数为_______________. 19,从甲,乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲,乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有________________种. 20, x +



2 3 的二项展开式中 x 的系数为 x

5

(用数字作答) .

21, 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色 卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有 种(用数字作答) .

22,用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是 (用数字作答).

23,某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排
14

一个班,不同的安排方法共有

种. (用数字作答)

24,某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲,乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有___________种. (以数字作答) 25,要排出某班一天中语文,数学,政治,英语,体育,艺术 6 门课各一节的课程表, 要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 .

26,将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i = 1, L, ,若 a1 ≠ 1 , a3 ≠ 3 , 2, 6)

a5 ≠ 5 , a1 < a3 < a5 ,则不同的排列方法有
27, ( x +

种(用数字作答) .

4

1 x ) 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 x

(用数字作答) .

28, ( x ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是
n

1 x

. 种.

29,安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有 (用数字作答) 30, (1 + 2 x) 5 的展开式中的系数是 .. .(用数字作答)

31, 安排 3 名支教教师去 4 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答) 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 1 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 32,由 0,1,2,3,4,5 这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个?

种.

答案:一,选择题 1,A 2,C 答案: , , A 12,B ,

3,C 4,C 5,C 6,B , , , ,

7,B 8,D 9,B 10,C 11, , , , , ,

13,C 14,C 15,B 16,C , , , ,
15

二,填空题 17,420 , 25 25,288 , 三,解答题

18,2 ,

19,140 20,10 21,432 , , ,

22,40 23,240 24, , , ,

26,30 27,72 28,8 29,210 30,40 31,60 , , , , , ,

解: (1) A15 A35 = 300 (2) A35 + A12 A14 A2 4 = 156 (3) A13 A13 + A2 4 = 21 (4) A35 + A14 A2 4 + A13 + 1 = 112 .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练——平面向量 届高考数学二轮专题突破训练—— ——平面向量
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 一,选择题:本大题共 15 题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题: 1, 在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB = (2, 4) ,AC = (1, 3) ,则 AB =( AC 若 A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)
.m

uuu r

uuur

uuu r

)

uuuu r 2 若过两点 P1(-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P,则点 P 分有向线段 P P2 所成的比 λ 的 1
值为

1 1 1 C. D. 5 5 3 3,在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 uuur uuu r uuu r CD 交于点 F .若 AC = a , BD = b ,则 AF = ( )
A.- B. -

1 3

1 2 b 3 3 uuur uuu uuu r r uuu r 4,设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且 DC = 2 BD, CE = 2 EA,
A. B. C. D. a +

1 1 a+ b 4 2

2 1 a+ b 3 3

1 1 a+ b 2 4

uuur uuu uuu uuu r r r uuu r uuu r AF = 2 FB, 则 AD + BE + CF 与 BC
A.反向平行 C.互相垂直 B.同向平行 D.既不平行也不垂直

5,已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB = 0 ,则 OC = ( )

uuur uuu r

uuur

A. 2OA OB

uuu uuu r r
r

B. OA + 2OB

uuu r

uuu r

C.

r r A. a , b 方向相同

6,平面向量 a , b 共线的充要条件是(

r

r r 2 uuu 1 uuu OA OB 3 3

D. OA +

r 1 uuu 3

r 2 uuu OB 3

r r B. a , b 两向量中至少有一个为零向量
16

)

C. λ ∈ R , b = λ a

r

r

D. 存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1 a + λ2 b = 0

r

r

r

7,在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2 DC ,则 AD = (

uuu r

uuur

uuu r

uuur

uuur

)

5 2 2 1 1 2 b C. b c D. b + c 3 3 3 3 3 3 r r r r 8,已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 135° ,则 | a + λ b |> 1 的充要条件是
A. B. c A. λ ∈ (0, 2) C. λ ∈ ( ∞, 0) U ( 2, +∞) 9,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) , A. (1,1) B. (-1,-1) B. λ ∈ ( 2, 0) D. λ ∈ ( ∞, 2) U ( 2, +∞) 则 BC = (

2 1 b+ c 3 3

uuu r

uuur

uuu r

) D. (-3,-7) )

C. (3,7)

r r r r r 10,已知平面向量, b = ( 2, m) ,且 a // b ,则 2a + 3b =(
A, ( 5, 10) B, ( 4, 8) C, ( 3, 6) D, ( 2, 4)

11,设 a =(1,-2), b =(-3,4),c=(3,2),则 (a + 2b) c = A. ( 15,12) B.0 C.-3 D.-11

r

r

r

r r

, , 12,已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) λ a + b 与 a 垂直,则 λ 是( A. -1 B. 1 C. -2 13,设平面向量 a = (3,5), b = (2,1), 则a 2b = ______ B. (7, 7) C. (1, 7) A. (7,3) D. 2 D. (1,3)

r

r

r r

r

)

r
( )

r

14,已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为

π
3

,则 a + λ b 与 λ a b 互相垂直的充要条件是

r

r

r r

A. λ =

3 3 或λ = 2 2

B. λ =

1 1 或λ = 2 2

C. λ = 1 或 λ = 1

D. λ 为任意实数

小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 7 小题.把答案填在题中横线上. 填空题: 15,设向量 a = (1,,b = (2, ,若向量 λ a + b 与向量 c = ( 4, 7) 共线,则 λ = 2) 3) 16,已知向量 a = (0, 1,1) , b = (4,1, 0) , λ a + b =
17

r

r

r r

29 且 λ > 0 ,则 λ = ____________

17,关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a b = a c ,则 b = c .②若 a = (1,k ),b = ( 2, , a ‖ b ,则 k = 3 . 6) ③非零向量 a 和 b 满足 | a |=| b |=| a b | ,则 a 与 a + b 的夹角为 60 .
o

其中真命题的序号为

. (写出所有真命题的序号)

rr r r r r r r π 18,若向量 a, 满足 a = 1, b = 2, 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a + b =___________________ b 3
19,如图,在平行四边形 ABCD 中, AC = (1,2 ), BD = ( 3,2 ) , 则 AD AC = .

20, a , b 的夹角为 120° , a = 1 , b = 3 则 5a b = 21,如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: A. AC + AF = 2 BC

r

r

r

r

r r

.

uuur uuu r

uuu r
E D

uuur uuuu r uuu r B. AD = 2 AB + 2 AF
C. AC AD = AD AB D. ( AD AF ) EF = AD ( AF EF ) 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

uuur uuur

uuur uuu r

F

C

uuur uuur uuu r

uuur uuur uuu r

A

B

22,已知平面向量 a = (2, , b = ( 1, ,若 c = a (a b)b ,则 c = 4) 2) 23,已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b(a-b)=0, 则|b|的取值范围是

答案: 答案:
一,选择题 1,B 2,A 3,B 4,A 5,A 6,D 7,A 8,C 9,B 10,B 11,C 12,A 13,A 14,C 二,填空题 15,2 16,3 17,② 18, 7 19,3 20,7 21,A B D 22, 8 2 23,[0,1]

18

届高考数学二轮专题突破训练-------数列 2009 届高考数学二轮专题突破训练----数列
小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 一,选择题: 选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1,设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项和为( A.63 B.64 C.127 D.128 ) )

2 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = A.16 B.24 C.36

1 , S 4 = 20 ,则 S6 = ( 2
D.48

3,设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 =( a2
D.

).

A. 2

B. 4

C.

15 2

17 2
)

4,已知 {an } 是等差数列, a1 + a2 = 4 , a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 C.110 D.120

5,设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 =( a2

)

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2
)

6,若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 = 25 ,且 a2 = 3 ,则 a7 = ( A.12 B.13 C.14 D.15

7,等比数列 {a n } 中,公比 q > 1 ,且 a1 + a6 = 8 , a3a4 = 12 ,则

a6 等于( a11

)

A.

1 2

B.

1 6

C.

1 3

D.

1 1 或 3 6

19

8,已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 =

an 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ,则 a 20 =(
3 2
)

)

A.0

B. 3

C. 3

D.

9,已知等比数列 {an} 中 a2 = 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( (A) ( ∞, 1] (C) [3, +∞ ) (B) ( ∞, 0 ) U (1, +∞ ) (D) ( ∞, 1] U ( 3, +∞ )

10,设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ≥ 10, S5 ≤ 15 ,则 a4 的最大值为(

)

A,3 B,4 C,5 D,6 11,若数列{an}的前 n 项由如图所示的流程图输出依次给出,则数列{an}的通项公式 an= ( ). A.

1 n(n 1) 2

B.

1 n(n + 1) 2

C.n-1

D.n

12,已知数列 {an } 对任意的 p,q ∈ N* 满足 a p + q = a p + aq , 且 a2 = 6 ,那么 a10 等于( A. 165 B. 33 ) C. 30 D. 21

填空题: 个小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 4 个小题.把答案填在题中横线上. 13 , 设 Sn 是 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , a12=-8,S9=-9, 则 S16= . 14,设数列 {an } 中, a1 = 2, an +1 = an + n + 1 ,则通项 an = ___ 15, ,已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 a n =

1 3 n +1

(n ∈ N *) ,则 lim a n n →∞

=

16,已知函数 f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)f(a2)f(a3)…f(a10)]= 解答题: 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. n * 17,已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p-np(n∈N ,p,p 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数 列,求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.
20

18,已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 = 1 , a5 = 5 . (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

19,设数列 {an } 的前 n 项和 Sn = 2an 2n (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明: {an +1 2an } 是等比数列 (Ⅲ)求 {an } 的通项公式.

20,数列 an } 是首项 a1 = 4 的等比数列,且 S3 , S2 , S4 成等差数列, (1)求数列 an } 的通项公式; (2)若 bn = log 2 an ,设 Tn 为数列

{

{

1 * 的前 n 项和,若 Tn ≤ λbn +1 对一切 n ∈ N 恒 bn bn +1
21

成立,求实数 λ 的最小值.

22,设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = a , an +1 = S n + 3 , n ∈ N .
n
*

(Ⅰ)设 bn = S n 3 ,求数列 {bn } 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 an +1 ≥ an , n ∈ N ,求 a 的取值范围.
*

在数列 | an | , | bn | 中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an +1 成等差数列, bn,an +1,bn +1 成等比数 列( n ∈ N )
*

(Ⅰ)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | , | bn | 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

1 1 1 5 + +…+ < . a1 + b1 a2 + b2 an + bn 12

答案: 答案:
一,选择题 1,C 2,D 3,C 4,B 5,C 6,B 二,填空题 13,-72 三,解答题 17,解: (Ⅰ)由 x1 = 3, 得 14,
n(n + 1) +1 2

7,C

8,C

9,D 10,B 11,B 12,C

15,

7 6

16,-6

22

2 p + q = 3, 又x4 = 24 p + 4q, x5 = 25 p + 5q, 且x1 + x5 = 2 x4 , 得 3 + 25 p + 5q = 25 p + 8q , 解得
p=1,q=1
(Ⅱ)

S n = (2 + 2 2 + L + 2 n ) + (1 + 2 + L + n) = 2 n +1 2 + n(n + 1) . 2

18,解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件, 所以 an = a1 + ( n 1) d = 2n + 5 . (Ⅱ) S n = na1 +

a1 + d = 1 ,解出 a1 = 3 , d = 2 . a1 + 4d = 5

n(n 1) d = n 2 + 4n = 4 (n 2)2 . 2

所以 n = 2 时, Sn 取到最大值 4 . 19,解: (Ⅰ) a1 = S1 = 2a1 2 a1 = 2, S1 = 2

2an = S n + 2n 2an +1 = S n +1 + 2n +1 = an +1 + S n + 2n +1 an +1 = Sn + 2n +1 …………①
∴ a2 = S1 + 22 = 6, S 2 = 8 a3 = S 2 + 23 = 16, S3 = 24 a4 = S3 + 24 = 40 (Ⅱ)由题设和①式知 an +1 2an = S n + 2n +1 ( S n + 2n ) = 2n 所以 {an +1 2an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 (Ⅲ) an = (an 2an 1 ) + 2(an 1 2an 2 ) + + 2n 2 (a2 2a1 ) + 2n 1 a1 = (n 1) 2n 1 + 2n = (n + 1) 2n
20,解: (1)当 q = 1 时, S3 = 12,S 2 = 8,S 4 = 16 ,不成等差数列. 当 q ≠ 1 时, 2

a1 (1 q 2 ) a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 4 ) = + 1 q 1 q 1 q

,

∴ 2q 2 = q 3 + q 4 , ∴ q 2 + q 2 = 0 ,∴ q = 2 ∴ an = 4( 2)
n 1

= (2) n +1
23

(2) bn = log 2 an = log 2 ( 2) n +1 = n + 1

1 1 1 1 = = bn bn +1 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn = + + + = = 2 3 3 4 n + 1 n + 2 2 n + 2 2(n + 2) n n Tn ≤ λbn +1 ,∴ ≤ λ ( n + 2) ∴ λ ≥ 2(n + 2) 2(n + 2)2 n 1 1 1 又 = ≤ = , 2 4 2(n + 2) 2(n + + 4) 2(4 + 4) 16 n 1 ∴ λ 的最小值为 16
21,解: (Ⅰ)依题意, S n +1 S n = an +1 = S n + 3 ,即 S n +1 = 2 S n + 3 ,
n n

由此得 S n +1 3

n +1

= 2( S n 3n ) . 4 分

因此,所求通项公式为

bn = S n 3n = (a 3)2n 1 , n ∈ N* .① 6 分
(Ⅱ)由①知 S n = 3 + ( a 3)2
n n 1

,n∈N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an = S n S n 1 = 3n + (a 3) × 2n 1 3n 1 (a 3) × 2n 2 = 2 × 3n 1 + (a 3)2 n 2 , an +1 an = 4 × 3n 1 + (a 3)2 n 2

=2

n2

n 2 3 12 + a 3 , 2

当 n ≥ 2 时,

3 an +1 ≥ an 12 2

n2

+ a 3≥ 0
24

a ≥ 9 .
又 a2 = a1 + 3 > a1 . 综上,所求的 a 的取值范围是 [ 9, ∞ ) . + 22,解: (Ⅰ)由条件得 2bn = an + an +1,an +1 = bn bn +1
2

由此可得

a2 = 6,b2 = 9,a3 = 12,b3 = 16,a4 = 20,b4 = 25 .
猜测 an = n(n + 1),bn = ( n + 1) .
2

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak = k (k + 1),bk = (k + 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,

ak +1 = 2bk ak = 2(k + 1) 2 k (k + 1) = (k + 1)(k + 2),bk +1 =
所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an = n( n + 1),bn ( n + 1) 对一切正整数都成立.
2

ak2+1 = (k + 2)2 . bk

(Ⅱ)

1 1 5 = < . a1 + b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an + bn = ( n + 1)(2n + 1) > 2( n + 1) n . 故

1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ < + + +…+ a1 + b1 a2 + b2 an + bn 6 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1) 1 11 1 1 1 1 1 + + +…+ 6 22 3 3 4 n n +1 1 11 1 1 1 5 + < + = 6 2 2 n + 1 6 4 12
25

=

=

综上,原不等式成立. .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练—— ——函数 ——
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 项是符合题目要求的. 一,选择题:本大题共 15 题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题: 1. "函数 f ( x )( x ∈ R ) 存在反函数"是"函数 f ( x ) 在 R 上为增函数"的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件. )

定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ( x,y ∈ R ) f (1) = 2 , ,

则 f ( 3) 等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9
+

3.已知函数 f ( x) = 2 x +3 , f 1 ( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn = 16 ( m,n ∈ R ) ,则

f 1 (m) + f 1 (n) 的值为(
A. 2 4.设函数 f ( x ) =
1

) C.4 D.10 )

B.1

1 1 x

(0 ≤ x < 1) 的反函数为 f 1 (x ) ,则(

A. B. C. D. f

f f f

(x ) 在其定义域上是增函数且最大值为 1 (x ) 在其定义域上是减函数且最小值为 0 (x ) 在其定义域上是减函数且最大值为 1

1

1

1

(x ) 在其定义域上是增函数且最小值为 0
x + 1 x 1
x<0 x≥0
,则不等式 x + ( x + 1) f ( x + 1) ≤ 1 的解集是(
26

5.已知函数 f ( x ) =

)

A. C.

{x | 1 ≤ x ≤ 2 1} {x | x ≤ 2 1}

B. D.

{x | x ≤ 1}

{x |

2 1 ≤ x ≤ 2 1

}

6. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0,+∞ ) 上 是 增 函 数 . 令

2π 5π 5π a = f sin , b = f cos , c = f tan ,则( 7 7 7
A. b < a < c B.

) D.

c<b<a

C.

b<c<a

a<b<c

7.设函数 y = f ( x) ( x ∈ R ) 的图象关于直线 x = 0 及直线 x = 1 对称,且 x ∈ [0,1] 时,

3 f ( x) = x 2 ,则 f ( ) = 2 1 1 A. B. 2 4

(

) C.

3 4

D.

9 4

8.命题"若函数 f ( x ) = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数,则 log a 2 < 0 "的逆否 命题是( )

A,若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x ) = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 B,若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x ) = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 C,若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x ) = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数 D,若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x ) = log a x ( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数 9.设函数 f ( x ) = 2 x + A.有最大值

1 1( x < 0), 则 f ( x) ( x
B.有最小值

) D.是减函数

C.是增函数

1 x 2, x ≤ 1, 10.设函数 f ( x ) = 2 则 x + x 2,x > 1,
A.

1 f 的值为( A ) f (2)
C.

11.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2 ∈ R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说 法一定正确的是 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C. f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数
27

15 16

B.

27 16

8 9

D. 18

12.函数 f ( x ) =

1 x 的图像关于( x

) B. 直线 y = x 对称 D. 直线 y = x 对称

A. y 轴对称 C. 坐标原点对称

13.设函数 y = f ( x) ( x ∈ R ) 的图像关于直线 x = 0 及直线 x = 1 对称,且 x ∈ [0,1] 时,

3 f ( x) = x 2 ,则 f ( ) = ( 2 1 1 B. A. 2 4

) C.

3 4

D.

9 4
)

14.若函数 y = f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) = A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是( x 1

C. [0,1) U (1, 4]

D. (0,1)

15.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x + 4) = f ( x), 当 x ∈ (0, 2) 时, f ( x) = 2 x 2 , 则 f (7) =( ) D.98

A.-2 B.2 C.-98 填空题: 小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 8 小题.把答案填在题中横线上. 16.函数 f ( x ) =
x

x 2 1 log 2 ( x 1)

的定义域为

.

17.已知 f (3 ) = 4 x log 2 3 + 233 ,则 f (2) + f (4) + f (8) + L + f (28 ) 的 值等于 .
2

18.设函数 f(x)=ax +c(a≠0).若



1 0

f ( x)dx = f ( x0 ) ,0≤x0≤1,则 x0 的值为

.

19.已知函数 f ( x ) = x 2 cos x ,对于 , 上的任意 x1,x2 ,有如下条件: 2 2 ① x1 > x2 ; ② x1 > x2 ; ③ x1 > x2 .
2 2

π π

其中能使 f ( x1 ) > f ( x2 ) 恒成立的条件序号是
3

.

20.设函数 f ( x ) = ax 3 x + 1 (x∈R) ,若对于任意 x ∈ [ 1,1] ,都有 f ( x ) ≥0 成立,则 实数 a = . 解答题: 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 8 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
28

21.已知函数 f ( x) = x + mx m x + 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y = f ( x) 的切线,求此直线方程.

22,某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层,每层 2000 平 方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x ( x ≥ 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为

560 + 48x(单位:元) 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? ,
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

23.设函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3) ,且在点(-1,f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; -x (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e 的单调区间.

24.设函数 f ( x ) = ax +

1 ( a, b ∈ Z ) ,曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x+b

y = 3.
(1)求 y = f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y = f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y = f ( x) 上任一点的切线与直线 x = 1 和直线 y = x 所围三角形的面积为
29

定值,并求出此定值.

25.已知 x = 3 是函数 f ( x ) = a ln (1 + x ) + x 10 x 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y = b 与函数 y = f ( x ) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

答案: 答案:
一,选择题 1.B 2.C 3.A 4.D 13. B 14. B 15. A 二,填空题 16. [3, +∞) 17.2008 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10. A 11. C 12. C

18.

3 3

19. ②

20.4

三,解答题 21.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.(满分 12 分) 解:(Ⅰ) f'(x)=3x +2mx-m =(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f'(x)与 f(x)的变化情况如下表:
2 2

1 m, 3 1 m ,+∞) 3
+

x

(-∞,- m)

(- -m

1 m, m ) 3

1 m 3
0 极小值

(

f'(x) + 0 - f (x) 极大值 从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 3 3 3 即 f(-m)=-m +m +m +1=9,∴m=2.
30

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x +2x -4x+1, 依题意知 f'(x)=3x +4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 又 f(-1)=6,f(-
2

3

2

1 . 3

1 68 )= , 3 27 68 1 =-5(x+ ), 27 3

所以切线方程为 y-6=-5(x+1), 或 y-

即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 22.解:设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ( x ) = (560 + 48x ) + f ′( x ) = 48 10800 x2

2160 × 10000 10800 = 560 + 48x + 2000 x x

(x≥10,x∈Z )

+

令 f(x)=0 得 x=15 当 x>15 时,f(x)>0;当 0<x<15 时,f(x)<0 因此 当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 23.解: (Ⅰ)因为 f ( x) = ax 2 + bx + c, 所以f ′( x) = 2ax + b. 又因为曲线 y = f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) = 2a + 3, 而f (0) = c, 从而c = 2a + 3. 又曲线 y = f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ′( 1) = 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc = 2a (2a + 3) = 4( a + )
2

3 4

9 , 4

故当 a =

3 9 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b = , c = . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x ) = x x + , f ′( x) = x , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x ) = f ( x )c x = ( x 2 + x )e x , 4 2 2 3 2 x x 所以 g ′( x ) = ( f ( x ) f ′( x )e = ( x 4)e . 4
31

令 g ′( x ) = 0 ,解得 x1 = 2, x2 = 2. 当 x ∈ (∞, 2)时, g ′( x) < 0, 故g ( x)在x ∈ (∞, 2)上为减函数; 当 x ∈ (2, 2)时,g ′( x) > 0, 故g ( x)在x ∈ (2, +∞)上为减函数. 当 x ∈ (2, +∞)时,g ′( x) < 0,故g ( x)在x ∈ (2, +∞)上为减函数. ;单调递增区间为(-2,2). 由此函数 g ( x) 单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) 24.解: (Ⅰ) f ′( x) = a

1 , ( x + b) 2

1 9 2a + 2 + b = 3, a = 4 , a = 1, 于是 解得 或 1 b = 1, b = 8 . a = 0, 2 (2 + b) 3
因 a,b ∈ Z ,故 f ( x ) = x +

1 . x 1 1 都是奇函数. x

(Ⅱ)证明:已知函数 y1 = x , y2 = 所以函数 g ( x ) = x + 而 f ( x) = x 1 +

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 +1 . x 1

, 可知,函数 g ( x ) 的图像按向量 a = (11) 平移,即得到函数 f ( x ) 的图像,故函数 f ( x ) 的图
像是以点 (11) 为中心的中心对称图形. , (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 x0,x0 +



1 . x0 1

由 f ′( x0 ) = 1

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 1) 2

y

2 x0 x0 + 1 1 = 1 ( x x0 ) . 2 x0 1 ( x0 1)

32

令 x =1得 y =

x +1 x0 + 1 ,切线与直线 x = 1 交点为 1,0 . x0 1 x0 1

令 y = x 得 y = 2 x0 1 ,切线与直线 y = x 交点为 (2 x0 1,x0 1) . 2 直线 x = 1 与直线 y = x 的交点为 (11) . ,

从而所围三角形的面积为

1 x0 + 1 1 2 1 2 x0 1 1 = 2 x0 2 = 2 . 2 x0 1 2 x0 1
a + 2 x 10 1+ x

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 25.解: (Ⅰ)因为 f ' ( x ) = 所以 f ' ( 3) =

因此 a = 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

a + 6 10 = 0 4

f ( x ) = 16 ln (1 + x ) + x 2 10 x, x ∈ ( 1, +∞ )
f
'

( x) =

2 ( x 2 4 x + 3) 1+ x
'

当 x ∈ ( 1,1) U ( 3, +∞ ) 时, f 当 x ∈ (1,3) 时, f
'

( x) > 0

( x) < 0
f ( x ) 的单调减区间是 (1,3)

所以 f ( x ) 的单调增区间是 ( 1,1) , ( 3, +∞ )

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ( 1,1) 内单调增加,在 (1,3) 内单调减少,在 ( 3, +∞ ) 上单调 增加,且当 x = 1 或 x = 3 时, f
'

( x) = 0
f ( e 2 1) < 32 + 11 = 21 < f ( 3)

所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) = 16 ln 2 9 ,极小值为 f ( 3) = 32 ln 2 21 因为 f (16 ) = 16 10 × 16 > 16 ln 2 9 = f (1)
2

所以在 f ( x ) 的三个单调区间 ( 1,1) , (1,3) , ( 3, +∞ ) 直线 y = b 有 y = f ( x ) 的图象各有一

33

个交点,当且仅当 f ( 3) < b < f (1) 因此, b 的取值范围为 ( 32 ln 2 21,16 ln 2 9 ) . .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练——三角函数 届高考数学二轮专题突破训练—— ——三角函数
小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 一,选择题: 选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1,设函数 f ( x ) = sin 2 x (A) (C)



π

, x ∈ R ,则 f ( x ) 是 2
(B) (D) 最小正周期为 π 的偶函数 最小正周期为

最小正周期为 π 的奇函数 最小正周期为

π

2

的奇函数

π

2

的偶函数

2,为得到函数 y = cos 2 x +



π 的图像,只需将函数 y = sin 2 x 的图像( 3
B 向右平移

)

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

3,已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如下:

那么ω=( A. 1

) B. 2 C. 1/2 D. 1/3 )

1 (sin α + cos α ) 2 4,已知 tan α = ,则 =( 2 cos 2α
34

(A) 2

(B) 2 (C) 3

(D) 3 ) D. x =

5,函数 y = sin(2 x + A. x =

π
3

) 图像的对称轴方程可能是(

π
6

B. x =

π
12

C. x =

π
6

π
12

6,将函数 y = sin(2 x +

π
3

) 的图象按向量 α 平移后所得的图象关于点 (
)

π
12

, 0) 中心对称,

则向量 α 的坐标可能为( A. (

π

12

, 0)

B. (

π
6

, 0)

C. (

π

12

, 0)

D. (

π
6

, 0)
)

7,已知 cos α



π 4 7π 3 ,则 sin α + + sin α = 的值是( 6 5 6
B.

A.

2 3 5

2 3 5

C.

4 5

D.

4 5

8 , 已 知 a,b,c 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量

m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B sin
的大小分别为( A. , ) B.

π π 6 3

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

9,函数 f(x)=sin2x+ 3 sin x cos x 在区间

π π 上的最大值是 , 4 2
C.

A.1

B.

1+ 3 2

3 2

D.1+ 3

10,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

π
6

B.

π
3

C.

π
6



11,函数 f(x)=cosx(x)(x ∈ R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y= -f′(x)的图象,则 m 的 值可以为 A.

5π 6

D.

π
3



2π 3

π
2

B. π

C.- π

D.-

π
2
)

12,设 f ( x ) = sin ( ω x + ) ,其中 ω > 0 ,则 f ( x ) 是偶函数的充要条件是(
35

(A) f ( 0 ) = 1

(B) f ( 0 ) = 0

(C) f

'

( 0) = 1

(D) f

'

( 0) = 0

个小题.把答案填在题中横线上. 二.填空题:本大题共 4 个小题.把答案填在题中横线上. 填空题: 13,在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 ( 3b c ) cos A = a cos C , 则 cos A = 14,在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a = A= .

3, b = 3, c = 30°, 则

15, 已知 f ( x ) = sin ω x +



π (ω > 0),f 3

π π π π 且 = f , f ( x) 在区间 , 有最小值, 6 3 6 3

无最大值,则 ω =__________. 16,在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值为 . 解答题: 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17,已知函数 f ( x ) =

3 sin(ω x + ) cos(ω x + ) ( 0 < < π , ω > 0 )为偶函数,且

函数 y = f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f

π . 2

π 的值; 8 π 个单位后, 得到函数 y = g ( x ) 的图象, g ( x ) 的 求 6

(Ⅱ) 将函数 y = f ( x) 的图象向右平移 单调递减区间.

18,如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们的终边分别 与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

2 2 5 , . 10 5
36

(Ⅰ)求 tan( α + β )的值; (Ⅱ)求 α + 2 β 的值.

19,已知函数 f ( x ) = cos(2 x

π

) + 2sin( x ) sin( x + ) 3 4 4

π

π

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [

, ] 上的值域 12 2

π π

20,已知 cos x



π

2 π 3π , x∈ , . = 4 10 2 4

(Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin 2 x +



π

的值. 3

21,设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 a cos B b cos A =
37

3 c. 5

(Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A B ) 的最大值.

22,已知函数 f ( x ) = A sin( x + )( A > 0, < < π) , x ∈ R 的最大值是 1,其图像经过点 0

π 1 M , . 3 2
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 α,β ∈ 0, ,且 f (α ) =



π 2

3 12 , f (β ) = ,求 f (α β ) 的值 5 13

答案: 答案:
一,选择题 1,B 2,A 3,B 二,填空题 13, 4,C 5,D 6,C 7,C 8,C 9,C 10,D 11,A 12,D

3 3

14,30°(或

π
6

)

15,

14 3

16,

61 2

三,解答题 17,解: (Ⅰ) f ( x ) =

3 sin(ω x + ) cos(ω x + )

38

3 1 = 2 sin(ω x + ) cos(ω x + ) 2 2
π = 2 sin ω x + . 6
因为 f ( x ) 为偶函数, 所以对 x ∈ R , f ( x ) = f ( x ) 恒成立, 因此 sin( ω x + ) = sin ω x +

π 6



π . 6

即 sin ω x cos



π π π π + cos ω x sin = sin ω x cos + cos ω x sin , 6 6 6 6 π = 0. 6

整理得 sin ω x cos



因为 ω > 0 ,且 x ∈ R , 所以 cos



π = 0. 6

又因为 0 < < π , 故

π π = . 6 2

所以 f ( x ) = 2 sin ω x + 由题意得



π = 2 cos ω x . 2



ω

=2

π ,所以 ω = 2 . 2

故 f ( x ) = 2 cos 2 x .

因此 f

π π = 2 cos = 2 . 4 8

39

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

π 个单位后,得到 6

π f x 的图象, 6

所以 g ( x) = f x 当 2kπ ≤ 2 x



π π π = 2 cos 2 x = 2 cos 2 x . 6 6 3

π ≤ 2kπ + π ( k ∈ Z ) , 3 π 2π ( k ∈ Z )时, g ( x ) 单调递减, 即 kπ + ≤ x ≤ kπ + 6 3
因此 g ( x ) 的单调递减区间为 kπ +



π 2π . ,kπ + ( k ∈ Z ) 6 3

18, 【解析】本小题考查三角函数的定义,两角和的正切,二倍角的正切公式. 解:由已知条件及三角函数的定义可知, cos α =

2 2 5 , cos β = , 10 5

因为 α , β 为锐角,所以 sin α = 因此 tan α = 7, tan β = (Ⅰ)tan( α + β )=

7 2 5 ,sin β = 10 5

1 2

tan α + tan β = 3 1 tan α tan β

(Ⅱ) tan 2 β =

2 tan β 4 tan α + tan 2 β = ,所以 tan (α + 2 β ) = = 1 2 1 tan β 3 1 tan α tan 2 β 3π 3π ,∴ α + 2 β = 2 4

∵ α , β 为锐角,∴ 0 < α + 2 β < 19 解: (1)Q f ( x ) = cos(2 x

π

) + 2sin( x ) sin( x + ) 3 4 4

π

π

=

1 3 cos 2 x + sin 2 x + (sin x cos x)(sin x + cos x) 2 2 1 3 cos 2 x + sin 2 x + sin 2 x cos 2 x 2 2
40

=

=

1 3 cos 2 x + sin 2 x cos 2 x 2 2

= sin(2 x ) 6 2π ∴周期T = =π 2
由 2x

π

π

6

= kπ +

π
2

(k ∈ Z ), 得x =

kπ π + (k ∈ Z ) 2 3

(k ∈ Z ) 3 π π π π 5π (2)Q x ∈ [ , ],∴ 2 x ∈ [ , ] 12 2 6 3 6
因为 f ( x ) = sin(2 x 所以 当x=

∴ 函数图象的对称轴方程为 x = kπ +

π

π

π
3

6

) 在区间 [

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

π π

π π

时, f ( x ) 取最大值 1

又 Q f (

π
12

)=

3 π 1 π 3 < f ( ) = ,当 x = 时, f ( x) 取最小值 2 2 2 12 2 3 , ] 上的值域为 [ ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [

π π

20,解: (Ⅰ)解法一:因为 x ∈

π π π π 3π , ,所以 x ∈ , ,于是 4 4 2 2 4

π π 7 2 sin x = 1 cos 2 x = 4 4 10
π π π π π π sin x = sin x + = sin x cos + cos x sin 4 4 4 4 4 4 = 7 2 2 2 2 4 × + × = 10 2 10 2 5 2 2 2 1 cos x + sin x = ,即 cos x + sin x = 2 2 10 5 4 3 或 sinx= 5 5

解法二:由题设得

又 sin2x+cos2x=1,从而 25sin2x-5sinx-12=0,解得 sinx=
41

因为 x ∈

4 π 3π , ,所以 sin x = 5 2 4
2

3 4 π 3π 2 (Ⅱ)解:因为 x ∈ , ,故 cos x = 1 sin x = 1 = 5 5 2 4 sin 2 x = 2 sin x cos x =
所以 sin 2 x +

24 7 , cos 2 x = 2 cos 2 x 1 = 25 25



π

= sin 2 x cos + cos 2 x sin = 3 3 3

π

π

24 + 7 3 50

21,解: (Ⅰ)由正弦定理得 a=

c sin A c sin B ,b = sin C sin C sin A sin B acosB-bcosA=( cos B cos A )c sin C sin C sin A cos B sin B cos A c sin( A + B)

=

sin A cos B cos A sin B c sin A cos B + cos A sin B (tan A cot B 1)c = tan A cot B + 1 (tan A cot B 1)c 3 依题设得 = c tan A cot B + 1 5
= 解得 tanAcotB=4 (II)由(I)得 tanA=4tanB,故 A,B 都是锐角,于是 tanB>0

tan A tan B 1 + tan A tan B 3 tan B = 1 + 4 tan 2 B 3 ≤ , 4 1 3 且当 tanB= 时,上式取等号,因此 tan(A-B)的最大值为 2 4
tan(A-B)= 22. : 依题意有 A = 1 , f ( x ) = sin( x + ) , 解 (1) 则 将点 M (

π 1

π 1 , ) 代入得 sin( + ) = , 3 2 3 2

42

而 0 < < π ,∴

5 π π + = π ,∴ = ,故 f ( x) = sin( x + ) = cos x ; 3 6 2 2 3 12 π ,而 α , β ∈ (0, ) , (2)依题意有 cos α = , cos β = 5 13 2

π

3 4 12 5 ∴ sin α = 1 ( ) 2 = ,sin β = 1 ( ) 2 = , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (α β ) = cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = 5 13 5 13 65

43

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