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合情推理(学案)


瓦房店市第八高级中学

高二数学◆选修 2-2◆导学案

编写:张日红

2.1.1 合情推理(1)
一、学习目标 1.结合已学过的数学实例,了解归纳推理,的含义; 2.能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 二、合作探究 探究任务一:考察下列示例中的推理 问题 1:.1856 年,法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因,接着,通过对蚕病 的研究,他发现细菌是引起蚕病的原因,因此,巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引 起的。 问题 2:我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似,二中亚西亚有丰富 的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 问题 3:因为三角形的内角和是 180 ? (3 ? 2) ,四边形的内角和是 180 ? (4 ? 2) ,五边形的内 角和是
? ?

归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 。 三. 典型例题

例 1 用推理的形式表示等差数列 1,3,5,7??2n-1,??的前 n 项和 Sn 的归纳过程。

变式 1:观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+7=16= 4 2 , 1+3+5+7+9=25= 5 , …… 你能猜想到一个怎样的结论?
2 2

2

180? ? (5 ? 2) ??所以 n 边形的内角和是
新知 1:从以上事例可一发现: 叫做合情推理。 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二: 问题 1:在学习等差数列时,我们是怎么样推导首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列{an}的通项公式 的?

变式 2:观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, …… 你能猜想到一个怎样的结论?

新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 的推理. 归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想: 观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7,

,推出该类事物的

例 2 设 f (n) ? n ? n ? 41, n ? N ? 计算 f (1), f (2), f (3,)... f (10) 的值, 同时作出归纳推理, 并
2

用 n=40 验证猜想是否正确。

16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97, 猜想:
-1-

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

编写:张日红

变式: (1)已知数列 ?an ? 的第一项 a1 ? 1 ,且 a n ?1 ? 通项公式

an (n ? 1, 2,3...) ,试归纳出这个数列的 1 ? an

§ 2.1.1 合情推理(2)
一.学习目标 1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

四.当堂检测 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ). A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2 f ( x) 2. 已知 f ( x ? 1) ? ,猜想 f ( x) 的表达式为( , f (1) ?1 (x ? N *) f ( x) ? 2 4 2 A. f ( x) ? x B. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 1 2 C. f ( x) ? D. f ( x) ? x ?1 2x ? 1

).

三、知识点拨 1.函数极值的定义 一般地,设函数 f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f( x0 ),就 说 f( x0 )是 f( x0 ),就说 值. 2.判别 f( x0 )是极大、极小值的方法: 若 x0 满足 f′( x0 )=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f( x0 ) 是极值,并且如果 f′(x)的符号在 x0 两侧满足“ ;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“ 是 . ”,则 x0 是 ”,则 x0 是 , f( x0 ) 是 , f( x0 ) , x0 叫做 .如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) > , x0 叫做 .极大值与极小值统称为极

1 1 1 3 5 7 3. f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? N? ) , 经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 猜测 2 3 n 2 2 2 当 n ? 2 时,有__________________________.

4. 应用归纳推理猜测 111 ? 1 ? 222 ? 2 的结果. ? ? ? ? ? ? ? ?
2n n

5.已知 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,??1+2+3+??+n= 13,13+23,13+23+33,13+23+33+43,?? 试归纳出上述求和的一般公式。

n(n ? 1) ,观察下列立方和: 2

3.求函数 y=f(x)极值的步骤: ( “三求一列表”法) (1)求: (3)求: ;(2)求: ;(4)列: ; 。

6. 观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可 以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,由此可以归纳出什么规律?
-2-

4.利用导数求函数在 ?a, b ? 的最值步骤:

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

编写:张日红

⑴求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最值 四、应用举例 例 1. 已知函数 f ( x) ?

王新敞
奎屯

新疆

1 3 x - 4x ? 4 . 3

(1)求函数的极值,并画出函数的大致图像. (2)求函数在区间 [-3 , 4 ] 上的最大值和最小值;

练习 3:求函数 f ( x) ?

3 ? 3 ln x 的单调区间和极值。 x

练习 1:试找出函数 f ( x) ? -

4 3 x ? x ? 1 的极值点,并求出极大值和极小值。 3

五、跟踪练习: (试一试,你一定能行) 3 1.函数 y=1 +3x-x 有( ) (A) 极小值-1,极大值 1 (B) 极小值-2, 极大值 3 (C) 极小值-2,极大值 2 (D) 极小值-1, 极大值 3 2.函数 f(x)= x ?

1 的极值情况是( x

)

(A) 当 x=1 时取极小值 2,但无极大值 (B) 当 x=-1 时取极大值-2,但无极小值 (C) 当 x=-1 时取极小值-2,当 x=1 时取极大 值2 (D) 当 x=-1 时取极大值-2,当 x=1 时取极小值 2 3.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x=1 处有极值 10,则 a,b 的值是( y
3 2 2

4 练习 2: 已知函数 f ( x) ? 2 x ? ? 1,求 f ( x) 的极值。 x
-3-

)

(A).a=-11,b=4 (B).a=-4,b=11 a O

b

x

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

编写:张日红 (2)若对于任意的 x ?[0,3],都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

(C).a=11,b=-4 (D).a=4,b=-11 4.函数 f(x)在(a,b)上的导数的图像如右图所示, 则函数 f(x)在(a,b)上的极大值的个数为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 3 既有极大值又有极小值,
3 2

4 题图

则 a 的取值范围是 (A) (?1,2)

( (B) (?2,1)
3

) (C) (??,-1) ? (2,??) (D) (??,-2) ? (1,??) ,极小值是 。 ; 例 2.设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f′(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围

6.函数 y=-3+48x-x 的极大值是
3 2

7.若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 27 在 x=-3 时有极大值,在 x=1 时有极小值,则 a= b= 。
3

a

3

2

8.直线 y=a 与函数 y ? x ? 3x 的图像有三个不同的交点, 则 a 的取值范围为



1 2 9.已知函数 f ( x) ? -2 ln x ? x ? 3x ,求 f ( x) 的单调区间和极值。 2

10.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a ,当 x=-1 的时有极值为 0,求 a,b 的值。
3 2 2

七、自我总结 我的收获是: 八、课后作业 1、已知函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图,则函数

f ( x) 在区间 (a, b) 内有极小值点(
(A) 1 个 六、能力提高 例 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1及 x ? 2 时取得极值.
3 2
3 2

) (C) 3 个 ) (C)
2

(B) 2 个

(D)4 个

2、函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 3 x ? a 的极值个数是( (A) 2
3

(B)
2

1

1

(D) 与 a 有关 )

(1)求 a , b 的值;
-4-

3、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在点 x ? 1 处有极值 10,则 f (2) =(

瓦房店市第八高级中学 (A) 11 或 18

高二数学◆选修 2-2◆导学案 (B) 11 (C) 18 ) (C)

编写:张日红 (D) 17 或 18

4、函数 f ( x) ? (A) [e, ??)

ln x 的单调减区间是( x
(B) [1, ??)
3

[0, e]

(D) [0,1] )

5.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在[?3,0] 上的最大值,最小值分别是( A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
2

x 2 ? ax ? b 14. 已知 f ( x ) ? log3 , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f ( x) 同时满足下列两 x
个条件: (1) f ( x) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f ( x) 的最小值 是 1,若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

6.函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 的最小值是( ) A 0 B -1 C 1 D 2

7、设 f ( x) ? kx ? ( (A) (??,1]

k ? 2 ln x ,若 f ( x) 在其定义域内为单调递增函数,则 k 的取值范围是 x
) (B) [1, ??) (C)

(??,1]

(D) [?1, ??) 15、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6),且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x
3 2

3 8、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f (3 ? x) ? f ( x) , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 ,且 2

的图象关于 y 轴对称 (1)求 m, n 的值及函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)求函数 y ? f ( x) 的极大值和极小值

x1 ? x2 ? 3 ,则有(
(A) f ( x1 ) ? f ( x2 )
3

) (B)
2

f ( x1 ) ? f ( x2 )

(C)

f ( x1 ) ? f ( x2 )

(D)不确定

9.已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数 在[-2,2]上的最小值为 . 10、函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 5 的单调增区间是
3 2

16、设函数 f ( x) ? ? x( x ? a ) ( x ? R ) ,其中 a ? R
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (2)当 a ? 0 是,求函数 f ( x) 的极大值和极小值

11.函数 f ( x) ? x ? e 在 [?1,1] 上的最大值是________;最小值是_______.
x

12、直线 y ? a 与函数 f ( x) ? x ? 3 x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是
3

13、已知函数 y ? x ? 3a ? 2bx ? c 在 x ? 2 处有极小值,且其图象在 x ? 1 处的切线与直线
3 2

6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行
(1)求函数的单调递减区间 (2)求函数的极大值与极小值之差

-5-

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编写:张日红

17、设 f ( x) ?

ex ,其中 a ? 0 1 ? ax 2
4 时,求 f ( x) 的极值点 3
(2)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围

(1)当 a ?

18、已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e
2

x k

(1)求 f ( x) 的单调区间 (2)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ?

1 ,求 k 的取值范围 e

-6-


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