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2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题5


3.求空间距离 第3讲 考情解读 立体几何中的向量方法 → |PM· n| 直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离,点 P 到平面 α 的距离:d= (其 |n| 中 n 为 α 的法向量,M 为 α 内任一点). 1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间中平行与垂直的证明,常出现在解 答题的第(1)问中,考查空间想象能力,推理论证能力及计算能力,属低中档问题. 2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体,考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算, 是高考的必考内容,属中档题. 3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题,考查逻辑推理能力、空间想象能 力以及探索能力,是近几年高考命题的新亮点,属中高档问题. 热点一 利用向量证明平行与垂直 例 1 如图,在直三棱柱 ADE—BCF 中,面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直,M 为 AB 的中点,O 为 DF 的中点.运用向量方法证明: (1)OM∥平面 BCF; (2)平面 MDF⊥平面 EFCD. 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1).平面 α、β 的法向量分别为 μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同). (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a· μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ· v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面 α、β 的法向量分别为 μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角 |a1a2+b1b2+c1c2| π |a· b| 设 l,m 的夹角为 θ(0≤θ≤ ),则 cos θ= = 2 2 2 2 2. 2 |a||b| a1+b1+c1 a2+b2 2+c2 (2)线面夹角 π |a· μ| 设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ(0≤θ≤ ),则 sin θ= =|cos〈a,μ〉|. 2 |a||μ| (3)面面夹角 设半平面 α、β 的夹角为 θ(0≤θ≤π),则|cos θ|= |μ· v| =|cos〈μ,v〉|. |μ||v| 思维启迪 从 A 点出发的三条直线 AB、AD,AE 两两垂直,可建立空间直角坐标系. → 思维升华 (1)要证明线面平行,只需证明向量OM与平面 BCF 的法向量垂直;另一个思路则是根据共面向量 → → → 定理证明向量OM与BF,BC共面.(2)要证明面面垂直,只要证明这两个平面的法向量互相垂直;也可根据面 面垂直的判定定理证明直线 OM 垂直于平面 EFCD, 即证 OM 垂直于平面 EFCD 内的两条相交直线, 从而转化 → → → 为证明向量OM与向量FC、CD垂直. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA= AB=2,∠BAD=60° ,E 是 PA 的中点. (1)求证:直线 PC∥平面 BDE; (2)求证:BD⊥PC; 热点二 利用向量求空间角 例 2 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,AB∥EF,A


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