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江西省师大附中、临川一中2013届高三上学期12月联考数学(理)试卷


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江西省师大附中、临川一中 2013 届高三上学期 12 月 联考数学(理)试卷
注意事项
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息。 2.选择题的答案选出后,把答案填在答题卡的相应位置,不能答在试题卷上。 3.答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所 指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷
(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | A. [?2 , 2] 2.如果 A.1
0.5

B. [?2 , 1)

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( ) x ?1 C. (1 , 2] D. [?2 , +?)
) D.0

2 ? 1 + mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( 1? i
B. ? 1

3.若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c
2 2

B. b ? a ? c

2? ,则( 5

C.2 ) C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

4.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 2 a b
)
2

于 5 ,则该双曲线的方程为( A.5 x ?
2

4 2 5 2 x y2 y2 x2 2 y ?1 ?1 ?1 B. ? C. ? D.5 x ? y ? 1 5 4 5 4 5 4 5.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 + a 2 + a 3 + ? a 7 ,则 k ? ( ) + A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 6. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题: ①若 ? ∥? , l ? m ; 则 ②若 l ? m ,则 ? ∥? ;③若 ? ? ? ,则 l∥ ;④若 l∥ ,则 ? ? ? .其中真命题的 m m
( ) 个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7. 已知偶函数 f ( x ) ? A sin(?x + ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示. 若 ??? ? y 1 △KLM 为等腰直角三角形,且 | KL |? 1 ,则 f ( ) 的值为( )
f x = sin(2?x)

6

A. ?

3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

O

K

L

x

M ? x + y ?1 ? 8.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax + by (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ?

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为 7,则 A.14 9.已知函数 f ( x ) ? ? 意的正整数 m, n ( ) A. [ ,3)

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3 4 + 的最小值为( a b

) C.18 D.13

B.7

?(3 ? a ) x ? 3 ( x ? 7) ?a
x ?6

(x ? 7)

,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N+ ) ,且对任

(m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取值范围是
B. ( ,3)

9 4

9 4

C. ( 2,3)

D. (1,3)

1 ? ?x + , x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根的个 x ? x3 + 3, x ? 0 ?
数不可能为( A.3 ) B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.圆 C : x 2 + y 2 ? 4 被直线 l : x ? y + 1 ? 0 所截得的弦长为 为 . 13.某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为 m ). .

??? ? ??? ? C ( D 5) 12.已知四点 A(1, 2),B (3, 4), ? 2, 2), ? ( 3,,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影
2 1

m . 14.有这样一道题: “在 ? ABC 中,已知 a ? 3 , 2 A+C ) ? ( 2 ? 1) cos B ,求 , 2 cos ( 2 ? 角 A. ”已知该题的答案是 A ? 60 , 若横线
处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 应为 . 15.已知函数 f ( x) ?
2

则该三棱锥的体积为

3

3 主视图

3 左视图

2 俯视图

2

cos ? x , x ? R ,给出下列四个命题: ( x + 1)( x 2 ? 4 x + 5)

① 函数 f ( x) 是周期函数; ②函数 f ( x) 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ( x) 的图像有对称轴; ④对于任意 x ? (?1,0) ,函数 f (x) 的导函数 f '( x) ? 0 . 其中真命题的序号是 .(请写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( 2 s i n (

??

?? ? f ( x) ? m ? n .

x x , 2 s2i n ? 4 4

? n ?, 1)

x (cos ? 4

, , 函)数 3

(1) 求函数 f ( x ) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合;

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(2) 若 f (? +

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?
3

)?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值. 5

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xk + b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数)的图像经 过 A (4, 2) 、B (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)如果函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,解关于 x 的不等式:

g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 .

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? a2 x2 + ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅有一个 零点.命题 q: x2 + 3(a + 1) x + 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 或 q”是假命题, 求实数 a 的取值范围.

1 3 2 2

19. 本小题满分 12 分) ( 已知圆柱 OO1 底面半径为 1, 高为 ? , ABCD 是圆柱的一个轴截面. 动 点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D, 其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示. 将 轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ?

?

C1
D

2

时,求点 C1 到平面 APB 的距离;

O1

C

(3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为

? ? 4

D1
P

若存在,求出线段 BP 的长度;若不存在,请说明理由.

A

?

B1

O

B

A1

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x + k | ln x? 1 |,g (x ) x | x? k ? ,其中 ? | 2
2

0 ? k ? 4.
(1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性,并求出 f ( x ) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, +?) ,都存在 x2 ?[2, +?) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的取 值范围.
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21. (本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an+1

2

2 ? 2an + an an+1 ,



a2 + a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * .
(1) 求数列 {an } 的通项公式;

nan , 是 否 存 在 正 整 数 m, n (1 ? m ? n) , 使 得 (2n + 1) ? 2 n b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值;若不存在,请说明理由.
(2) 设 数 列 {bn } 满 足 bn ? (3) 令 cn ?

(n + 1)2 + 1 5 1 * , 记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) , 证明: ? S n ? . 16 2 n(n + 1)an+2

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江西省师大附中、临川一中 2013 届高三上学期 12 月 联考数学(理)试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | A. [?2 , 2] 2.如果 A.1
0.5

B. [?2 , 1)

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( C ) x ?1 C. (1 , 2] D. [?2 , +?)

2 ? 1 + mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( A ) 1? i
B. ? 1

3.若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c
2 2

B. b ? a ? c

2? ,则( A ) 5

C.2

D.0

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

4.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 2 a b

于 5 ,则该双曲线的方程为( D )

4 2 5 2 x2 y2 y2 x2 2 y ?1 ?1 ?1 B. ? C. ? D.5 x ? y ? 1 5 4 5 4 5 4 5.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 + a2 + a3 + ?+ a7 ,则 k ? ( A ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 6. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题: ①若 ? ∥? , l ? m ; 则 ②若 l ? m ,则 ? ∥? ;③若 ? ? ? ,则 l∥ ;④若 l∥ ,则 ? ? ? .其中真命题的 m m
A.5 x ?
2
( ) 个数是( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 7. 已知偶函数 f ( x ) ? A sin(?x + ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示. 若 ??? ? y 1 △KLM 为等腰直角三角形,且 | KL |? 1 ,则 f ( ) 的值为( C )
f x = sin(2?x)

6

A. ?

3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

O

K

L

x

M ? x + y ?1 ? 8.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax + by (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ?

为 7,则 A.14

3 4 + 的最小值为( B ) a b
B.7 C.18 D.13

9.已知函数 f ( x ) ? ? 意的正整数 m, n (C)
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?(3 ? a ) x ? 3 ( x ? 7) ?a
x ?6

(x ? 7)

,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N+ ) ,且对任

(m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取值范围是

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A. [ ,3)

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C. ( 2,3) D. (1,3)

9 4

B. ( ,3)

9 4

10.已知函数 f ( x) ? ?

1 ? ?x + , x ? 0 ,则关于 x 的方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根的个 x ? x3 + 3, x ? 0 ?
B. 4 C. 5 D. 6

数不可能为( A ) A.3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.圆 C : x 2 + y 2 ? 4 被直线 l : x ? y + 1 ? 0 所截得的弦长为 14 .

? ? 12.已知四点 A(1, 2), B (3, 4),C ( 2, 2),D ( 3, 5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为

??? ?

??? ?

2 10 5 .
13.某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为 m ).

m3 . 14.有这样一道题: “在 ? ABC 中,已知 a ? 3 , 2 A+C ) ? ( 2 ? 1) cos B ,求 , 2 cos ( 2 ? 角 A. ”已知该题的答案是 A ? 60 , 若横线
则该三棱锥的体积为 4 处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 应为 c ?

2 1

3 主视图

3 左视图

6+ 2 . 2

2 俯视图

2

15.已知函数 f ( x) ?

cos ? x , x ? R ,给出下列四个命题: ( x + 1)( x 2 ? 4 x + 5)
2

① 函数 f ( x) 是周期函数; ②函数 f ( x) 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ( x) 的图像有对称轴; ④对于任意 x ? (?1,0) ,函数 f (x) 的导函数 f '( x) ? 0 . 其中真命题的序号是 ②③ .(请写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( 2 s i n (

??

?? ? f ( x) ? m ? n .
(2) 若 f (? + 解

x x , 2 s2i n ? 4 4

? n ?, 1)

x (cos ? 4

, , 函)数 3

(1) 求函数 f ( x ) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合;

?

3 析

)?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值. 5 : (

?? ? x x x x x x ? f ( x) ? m ? n ? 2sin cos + 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin + 3 cos ? 2sin( + ) 4 4 4 2 2 2 3

1



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所以,当

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x ? ? ? + ? 2k? + ,即当 x ? 4k? + (k ? Z ) 时, f max ? 2 。 2 3 2 3
?
3 ) ? 2sin(

(2)由(1)得: f (? +

?
2

+

?
2

) ? 2 cos

?
2

,所以 cos

?
2

?

4 cos ? ? 2 cos ?1 ? ? 。 2 5
由于 ? ? (0, ? ) ,所以 sin ? ? 于是, tan ? ?

2 ?

10 ,从而 10

sin ? 3 ?? 。 cos ? 4

3 。 5

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xk + b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数)的图像经 过 A (4, 2) 、B (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)如果函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,解关于 x 的不等式:

g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 .
解析: (1) ?

? 2 ? 4k + b
k

? 4 ? 16 + b (2)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意一点,由于函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图像关于直线

? b ? 0, k ?

1 ? f ( x) ? x 。 2

y ? x 对称,所以 M ( x, y) 关于直线 y ? x 的对称点 M / ( y, x) 必在曲线 y ? f ( x) 上,所以

x ? y ,即 y ? x2 ,所以 g ( x) ? x2 ( x ? 0) 。于是 x?2? 0 ? g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 ? ? 2 2 ? x + ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 x?2 ? ?? ?( x ? a)( x ? 2) ? 0
① 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? 2 ; ② 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? a 。 18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? a x + ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅有一个
2 2 2 零点.命题 q: x + 3(a + 1) x + 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 或 q”是假命题,

1 3 2 2

求实数 a 的取值范围. 解析:先考查命题 p: 2 1 由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然 a≠0,∴x=- 或 x= a a 2 1 | |≤1, | |≤1, a a ∵方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有且仅有一解,故 或 1 2 | |>1 | |>1. a a

? ? ?

? ? ?

∴-2<a≤-1 或 1≤a<2. 再考查命题 q: 1 3 2 1 3 ∵x∈?2,2?,∴3(a+1)≤-?x+x ?在?2,2?上恒成立. ? ? ? ? ? ?

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1 9 9 5 易知?(x+x )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . ? ? 2 2 2 ∵命题“p 或 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 都是假命题, 5 ∴a 的取值范围为{a| - <a≤-2 或-1<a<1 或 a≥2}. 2 19. 本小题满分 12 分) ( 已知圆柱 OO1 底面半径为 1, 高为 ? , ABCD 是圆柱的一个轴截面. 动 点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D, 其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示. 将 轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ? ? / 2 时,求点 C1 到平面 APB 的距离;

(3) 是否存在 ? , 使得二面角 D ? AB ? P 的大小为 ? / 4 ?若存在,求出线段 BP 的长度; 若不存在,请说明理由.
C1
D

O1

C

D

C1

C

D1
P

P

A

?

B1

O

B

A

B1

B

A1 解法一: (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边 BA,曲线 ? 就是对角线 BD。由于 AB ? ? r ? ? , AD ? ? ,所以这实际上是一个正方形.

所以曲线 ? 的长度为 BD ? (2)当 ? ?

?

2? .

2

时,点 B1 恰好为 AB 的中点,所以 P 为 B1C1 中点,故点 C1 到平面 APB
C1
D

的距离与点 B1 到平面 APB 的距离相等。 连结 AP、BP,OP. 由 AB ? B1P 且 AB ? A1B1 知: AB ? 平面 APB. 从而平面 A1B1P ? 平面 APB。 作 B1H ? OP 于 H,则 B1H ? 平面 APB。 所以, B1H 即为点 B1 到平面 APB 的距离。
O1
C

D1
P
H

? 在 Rt?OB1P 中, OB1 ? 1, B1 P ? BB1 ?
所以 OP ? 1 + ( ) ?
2 2

?
2


A
?

B1

?

? +4
2

O

B

2

OB ? B P B1 H = 1 1 ? OP

1?

? ? 2 ? 。所以,点 C1 到平面 APB 的距离为 。 ?2 +4 ?2 +4 ?2 +4 2
? 即可。 4
C1

?

2

。于是:

A1

(3)由于二面角 D ? AB ? B1 为直二面角,故只要考查二面角 P ? AB ? B1 是否为

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D 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com C

O1

D1
P

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过 B1 作 B1Q ? AB 于 Q,连结 PQ。

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由于 B1Q ? AB , B1P ? AB ,所以 AB ? 平面 B1PQ , 所以 AB ? PQ 。 于是 ?PQB1 即为二面角 P ? AB ? B1 的平面角。

? 在 Rt? PB1Q 中, B1Q ? sin ? , B1P ? BB1 ? ? 。
,则需 B1P ? B1Q ,即 sin ? ? ? 。 4 令 f ( x) ? sin x ? x (0 ? x ? ? ) ,则 f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 , 故 f ( x ) 在 (0, ? ) 单调递减。所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 sin x ? x 在 (0, ? ) 上 (0, ? ) 恒成立。故不存在 ? ? (0, ? ) ,使 sin ? ? ? 。也就是说,不存在 若 ?PQB1 ?

?

? ? (0, ? ) ,使二面角 D ? AB ? B1 为

? 。 4

解法二:如图,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 与 OB 垂直的直线为 y 轴,建立空

? 间直角坐标系。则 A(?1,0,0), B(1,0,0) , B1 (cos? ,sin ? ,0) 。由于 B1 P ? BB1 ? ? ,所以
??? ? ??? ? P(cos? , sin? ,? ), C1 (cos? ,sin ? , ? ) ,于是 AP ? (cos ? +1,sin ?, ?) , AB ? (2,0,0) 。
z
C1
D

O1

C

D1
P y A
?

B1

O

Q

B

x

(1)同解法一; (2)当 ? ? 个法向量。 又 ,

A1

?
2

时, AB ? (1,1,

??? ?

?

?? ??? ? ? ) , AB ? (2,0,0) ,所以 m ? (0, ? ,1) 是平面 APB 的一 2 2

???? ? , OC1 ? ( 0 ? , 1 , 所 ) 以 点 C1 到 平 面 APB 的 距 离 为 ?? ???? ? | ?? +? | | m ? C1O | ? ?? h? ? 2 ? 。 |m| ?2 ?2 +4 1+ 4 ?? ? x(cos ? + 1) + y ? sin ? + z ?? ? 0 (3)设 m ? ( x, y, z) 是平面 APB 的一个法向量,则 ? , 2x + 0 + 0 ? 0 ? ?? 取 m ? (0, ?? ,sin ? ) 。 ? 又 n ? (1,0,0) 是平面 DAB 的一个法向量。 ?? ? ?? ? m? n sin ? 2 ? ? 由 cos ? m, n ?? ?? 得: sin ? ? ? 。以下同解法一。 | m|?| n | ? 2 + sin 2 ? 2
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20、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 + k | ln x? 1 |,g (x ) x | x? k ? ,其中 ? | 2 0 ? k ? 4。 (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并求出 f ( x ) 的极值; (2)若对于任意 x1 ?[1, +?) ,都存在 x2 ?[2, +?) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的 取值范围。

? 2x2 ? k (0 ? x ? e) ? x ? x ? k ln x + k (0 ? x ? e) ? ' 解析:(1) f ( x) ? ? 2 ,所以 f ( x) ? ? 。 2 ? x ? k ln x + k ( x ? e) ? 2 x + k ( x ? e) ? x ? k k 易知, f ( x ) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , +?) 单调递增。 2 2 k 3k k k 所以 f 极小 ? f ( )? ? ln . 2 2 2 2 1 (2) ? k ? 4 . 3
2

2 2 21.(本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an+1 ? 2an + an an+1 , 且

a2 + a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * .
(1) 求数列 {an } 的通项公式;

nan ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 b1 , bm , bn (2n + 1) ? 2 n 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由。
(2) 设数列 {bn } 满足 bn ? (3) 令 cn ?

(n + 1)2 + 1 5 1 ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,其中 n ? N * ,证明: ? S n ? 。 16 2 n(n + 1)an+2
2

2 ? 2an + an an+1 ,即 (an+1 + an )(2an ? an+1 ) ? 0 又 an ? 0 ,所以有 2an ? an+1 ? 0 ,即 2an ? an+1

解析:(1) 因为 an+1

所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. 由 a2 + a4 ? 2a3 + 4 得 2a1

从而,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 (n ? N * ) 。
n

+ 8a1 ? 8a1 + 4 ,解得 a1 ? 2 。

nan m 2 1 n n ) ? ( ), ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n + 1) ? 2 2n + 1 2m + 1 3 2n + 1 m2 n 即 . ? 2 4m + 4m + 1 6n + 3
(2) bn ?

m2 n 3 ?2m2 + 4m + 1 ,可得 ? , ? n m2 4m 2 + 4m + 1 6n + 3 6 6 所以 ?2m2 + 4m + 1 ? 0 ,解得:1 ? 。 ? m ? 1+ 2 2 又 m ? N* ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .
由 故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 .使得 b1 , bm , bn 成等比数列。

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(3) cn ?

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(n + 1)2 + 1 1 n2 + 2n + 2 ? ? n(n + 1)2n+ 2 2 n(n + 1) ? 2n+1

? 1 ? n2 + n n+2 ? ? + n +1 n +1 ? 2 ? n(n + 1)2 n(n + 1) ? 2 ? ? 1? 1 1 1 ? ? n+1 + ? n n +1 ? 2 ?2 n ? 2 (n + 1)2 ?
∴ Sn ?

? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ( 2 + ? + n+1 ) + ?( ? )+( ? ) +?+ ( ? ) 2 2 3 n n +1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 (n + 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) ? 1 22 1 2 + 1 ?1 ? ? ? ? 2 (n + 1) ? 2n+1 ? 1 2 2? ? 1? 2 1? 1 n + 2? ? ?1 ? ( ) n +1 ? 2? 2 n +1 ? ? 1 n +1 n + 2 1 n +1 1 1 n+2 1 1+ 2 3 ? ( ) (1 + ) 递减,∴ ( ) n +1 ? ? ( )1+1 ? ? 易知 ( ) ? 0< 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 1+1 8 5 1 1 n +1 n + 2 1 5 1 ] ? ,即 ? S n ? 。 ∴ ? [1 ? ( ) ? 16 2 2 n +1 2 16 2

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