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必修2第四章圆与方程复习


必修二第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程: (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;
2

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系:(1)当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外;
2

(2)当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上;(3)当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

?

2

2?

2

? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2
2

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半 径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 5、共点圆方程的设法 设圆 C1 : x2 ? y2 ? D1 x ? E1 y ? F ? 0, C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,则过圆 C1 与圆 C2 的方程可设为 1 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,特别的当 ? ? ?1 时表示两圆公共弦的方程。 一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径为( ). A. 5 B.5 C.25 D. 10 ).

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 A.(x-3) +(y+4) =16 B.(x+3) +(y-4)2=16 2 2 C.(x-3) +(y+4) =9 D.(x+3)2+(y-4)2=19
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4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2

). D.无解

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B.6

). D.4 3

C.6 2

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 2 2 2 7. x +y -2x-5=0 与圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A, 则线段 AB 的垂直平分线的方程( 圆 B, A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 8.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0 10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( ). A.2 43 B.2 21 C.9 D. 86

).

二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 . 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 2 2 2 2 14.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,试确定常数 a 的值 . 15.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 . 2 2 16.设圆 x +y -4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 . 17. 若曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? x ? b 始终有交点,则 b 的取值范围是 b 的取值范围是 三、解答题 .若有两个交点,则 b 的取值范围是
2 2

.若有一个交点,则 .

18、已知实数 x,y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 。则(1)求 值和最小值。 (3)求 y ? x 的最大值和最小值。

y 2 2 的最大值和最小值。 (2)求 x ? y 的最大 x

19.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0). 20.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程. 20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程. 21、已知方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m ) y ? 16m ? 9 ? 0 表示一个圆,则(1)求实数 m 的取值范
2 2 2 4

围。 (2)求圆半径 r 的取值范围。 (3)求圆心的轨迹方程。 22.求圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,并且经过两圆 C1 : x ? y ? 4x ? 3 ? 0, C2 : x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 的交点
2 2 2 2

的圆的方程。
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