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选修1-1 3.4生活中的优化问题举例


选修 1-1 3.4 生活中的优化问题举例
一、选择题 1、某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益
1 ? ?400x-2x2 ?0≤x≤400? r 与年产量 x 的关系是 r=? ,则总利润最大时,年产量是( ? ?80 000 ?x>400? A.100 B.150 C.200 D.300 )

2、要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则高为(
3 cm 3 16 3 C. cm 3 A. 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3

)

3、若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为(
3 A. V 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V

)

4、某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌
新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( A.32 米,16 米 B.30 米,15 米 C.40 米,20 米 D.36 米,18 米 )

5、已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=-3x3+81x
-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 )

1

60-x? 6、某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2? ? 2 ? (0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底 面边长为( A.30 ) B.40 C.50 D.其他

二、填空题 7、做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.

8、如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时,x 与 h 的
比为________.

9、某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比, 如果在距离车站 10 千米处建仓库, 这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元. 那 么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.

三、解答题 10、已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数关系式为
1 p=25- q,求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 8

11、某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的
楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使 楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层?(注: 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地 购地总费用 费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

12、某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可以增加,且每
星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

13、某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和
桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式;

(2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

以下是答案 一、选择题 1、D [由题意,总成本为 c=20 000+100x,
所以总利润为 p=r-c x ? ?300x- 2 -20 000 ?0≤x≤400? =? , ? ?60 000-100x ?x>400? p′=?
2

?300-x ?0≤x≤400? ? ? ?-100 ?x>400?



p′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300; 当 x>400 时,p′<0 恒成立, 易知当 x=300 时,总利润最大.]

2、D [设高为 x cm,则底面半径为 202-x2 cm,
π 体积 V= x· (202-x2) (0<x<20), 3 π 20 3 20 3 20 3? 20 3 ? V′= (400-3x2), 由 V′=0, 得 x= 或 x=- (舍去). 当 x∈?0, 时, V′>0, 当 x ∈? 3 3 3 3 ? ? ? 3 ,20? 20 3 时,V′<0,所以当 x= 时,V 取最大值.] 3

3、C [设底面边长为 a,直三棱柱高为 h.
3 2 4V a h,所以 h= , 4 3a2 3 4V 3 4 3V 表面积 S=2· a2+3a· 2= a2+ , 4 2 a 3a 体积 V= 4 3V 3 S′= 3a- 2 ,由 S′=0,得 a= 4V. a 3 经验证,当 a= 4V时,表面积最小.]

4、A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,

512 512 如图所示,设场地宽为 x 米,则长为 米,因此新墙壁总长度 L=2x+ (x>0), x x

512 则 L′=2- 2 . x 令 L′=0,得 x=± 16.∵x>0,∴x=16. 512 当 x=16 时,L 极小值=Lmin=64,此时堆料场的长为 =32(米).] 16

5、C [y′=-x2+81,令 y′=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 0<x<9 时,y′>0;当 x>9 时,y′<0,故
当 x=9 时,函数有极大值,也是最大值.]

6、B [V′(x)=60x-2x2=0,x=0 或 x=40.
x V′(x) V(x) 可见当 x=40 时,V(x)达到最大值.] (0,40) + ? 40 0 极大值 (40,60) - ?

3

二、填空题 7、3
27π 27 = . πr2 r2 27 54π ∴水桶的全面积 S(r)=πr2+2πr· 2 =πr2+ . r r 54π S′(r)=2πr- 2 ,令 S′(r)=0,得 r=3. r 解析 设半径为 r,则高 h= ∴当 r=3 时,S(r)最小.

8、1∶1
π S π 解析 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S= x2+2hx,h= - x,所以窗户周长 2 2x 4 π S π S L=πx+2x+2h= x+2x+ ,L′= +2- 2. 2 x 2 x 2S ? ? 2S 由 L′=0,得 x= ,x∈?0, ?时,L′<0, π+4? π+4 ? x∈?

? ?

2S ? ,+∞?时,L′>0, π+4 ? 2S 时,L 取最小值, π+4

所以当 x=

2 h 2S-πx 2S π π+4 π 此时 = = 2- = - =1. x 4x2 4x 4 4 4

9、5
k1 解析 依题意可设每月土地占用费 y1= , 每月库存货物的运费 y2=k2x, 其中 x 是仓库到车站的距离. x k1 4 于是由 2= ,得 k1=20;由 8=10k2,得 k2= . 10 5 20 4x 20 4 因此两项费用之和为 y= + ,y′=- 2 + , x 5 x 5 20 4 令 y′=- 2 + =0 得 x=5(x=-5 舍去),经验证,此点即为最小值点. x 5

故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小.

三、解答题
1 ? 1 2 10、解 收入 R=q· p=q? ?25-8q?=25q-8q . 1 2? 利润 L=R-C=? ?25q-8q ?-(100+4q) 1 =- q2+21q-100 (0<q<200), 8 1 L′=- q+21, 4 1 令 L′=0,即- q+21=0,解得 q=84. 4 因为当 0<q<84 时,L′>0; 当 84<q<200 时,L′<0, 所以当 q=84 时,L 取得最大值. 所以产量 q 为 84 时,利润 L 最大.

11、解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则 f(x)=(560+48x)+
10 800 =560+48x+ (x≥10,x∈N*), x 10 800 f′(x)=48- 2 , x 令 f′(x)=0 得 x=15. 当 x>15 时,f′(x)>0; 当 0<x<15 时,f′(x)<0. 因此,当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2 000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层.

2 160×10 000 2 000x

12、解 (1)设商品降低 x 元时,多卖出的商品件数为 kx2,若记商品在一个星期的销售利润为 f(x),
则依题意有 f(x)=(30-x-9)· (432+kx2) =(21-x)· (432+kx2), 又由已知条件 24=k· 22,于是有 k=6, 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30]. (2)根据(1),有 f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x [0,2) 2 0 f′(x) - ? 极小值 f(x) ? 星期的商品销售利润最大. (2,12) + ? 12 0 极大值 (12,30] - ?

故 x=12 时,f(x)达到极大值.因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664,所以定价为 30-12=18(元)能使一个

13、解 (1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,
m 即 n= -1 (0<x<m), x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x 256m = +m x+2m-256 (0<x<m). x 256m 1 1 (2)由 (1)知,f′(x)=- 2 + mx- x 2 2 m 3 = 2(x -512). 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; m 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时 n= x 640 -1= -1=9. 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.


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