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第四讲 对数与对数函数


第四讲
知识要点: 1. 对数及其运算法则 (i) a b ? N ? loga N ? b, a (ii) loga 1 ? 0, loga a ? 1 (iii) loga MN ? loga M ? loga N (iv) log a
loga N

对数与对数函数

? N ? loga a N (a ? 0, a ? 1)

M ? log a M ? log a N N
n

(v) log a M

? n log a M , log a n M

p

?

p log a M n

(vi) loga N ?
loga N

logb N 1 , loga b ? , (a, b ? 0, a, b ? 1) logb a logb a

(vii) M

? N loga M

2.对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象和性质

y
图 象

a ?1 y ? loga x

0 ? a ?1

(a ? 1)
1

y

y ? loga x (0 ? a ? 1)

o

x

o

x

性 质

(1)定义域: (0,??) (2)值域: R (3)过点(1,0) ,即 x=1 时, y ? loga 1 ? 0 (4)在 (0,??) 上是增函数 (4)在 (0,??) 上是减函数

时, y ? 0 (5) x ? 1 0 ? x ? 1时, y ? 0

时, y ? 0 (5) x ? 1 0 ? x ? 1时, y ? 0

题例: 1.若 x log 2 3 ? 1,则 3 ? 9 的值为 (
x x



A.6

B.3

C.

5 2

D.

1 2

2.函数 y ? loga (2x ? 3) ? 1 的图像恒过定点 P , 则点 P 的坐标是



3.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ,则 f (?2 ? log3 5) =
x

1 3

.

4.若 x ? (e?1,, 1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln3 x ,则 A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c x 5. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是( D. )

b <c<a

6. 设 a ? 1 ,实数 x, y 满足 | x | ? log a y 1 0 A x B 0 y

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图像形状大致是( y
y y



1

x C

0

1

x D

0

1

x

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
则 abc 的取值范围是___________.
x ?y ?x y 8.已知 3 ? 3 ? 5 ? 5 成立,则下列正确的是(

) D. x ? y ? 0

A. x ? y ? 0

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0

1 9.已知函数 f ( x) ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 在区间[ ,4]上的最大值与最小值的差为 3,求 a 的值. 2

1 x ,求函数 f(x)= log2 ? log 2 2 1 x 解:由 2 ? 256得 x≤8,则 ≤ log2 x ≤3, 2
10.已知 2 ? 256 且 log 2 x ?
x

2

x 的值域. 2

y=f(x)= (log2 x ? 1)(log2 x ? 2) = (log2 x) ? 3 log2 x ? 2 ,
2

2 令 log2 x ? t ,则 t∈ [ ,3] ,则 y= t ? 3t ? 2 ,其中对称轴为 t=

1 2

3 3 1 ,故当 t= 时,y 有最小值是 ? , 2 2 4

故 t=3 时,y 最大值 2,故函数值域是 [ ?

1 , 2] 4
时, 有 y ? 1, 解关于 x 的不等式 loga ( x ? 1) ? loga ( x2 ? x ? 6) 。

( , ?? ) 11. 已知指数函数 y ? ( ) x , 当 x ?0

1 a

12.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) , a ? 0 且 a ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围. 13.已知函数 f ( x) ? log2 x , x ? ?2,8? ,函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的 最小值为 h(a) 。 (1)求 h(a) ; (2)是否存在实数 m ,同时满足以下条件:
2 2 ① m ? n ? 3 ;② 当 h(a) 的定义域为 ?n, m? 时,值域为 n , m ,若存在,求出 m, n 的值;若

?

?

不存在,说明理由。 解: (1)? x ? ?2,8?, 则 g (t ) ? t 2 ? 2at ? 3 ? ?t ? a? ? 3 ? a 2 ? log2 x ? ?1,3? 设? log2 x ? t , t ? ?1,3?,
2

当 a ? 1 时, ymin ? g (1) ? 4 ? 2a ,当 1 ? a ? 3 时, ymin ? g (a) ? 3 ? a 2 当 a ? 3 时, y min ? g (3) ? 12 ? 6a

(a ? 1) ?4 ? 2 a ? 2 (1 ? a ? 3) 所以 h( a ) ? ?3 - a ?12 - 6a (a ? 3) ?
(2)因为 m ? n ? 3 ,所以 h(a) ? 12 ? 6a 在 ?3,??? 上为减函数, 因为 h(a) 的定义域为 ?n, m? ,值域为 n , m ,
2 2

?

?

?12 ? 6m ? n 2 所以 ? ,两式相减得 6(m ? n) ? (m ? n)(m ? n) 2 ?12 ? 6n ? m
所以 m ? n ? 6 ,但这与“ m ? n ? 3 ”矛盾,故满足条件的实数 m, n 不存在。

14.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 (0, 1) 和 (1, 4) , 且对于任意的实数 x, 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 g ( x) ? kx ? 1, 若F ( x) ? log 2[ g( x) ? f ( x)] 在区间[1,2]上是增函数,求实数 k 的取值范围. 解: (1) f (0) ? 1 ? c ? 1, f (1) ? 4 ? a ? b ? c ? 4

? f ( x) ? ax2 ? (3 ? a) x ? 1 f ( x) ? 4 x即ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0恒成立得 ?a ? 0 由? ? a ?1 2 ( a ? 1 ) ? 4 a ? 0 ? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1
(2) F ( x) ? log2 ( g ( x) ? f ( x)) ? log2 (? x ? (k ? 2) x) ,由 F(x)在区间[1,2]上是增函数得
2

?k ? 2 ?2 ? h( x) ? ? x ? (k ? 2) x在[1,2] 上为增函数且恒正,故 ? 2 ?k ?6 ? ?? 1 ? k ? 2 ? 0
2

练习四 一. 选择题

对数与对数函数
x

1.已知集合 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ? ? , x ? 0} ,则 A A. { y | 0 ? y ? } B. { y | 0 ? y ? 1}

?1? ?2?

B?(



1 2

C. { y |

1 ? y ? 1} D. ? 2
) D.[2,4) B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

2.函数 y ? lg(? x 2 ? 4 x) 的单调递增区间是( A.(- ? ,2] B.(0,2]

C.[ 2 ,?? ) ) A.0 个

3.函数 f ( x) ? ln x ? x 的零点个数是(

4.已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 ( (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??) )

5.若 x ? (e?1,, 1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln3 x ,则( A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c

D. b < c < a

6.设 a>1,且 m ? loga (a 2 ? 1), n ? loga (a ? 1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为 (A) n>m>p (B) m>p>n (C) m>n>p (D) p>m>n )

7.已知 y ? log a (2 ? ax) 是 [0,1] 上的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) 8.已知 f ( x) ? ? B. (1,2) C. (0,2) D. [2,??)

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是( log x , x ? 1 ? a
B. (0, )



A. (0,1) 二. 填空题

1 3

C. ? , ?

?1 1 ? ?7 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?7 ?

9.函数 f ( x) ? loga (2x ? 1) ? 2(a ? 0且a ? 1) 必过定点

10.函数 f ( x) ?

8 ? 2x 的定义域为______________. log2 (3x ? 1)
? log3 x , ( x ? 4) ,那么 f (5) 的值为 ? f ( x ? 1), ( x ? 4)

11.已知函数 f ( x) ? ?



三. 解答题 12.已知函数 f ( x) ? log2 (2x ?1) (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的增减性;

13.函数 f ( x) ? x ?

a ( a 为常数)的图象过点 (2,0) , x

(Ⅰ)求 a 的值并判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)函数 g ( x) ? lg[ f ( x) ? 2 x ? m] 在区间 [2,3] 上有意义,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? t ? 4 x ? x 2 ( t 为常数)的正根的个数.

练习四 1.B 2. B 3. A 4.C 5. C 6.B 7. B
x x

对数与对数函数参考答案 8.C 9.(0,2)10. ( ? ,0) ? (0,4]

1 3

11.1

12.解: (1) 2 ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 所以定义域为 {x | x ? 0} (2) u ? 2 ? 1 在 (0, ??) 单调递增, y ? log 2 u 在 (0, ??) 单调递增,故 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数。
x

20 解: (Ⅰ)依题意有 0 ? 2 ? 此时 f ( x) ? x ?

a ? a ? ?4 , 2

4 4 ,其定义域为 {x x ? 0} ,由 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 即 f ( x) ? x ? 为奇函数; x x

(Ⅱ)函数 g ( x) ? lg[ f ( x) ? 2 x ? m] 在区间 [2,3] 上有意义,即

4 4 x ? ? 2x ? m ? 0 对 x ? [2,3] 恒成立,得 ( x ? ? 2 x )min ? m x x 4 令 h( x) ? x ? ? 2 x , x ? [2,3] 先证其单调递增:任取 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 x
h( x2 ) ? h( x1 ) ? x2 ? 4 4 ( x ? x )( x x ? 4) ? 2 x2 ? ( x1 ? ? 2 x1 ) ? 2 1 1 2 ? (2 x2 ? 2 x1 ) x2 x1 x1 x2

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,故 h( x ) 在 x ? [2,3] 递增, 则 (x ?

4 x ? 2 )min ? h(2) ? 4 ,得 m ? 4 . x

(Ⅲ)构造函数 y1 ? f ( x) , y2 ? ?( x ? 2)2 ? t ? 4 结合图象有: ①当 t ? 4 ? 0 ? t ? ?4 时,正根的个数为 0; 如图一 ②当 t ? 4 ? 0 ? t ? ?4 时,正根的个数为 1; 如图二 ③当 t ? 4 ? 0 ? t ? ?4 时,正根的个数为 2; 如图三

图一

图二

图三


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