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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 频率与概率课时提升作业 北师大版必修3


频率与概率

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·日照高一检测)下列现象中,是随机事件的有 ( ①在 一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过 300 辆; ②若 a 为整数,则 a+1 为整数; ③发射一颗炮弹,命中目标; ④检查流水线上一件产品是合格品还是次品. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

【解析】选 C.当 a 为整数时,a+1 一定为整数,是必然现象,其余 3 个均为随机事件. 【变式训练】12 个同类产品中含有 2 个次品,现从中任意抽出 3 个,不可能事件是 ( A.3 个都是正品 C.3 个都是次品 B.至少有一个是次品 D.至少有一个是正品 )

【解析】选 C.A,B 都是随机事件,因为只有 2 个次品,所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少 有一个是正品”是必然事件. 2.(2014·海口高一检测)下列事件中,不可能事件为 ( A.钝角三角形两个小角之和小于 90° B.三角形中大边对大角,大角对大边 C.锐角三角形中两个内角和小于 90° D.三角形中任意两边的和大于第三边 【解题指南】根据三角形内角和定理、三角形的边角关系判断. 【解析】 选 C.若两内角的和小于 90°,则第三个内角必大于 90°,故不是锐角三角形,所以 C 为不可能事件, 而 A,B,D 均为必然事件. 3.下列结论正确的是 ( ) )

A.事件 A 的概率 P(A)的值满足 0<P(A)<1 B.如 P(A)=0.999,则 A 为必然事件 C.灯泡的合格率是 99%,从一批灯泡中任取一个,取到合格品的可能性为 99% D.如 P(A)=0.001,则 A 为不可能事件 【解析】 选 C.根据必然事件和不可能事件的概念知,必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,从而排 除
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A,B,D,故选 C. 4.(2013·潍坊高一检测)从一批计算机中随机抽出 100 台进行质检,其中有 10 台次品,下列说法正确的是 ( ) B.次品率大于 10% D.次品率等于 10% =0.1 只是一次试验的频率,而概率是多次试验中频率的稳定值,故选 C.

A.次品率小于 10% C.次品率接近 10% 【解析】选 C.本题中的

【拓展延伸】在试验中感悟“频率稳定于概率”的规律 通过大量的课内和课外的反复试验 ,我们发现尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性 ,但只要 保持试验不变,当试验次数很大时,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定,这个稳 定值就可以作为该事件在每次试验中发生的可能性(即概率)的一个估计值.例如,从一副 52 张(没有大小王) 的牌中每次抽出一张,然后放回洗匀再抽,在这个 试验中,我们可以发现,虽然每次抽取的结果是随机的、 无 法预测的,是一个随机事件,但是随着试验次数的增加,出现每一种花色牌的频率都稳定在 25%左右,因此我 们可以用平稳时的频率估计牌在每次抽出时的可能性,即概率的大小. 5.(2013· 开封高二检测)在抛掷一枚硬币的试验中共抛掷 100 次,“正面朝上”的频率为 0.49,则“正面朝 下”的次数是 ( A.0.49 ) B.49 C.0.51 D.51

【解题指南】先求出“正面朝下”的频率,再求“正面朝下”的次数. 【解析】选 D.由条件可知,“正面朝下”的频率为 0.51,又共抛掷 100 次,所以“正面朝下”的次数是 0.51 ×100=51. 6.(2014·曲师大附中高一检测)从存放号码分别为 1,2,?,10 的卡片的盒子里,有放回地取 100 次,每次取 一张卡片,并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到的次数 则取到号码为奇数的频率是 A.0.53 C.0.47 B.0.5 D.0.37 =0.53. ( ) 1 13 2 8 3 5 4 7 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

【解析】 选 A.取到号码为奇数的卡片共有 13+5+6+18+11=53(次),所以取到号码为奇数的频率为 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

7.(2014· 泰州高一检测)给出下列事件:①明天进行的某场足球赛的比分是 2∶1;②下周一某地的最高气温
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和最低气温相差 10℃;③同时掷两枚骰子,向上一面的点数之和不小于 2;④射击 1 次,命中靶心;⑤当 x 为 实数时,x +4x+4<0.其中,必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________. 【解析】要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看 是一定发生,还是不一定发生,或是一定不发生,据此作出判断. 答案:③ ⑤ ①②④ 8.(2014·海门高一检测)一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了 20 000 部汽车,时间 从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日,共发现有 600 部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡 风玻璃破碎的概率近似为________. 【解析】在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为 答案:0.03 9.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次 10 环,3 次 9 环,4 次 8 环,1 次脱靶,在这次练习中,这个人 中靶的频率是________,中 9 环的频率是________. 【解析】打靶 10 次,9 次中靶,故中靶的频率为 答案:0.9 0.3 =0.9,其中 3 次中 9 环,故中 9 环的频率是 =0.3. =0.03,所以估计其破碎的概率约为 0.03.
2

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.某射手在同一条件下进行射击,结果如表: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心频率 (1)计算表中击中靶心的各个频率. (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 【解析】(1)如表 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心频率 10 8 0.8 20 19 0.95 50 44 0.88 100 93 0.93 200 178 0.89 500 453 0.906 10 8 20 19 50 44 100 93 200 178 500 453

(2)根据频率与概率的关系,可以认为射手射击一次,击中靶心的概率约是 0.91. 【变式训练】下表为某健康调查机构调查某地区各中学学生眼睛近视情况所得数据,其中 n 为调查人数,m
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为眼睛近 视人数, 为眼睛近视的频率. n m 100 29 0.29 120 36 0.30 150 48 a 160 40 0.25 200 62 0.31

则 a=________,从该地区任选一名学生,该学生眼睛近视的概率约为________. 【解析】 a= =0.32,该地区学生眼睛近视的频率在 0.30 附近波动,所以从该地区任选一名学生,该学生眼

睛近视的概率约为 0.30. 答案:0.32 0.30 11.某活动小组为了估计装有 5 个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个,在不 将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共 20 组进行摸球试验.其中一位学生摸球,另一 位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每一组做 400 次试验,汇总起来后,摸到红球次数为 6 000 次. (1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率. (2)请你估计袋中红球的个数. 【解析】(1)因为 20×400=8 000, 所以摸到红球的频率为: =0.75,

因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率 ,所以估计从袋中任意摸出一个球 ,恰好是红球的概 率是 0.75. (2 )设袋中红球有 x 个,根据题意得: =0.75,解得 x=15, 经检验 x=15 是原方程的解. 所以估计袋中红球接近 15 个. 【拓展提升】 1.求概率的基本方法 (1)先求频率:频率= .

(2)用频率估计概率:当总试验次数较大时可以用频率估计概率. 2.概率的应用

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利用“频率=

”公式,已知频数和总试验次数及频率三个量中的两个就可求出另外一个.

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一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·郑州高二检测)下列事件: ①如果 a>b,那么 a-b>0. ②任取一实数 a(a>0 且 a≠1),函数 y=logax 是增函数. ③某人射击一次,命中靶心 . ④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球. 其中是随机事件的为 ( A.①② ) C.①④ D.②③

B.③④

【解析】选 D.①是必然事件;②中 a>1 时,y=logax 为增函数,0<a<1 时,y=logax 为减函数,故是随机事件;③ 是随机事件;④是不可能事件. 【变式训练】给出下列三个命题,其中正确命题的个数是 ( )

①设有一大批产品,已知其次品率为 0.1 ,则从中任取 100 件,必有 10 件是次品; ②进行 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此,出现正面的概率是 ; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

【解析】选 A.概率只是说可能性的大小,故①不正确,②中的 是频率而不是概率,③频率不等同于概率. 2.100 件产品中,95 件正品,5 件次品,从中抽取 6 件:至少有 2 件正品;至少有 3 件次品;6 件都是次品;有 2 件次品、4 件正品.以上四个事件中,随机事件的个数是( A.3 B.4 C.2 D.1 )

【解析】选 A.从 95 件正品,5 件次品中抽取 6 件,在这个试验中所有可能结果为:6 件正品,5 件正品 1 件次 品,4 件正品 2 件次品,3 件正品 3 件次品,2 件正品 4 件次品,1 件正品 5 件次品共计 6 种可能.从中抽取 6 件不会出现 6 件都是次品,所以 6 件都是次品为不可能事件.所以随机事件的个数是 3.故选 A. 【变式训练】在 20 支同型号钢笔中,有 3 支钢笔是次品,从中任意抽取 4 支钢笔,则以下事件是必然事件的 是 ( )

A.4 支均为正品 B.3 支为正品,1 支为次品 C.3 支为次品,1 支为正品 D.至少有 1 支为正品
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【解析】选 D.因为仅有 3 支钢笔是次品,故抽样的结果有以下四种情况:4 支全是正品,有 1 支次品,有 2 支 次品,有 3 支次品. 3.(2 014· 德州高一检测)在 1,2,3,?,10 这 10 个数字中,任取 3 个数字,那么“这三个数字的和大于 6”这 一事件是 ( A.必然事件 C.随机事件 ) B.不可能事件 D.以上选项均不正确

【解析】选 C.因为从 1~10 中任取 3 个数字,其和大于或等于 6,所以“三个数字的和大于 6”可能发生, 也可能不发生,故是随机事件. 【误区警示】在 1,2,3,?,10 这 10 个数字中任取 3 个数字,当所取得数字为 1,2,3 时,它们的和最小为 6, 这也是极易被忽视的地方,而误选 A. 4 .先从一副扑克牌中抽取 5 张红桃,4 张梅花,3 张黑桃,再从抽取的 12 张牌中随机抽出 10 张,恰好红桃、 梅花、黑桃 3 种牌都抽到,这种事情 ( A.可能发生 C.必然发生 )

B.不可能发生 D.无法判断

【解析】选 C.因为 12 张牌中,红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小于 10,故从 12 张扑克中抽取 10 张,三种牌一定都有. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·泰州高二检测)一袋中装有 10 个红球,8 个白球,7 个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了 保证在第 k 次或第 k 次之前能首次摸出红球,则 k 的最小值为________. 【解析】至少需摸完黑球和白球共 15 个. 答案:16 【误区警示】本题极易认为摸出所有的黑球和白球 15 个即可摸到红球,而忽视了摸完黑球和白球之后还必 须再摸一次,才能摸到红球. 6.给出下列事件: ①同时掷四枚均匀硬币,至少有两枚“正面向上”; ②用 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内,每盒投入的球数不限,恰好有一空盒; ③有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿,每人可以随意进任意一间,而且一个房间也可以住几个人,恰好 4 个房 间中各有 1 人; ④某人有 5 把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他逐把不重 复地试开,恰好第三次打开房门锁.
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其中,随机事件的序号为________. 【解析】在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件是随机事件,这四个事件均符合随机事件的定义. 答案:①②③④ 【举一反三】把本题中的④改为:“某人有 5 把钥匙,其中有一把是打开房门 的钥匙,但他忘记了哪一把是 打开房门的钥匙,于是他逐把不重复地试开,第三次还没有打开房门锁”,那么该事件类型如何? 【解析】这个人第三次不能打开房门锁可能发生,也可能不发生,故是随机事件. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.10 个学生中,男生有 x 人,现从 10 个学生中任选 6 人去参加某项活动.①至少有 1 个女生;②5 个男生,1 个女生;③3 个男生,3 个女生.当 x 为何值时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件? 【解析】 “至少有 1 个女生”为必然事件,则有 x<6; “5 个男 生,1 个女生”为不可能事件,则有 x<5 或 x=10; “3 个男生,3 个女生”为随机事件,则有 3≤x≤7; 综上所述,又由 x∈N,可知 x=3 或 x=4. 8.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等 ,为了解它们的使用寿命,现从两种品牌的产 品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率.
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(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 【解题指南】根据频数分布直方图中的数据和其他已知数据计算有关频率作为概率的估计值. 【解析】(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 200 小时的概率为 . (2 )根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个,其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命 大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 的概率为 . = ,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌 = ,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于

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