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广东省惠州市2015届高三第三次调研考试(文科数学)参考答案


惠州市 2015 届高三第三次调研考试
数 学 试 题 (文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D

2015.1

1. 【解析】直接可得 A 2. 【解析】 z ?

B ? ?0,1, 2,3, 4? ,故选 A .

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即 1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,?1 ? z ? 5 ,故选 D .

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? 3. 【解析】函数式若有意义需满足条件: ? 2 ? x ? 0 ? ? 取交集可得: x ? ? ?1 , 2? ,故选 C . ?x ? 2 ?2 ? x ? 0 ?
4. 【解析】等差数列中,由 S3 ?

3(a1 ? a3 ) a ?a ? 6 ,且 a1 ? 4 得 a3 ? 0 ,则 d ? 3 1 ? ?2 ,故选 C . 2 3 ?1

5. 【解析】因为 a 2 ? 2a ,所以 0 < a < 2 ,则“ a 2 ? 2a ”是“ a ? 2 ”的充分而不必要条件。先解出 a 2 ? 2a , 再进行判断即可。故选 A . 6. 【解析】通过求出两圆心的距离为: 1 ?

17 <5,即 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ,因此选 B .

7. 【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线, 也可能相交,所以 A 错;两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等,故 B 错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直; 故 D 错;故选项 C 正确. 8. 【解析】目标函数

y y ?0 可以变形为 k ? ,则表示为可行域内的点 ( x , y ) 和 x?0 x

原点 (0 , 0) 连线的直线的斜率,由图可知:当其经过点 C (1 , 6) 时,直 线的斜率最大,即

y y 6?0 ? 6 ,故选 B . 有最大值为 ? x 1? 0 x

9. 【解析】本题的直观图是一个三棱锥.由三视图知底面三角形的高为 3,底边长为 6,

1 ? 6 ? 3 ? 9 ,由侧视图知有一条侧棱与底面垂 2 1 直,三棱锥的高为 4,直接代公式可求体积 V ? ? 9 ? 4 ? 12 ,故选 D . 3
则底面三角形的面积为 S ? 10. 【解析】函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,则关于原点对称,由函数 f ( x ? 1) 的图像向左平移一 个单位得到函数 f ( x ) 的图像,则函数 f ( x ) 的图像关于点 (?1 , 0) 对称;又对于任意的

x1 ? x2且x1, x2 ? R 满足不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可知,函数 f ( x) 在 R 上单调递增,结合图 x1 ? x2
第 1 页 共 7 页

像可知 f ( x ? 3) ? 0 得 x ? 3 ? ?1 ,则 x ? ?4 ,故选 D. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11、 0. 12、

6 3

13、

1 3

14、 4 3

15、 2 3

11【解析】∵ a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,∴ a ? b ? 2 ? x ? 1? ? 2 ? 0 ,解之可得 x=0.故答案为 0. 12【解析】根据正弦定理
3 15 10 a b ? 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 B ? A ,故 B 为 ? ? 3 sin B sin A sin B sin 3

r r

锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

13 【解析】 由 PA ? 2PB ? 0 ? PA ? ?2PB ,则点 P 是边 AB 的三等分点(靠近点 B ) ,得长度关系

uu r

uur

r

6 6 ,故答案为 . 3 3

uu r

uur

PB ?

1 1 1 AB ,且 ?PBC 与 ?ABC 的高相等,则: S?PBC ? S?ABC ,所以所求概率为 . 3 3 3

( ? 14 【 解 析 】 直 线 ? s i n ?

?
4

)? 2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 ,圆 ? ? 4 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 16 ,因为圆心(0,0)到直线的距离 d=2,半径 r=4,所以截得的弦长为 4 3 .
15 【解析】 ∵OA=OC, 且 ?AOC ? 2?ABC ? 60? , ∴△AOC 是等边三角形, ∴OA=AC=2, ∵∠OAD=90°, ∠D=30°,∴AD= 3 ?AO= 2 3 .故答案为: 2 3 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 【知识点】 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像及性质. 【解析】 f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2sin x ? cos x ………………………….2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ………………… …...4 分

? 2 sin(2 x ? ) 4

?

………………………………………………………5 分

(1)由最小正周期公式得: T ? (2) x ? [

2? ? ? …………………………………………6 分 2
3? 7? , ] …………………………………………7 分 4 4

? 3?
4 4 ,

4 3? 5? 令 2x ? ? ,则 x ? ,……………………………………………….8 分 4 2 8 ? 5? 5? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 ……………….10 分 从而 f ( x) 在 [ , 4 8 8 4

] ,则 2 x ?

?

?[

?

第 2 页 共 7 页

即当 x ?

5? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 ……………………………12 分 8

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开,再利用辅助角公式进行化简, (1)由最小正周期公式得结果; (2)借助于三角函数的单调性求出单调区间,同时求出最大值。 17.(本小题满分 12 分) 【解析】 (1)由

x ? 0.2 ,得 x ? 160 ,即表中 x 的值为 160 800

???????????2 分

(2)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 165,538,629; ????????????5 分 (3)设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为 A ,其中女生男生数记为 ( y , z ) . 由(1)知 x ? 160 ,则 y ? z ? 300 ,且 y ? 145 , z ? 145 , y , z ? N , ∴ 满足条件的 ( y , z ) 有: (145,155) ; (146,154) ; (147,153) ; (148,152) ; (149,151) ; (150,150) ; (151,149) ; (152,148) ; (153,147) ; (154,146) ; (155,145)共 11 组, 且每组出现的可能性相同. ?????????????9 分 其中事件 A 包含的基本事件 ( y , z ) ,即满足 y ? z 的有: (151,149) ; (152,148) ; (153,147) ; (154,146) ; (155,145)共 5 组. ????11 分 ∴ 丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率 P ( A) ? 18. (本小题满分 14 分) 证明: (1)连结 A1C , 因为直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,四边形 AA1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点. 在 ?A1 BC 中,因为 E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点, 故 EF // BC . 又因 BC ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC ,所以 EF // 平面 ABC (其它方法参照给分) (2)在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC ,所以 B1 B ? EF 由(1)知 EF // BC ,且 AB ? BC ,则 EF ? AB 因 B1 B I AB ? B ,故 EF ? 平面 ABB1 A1 又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 ABB1 A1 ????????????9 分 ????????????10 分 ????????????12 分 ????????????14 分 ??????6 分 ?????2 分 ??????4 分

5 . ?????????12 分 11

1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S ?ABC ? AA1 2 2 3
1 1 1 a3 ? ? ? a 2 ? 2a ? 2 3 2 6
(其它方法参照给分)
第 3 页 共 7 页

19. (本小题满分 14 分) 【知识点】等差、等比数列的通项公式;错位相减法求数列的和. 【解析】 (1)因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点,则

?a2 ? a5 ? 7 ?a2 ? 2 ?a2 ? 5 ,解得: ? 或? .………………………………………………..2 分 ? ?a2 ? a5 ? 10 ?a5 ? 5 ?a5 ? 2
又等差数列 {an } 递增,则 ?

?a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * …………………………….4 分 a ? 5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn)

1 .………………………………………………….5 分 2 1 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ? bn ?1 .………………..…6 分 2 1 1 1 n * 所以数列 {bn } 为首项为 ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) , n ? N .…………….…7 分 2 2 2 1 n * (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) , n ? N , …………………………………...…8 分 2 1 n * 则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) , n ? N ……………………………………………………...9 分 2 1 1 2 1 3 1 n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 1 Tn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ② . ……………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) .………12 分 2 2 2 2 2 2 2 n?2 1 n * * 所以 Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N . 或写 Tn ? 2 ? n , n ? N . ……………………14 分 2 2
当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ? 【思路点拨】 (1)先解出两个零点,再利用等差、等比数列的通项公式即可; (2)直接使用错位相减法求 之即可。 20. (本小题满分14分) (1)解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2? . ∵ OP ? OQ , ∴ kOP kOQ ? ?1 . 当 x ? 0 时,得 (或者用向量: OP ? OQ ? x2 ? 2 y ? 0 ,且 x ? 0 得出) …… 2 分

y ?2 ? ?1 ,化简得 x2 ? 2 y . x x

当 x ? 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 .

第 4 页 共 7 页

∴曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ? x ? 0 ? . (2) 解法 1:∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, ∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y ? kx ? b , 由?

…… 4 分

…… 5 分

? y ? kx ? b, 2 得 x ? 2kx ? 2b ? 0 . 2 ? x ? 2 y,
k2 . 2
…… 6 分

2 ∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, 则 ? ? 4k ? 8b ? 0 ,即 b ? ?

∴ 直线 l2 的方程为 2kx ? 2 y ? k 2 ? 0 ∴ 点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? b k 2 ?1

?

1 k2 ? 4 2 k 2 ?1

…… 7 分

1? 3 ? ? ? ? k 2 ?1 ? 2 ? 2? k ? 1 ? ?
1 ? ?2 2 k 2 ?1 3 k 2 ?1

…… 8 分

…… 9 分

? 3.
当且仅当 k 2 ? 1 ?

…… 10 分 ……12 分

3 k 2 ?1

,即 k ? ? 2 时,等号成立.此时 b ? ?1 .

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 解法 2:由 x2 ? 2 y ,得 y' ? x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ? 则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? 2x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ?

…… 14 分 …… 5 分

1 2 x1 , 2
…… 6 分

1 2 x1 ? 0 . 2

点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

1 ?2 ? x12 2 x12 ? 1

?

1 x12 ? 4 2 x12 ? 1

…… 7 分

1? 3 ? ? ? ? x12 ? 1 ? 2 ? 2? x ? 1 1 ? ?
第 5 页 共 7 页

…… 8 分

1 ? ?2 2

x12 ? 1

3 x12 ? 1

…… 9 分

? 3.
2 当且仅当 x1 ?1 ?

…… 10 分 ……12 分

3 x12 ? 1

,即 x1 ? ? 2 时,等号成立.

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 解法 3:由 x2 ? 2 y ,得 y' ? x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ?

…… 14 分 …… 5 分

1 2 x1 ? 0 , 2
…… 6 分

则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? 2x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? y1 x ?1
2 1

?

y1 ? 2 2 y1 ? 1

…… 7 分

? 1? 3 ? ? ? 2 y1 ? 1 ? ? 2? 2 y ? 1 1 ? ?
1 ? ?2 2 2 y1 ? 1 3 2 y1 ? 1

…… 8 分

…… 9 分

? 3.
当且仅当 2 y1 ? 1 ?

…… 10 分

3 2 y1 ? 1

,即 y1 ? 1 时,等号成立,此时 x1 ? ? 2 . ……12 分

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 21(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) , 又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 ,知 1 ? x ? 0 所以 a ≥

…… 14 分

???????????1 分

x2 ? 2x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 ? ≤ , 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立,因为 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2

?????2 分

3 ????????????????????????3 分 2 ⑵ 因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a ,
所以 a ≥ . 所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a 2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ①当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a ; ②当 ?1 ≤ a ≤ 1 时, x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a ,? 所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a 或 x ? ?(1 ? 2a) ; ③当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) .
第 6 页 共 7 页

?????4 分

??????????? 5 分 ???????????????? 6 分 ????????????7 分

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , ⑶因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ? 1)[ x ? (1 ? 2a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),
①若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 从而 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; ????????????????9 分

1 2

②若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为 g (4) ? 8a ? 17 . ????????????????11 分

3 2

3 2

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a,
当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a . 因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 , 所以 g ( x) 最小值为 4a ? 5 . ??????????????????????????13 分

3 2

1 2

综上所述, ?

? g ? x ?? ? min

?8a ? 17, ? 2 ?1 ? a , ? ? ?4a ? 5, ? ? ?2a ? 4, ?

a ≤ ?4, ? 4 ? a ? ?2, 1 ? 2≤a ? ? , 2 1 a≥? 2

????????????????14 分

第 7 页 共 7 页


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