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6版4张 4第一章


第一章
一、选择题

解三角形测试题(一)

7.在△ABC 中,关于 x 的方程(1+x2)sin A+2xsin B+(1-x2)sin C=0 有两个不等的实根, 则 A 为( A.锐角 ). B.直角 C.钝角 D.不存在 ).

1.已知 A,B 两地的距离为 10 km,B,C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120° ,则 A, C 两地的距离为( A.10 km ).

8.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( A.
3 2 2

B.

B.10 3 km
a A cos 2

C.10 5 km
b B cos 2

D.10 7 km ).

3 3 2

C.

3 2

D.3 3 ).

2.在△ABC 中,若





c C cos 2

9.在△ABC 中, ,则△ABC 是( A.等边三角形 C.直角三角形

a 3+ b 3- c 3 3 =c2,sin A·sin B= ,则△ABC 一定是( a+ b- c 4

B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

10.根据下列条件解三角形:①∠B=30° ,a=14,b=7;②∠B=60° ,a=10,b=9.那 么,下面判断正确的是( ). B.①有两解,②也有两解. D.①只有一解,②有两解.

3.三角形三边长为 a,b,c,且满足关系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 c 边的对角等于 ( ). A.15° B.45° C.60° D.120°

A.①只有一解,②也只有一解. C.①有两解,②只有一解. 二、填空题

4.在△ABC 中,三个内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a∶b∶c=1∶ 3 ∶ 2,则 sin A∶sin B∶sin C=( A. 3 ∶2∶1 ). C.1∶2∶ 3 D.1∶ 3 ∶2 12.在△ABC 中,已知 sin Bsin C=cos2 5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 6.在△ABC 中,a=2 3 ,b=2 2 ,∠B=45° ,则∠A 为( A.30° 或 150° B.60° C.60° 或 120° D.30° ). 值 ). 11.在△ABC 中,a,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若 a= 3 ,b=1,∠B=30° ,则∠A 的值是 B.2∶ 3 ∶1 .

A ,则此三角形是__________三角形. 2

13.已知 a,b,c 是△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5, S=5 3 ,求 c 的长度 .

14.△ABC 中,a+b=10,而 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,求△ABC 周长的最小 . 15.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,且满足 sin A∶sin B∶sin C=2∶ 5∶6.若△ABC 的面积为
3 39 ,则△ABC 的周长为________________. 4

1

16.在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A=2∠C,a+c=2b,求此三角形三边之比 为 .

19.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcos C=(2a-c)cos B, (Ⅰ )求∠B 的大小; (Ⅱ )若 b= 7 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

三、解答题 17.在△ABC 中,已知∠A=30° ,a,b 分别为∠A,∠B 的对边,且 a=4= 角形.
3 b,解此三 3

20.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证: 18.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度 为 15° ,向山顶前进 100 米后到达点 B,又从点 B 测得斜度为 45° ,建筑物的高 CD 为 50 米.求 此山对于地平面的倾斜角?.

sin ( A ? B) a2 ? b2 = . c2 sinC

(第 18 题)

2

解三角形测试题参考答案(一)
一、选择题 1.D 解析:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+202-2×10×20cos 120°

∴ 4sin2 B-4(sin2 A-sin2 C)>0. 由正弦定理

a b c = = ,代入不等式中得 b2-a2+c2>0, sin A sin B sin C

再由余弦定理,有 2ac cos A=b2+c2-a2>0.∴ 0<∠A<90° . 8.B 解析:由余弦定理得 cos A=
3 3 3 1 ,从而 sin A= ,则 AC 边上的高 BD= . 2 2 2

=700.AC=10 7 . 2.B 解析:由
a A cos 2



b B cos 2



c C cos 2

及正弦定理,得 sin A = sin B = sin C ,由 2 倍角 A C B cos cos cos 2 2 2

9.A 解析:由

a 3+ b 3- c 3 =c2 ? a3+b3-c3=(a+b-c)c2 ? a3+b3-c2(a+b)=0 ? (a+ a+ b- c

b)(a2+b2-ab-c2)=0.∵ a+b>0,∴ a2+b2-c2-ab=0.(1) 由余弦定理(1)式可化为 a2 +b2-(a2+b2-2abcos C)-ab=0,得 cos C=

A B C 的正弦公式得 sin = sin = sin ,∠A=∠B=∠C. 2 2 2
3.C 解析:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得 a2+b2-c2=ab.∴ cos C=

1 ,∠C=60° . 2 b a sin 60? b sin 60? a 由正弦定理 = = c ,得 sin A= ,sin B= , sin A sin B c c sin 60?
∴ sin A·sin B= ∴
ab (sin 60?)2 3 = , 2 4 c

a 2 ? b2 ? c2 1 = .故 C=60° . 2 2ab

4.D 解析:由正弦定理可得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶ 3 ∶2. 5. D 解析: △A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0, 则△A1B1C1 是锐角三角形. 若△A2B2C2
π π ? ? ( -A1 ) A2= -A1 ?sin A2=cos A1=sin ? 2 2 ? ? π π ? ? 不是钝角三角形,由 ?sin B2=cos B1=sin ( -B1 ) ,得 ? B2= -B1 , 2 2 ? ? π π ?sin C2=cos C1=sin ? ( -C1 ) C2= -C1 ? ? 2 2 ? ?

ab =1,ab=c2.将 ab=c2 代入(1)式得,a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,a=b. c2

△ABC 是等边三角形. 10.D 解析:由正弦定理得 sin A=

a sin B 5 3 ,①中 sin A=1,②中 sin A= .分析后可知①有 b 9

一解,∠A=90° ;②有两解,∠A 可为锐角或钝角. 二、填空题 11.60° 或 120° .解析:由正弦定理

那么,A2+B2+C2=

π 3π -(A1+B1+C1)= ,与 A2+B2+C2=π 矛盾. 2 2

所以△A2B2C2 是钝角三角形.

a b 3 = 计算可得 sin A= ,∠A=60° 或 120° . sin A sin B 2

6.C 解析:由

a b a sin B = ,得 sin A= = b sin A sin B

2 3?

2 2 = 3 , 2 2 2

12.等腰.解析:由已知得 2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C=1-(cos Bcos C-sin Bsin C),∴ cos(B-C)=1,得∠B=∠C, ∴ 此三角形是等腰三角形.

而 b<a,∴ 有两解,即∠A=60° 或∠A=120° . 7.A 解析:由方程可得(sin A-sin C)x +2xsin B+sin A+sin C=0. ∵ 方程有两个不等的实根,
3
2

13. 21 或 61 .解:∵ S= 又 c2=a2+b2-2abcos C,

3 1 absin C,∴ sin C= ,于是∠C=60° 或∠C=120° . 2 2

当∠C=60° 时,c2=a2+b2-ab,c= 21 ; 当∠C=120° 时,c2=a2+b2+ab,c= 61 .∴ c 的长度为 21 或 61 .

由余弦定理 cos C=

a 2+b 2-c 2 (a+c)(a-c) +b 2 = . 2ab 2ab

2b(a-c) +b ?

∵ a+c=2b,∴ cos C= 14.10+5 3 .解析:由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C,然后运用函数思想加以处理. ∵ 2x2-3x-2=0,∴ x1=2,x2=-
2(a-c ) +

2ab

a+ c a+ c 2(a-c ) + 2 = 2 , 2a

1 . 2 1 . 2

a ∴ = 2c

a+ c 2 .整理得 2a2-5ac+3c2=0.解得 a=c 或 a= 3 c. 2a 2

又 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,∴ cos C=- 由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab·(- 则 c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75, 当 a=5 时,c 最小,且 c= 75 =5 3 ,

3

1 )=(a+b)2-ab, 2

a?c 5 3 ∵∠A=2∠C,∴ a=c 不成立,a= c∴ b= =2 = c, 2 2 4 2 5 3 ∴ a∶b∶c= c∶ c ∶c=6∶5∶4.故此三角形三边之比为 6∶5∶4. 2 4
三、解答题 17.b=4 3 ,c=8,∠C=90° ,∠B=60° 或 b=4 3 ,c=4,∠C=30° ,∠B=120° .

c?c

此时 a+b+c=5+5+5 3 =10+5 3 , 解:由正弦定理知 ∴ △ABC 周长的最小值为 10+5 3 . 15.13.解析:由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C=2∶5∶6,可得 a∶b∶c=2∶5∶6,于 是可设 a=2k,b=5k,c=6k(k>0),由余弦定理可得 cos B=
a 2+b 2-c 2 4 k 2+36k 2-25k 2 5 39 = = ,∴ sin B= 1 . -cos2 B = 2ab 8 8 2(2 k )(6 k )

4 3 3 b 4 a = = ,b=4 3 . ? ? sin B= 2 sin A sin 30? sin B sin B

∠B=60° 或∠B=120° 或∠C=30° ? ∠C=90° ? c=8 或 c=4. 18.分析:设山对于地平面的倾斜角∠EAD=?,这样可在△ABC 中利用正弦定理求出 BC; 再在△BCD 中,利用正弦定理得到关于??的三角函数等式,进而解出??角. 解:在△ABC 中,∠BAC=15° ,AB=100 米, ∠ACB=45° -15° =30° . 根据正弦定理有

3 39 39 1 1 由面积公式 S△ABC= ac sin B,得 ·(2k)·(6k)· = , 8 4 2 2

∴ k=1,△ABC 的周长为 2k+5k+6k=13k=13.
3 39 本题也可由三角形面积(海伦公式)得 13k (13k-2k)(13k-5k)(13k-6k) = , 4 2 2 2 2

100 BC 100sin15? = ,∴ BC= . sin 30? sin15? sin 30?
(第 18 题) 100sin15? ,∠CBD=45° ,∠CDB=90° +??, sin30?

又在△BCD 中,∵ CD=50,BC=



3 39 2 3 39 k= ,∴ k=1.∴ a+b+c=13k=13. 4 4

100sin15? 50 根据正弦定理有 = sin 30? . (90?+? ) sin 45? sin

16.6∶5∶4.解析:本例主要考查正、余弦定理的综合应用. 由正弦定理得

解得 cos???= 3 -1,∴ ??≈42.94° . ∴ 山对于地平面的倾斜角约为 42.94° .

a sin A sin 2C a = = =2cos C,即 cos C= , c sin C 2 c sinC
4

解三角形测试题参考答案(一)

19.解:(Ⅰ )由已知及正弦定理可得 sin Bcos C=2sin Acos B-cos Bsin C, ∴ 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C). 又在三角形 ABC 中,sin(B+C)=sin A≠0, ∴ 2sin Acos B=sin A,即 cos B=

1 π ,B= . 2 3 1 acsin B, 2

(Ⅱ)∵ b2=7=a2+c2-2accos B,∴ 7=a2+c2-ac, 又 (a+c)2=16=a2+c2+2ac,∴ ac=3,∴ S△ABC=

即 S△ABC=

1 3 3 3 ·3· = . 2 2 4

20.分析:由于所证明的是三角形的边角关系,很自然联想到应用正余弦定理. 解:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B 得 a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B, ∴ 2(a2-b2)=-2bccos A+2accos B,
a 2- b 2 -b cos A+a cos B = . 2 c c

由正弦定理得 a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C, ∴ = =
a 2- b 2 -b cos A+a cos B = 2 c c

sin A cos B-sin B cos A sinC

sin ( A-B) . sinC 故命题成立.

5

第一章

解三角形

测试参考答案 (二) 8 B. 9 B.10 C

一、选择题: 1A. 2 C . 3 C. 4 D. 5 C. 6 C. 7 D.
二、填空题:

1 3 3 SOPDC ? S?OPC ? S?PDC ? OP ? OC sin ? ? PC 2 ? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) 2 4 4
? sin ? ? 3 cos? ? 5 3 5 3 因为 0? ? ? ? 180 ? , ? 2 sin(? ? 60?) ? 4 4

11、 15.

16 ; 12、 等腰三角形; 13、40 分钟;14. 120 度; 65 ? 7 (0, ] ; (2) 4 25 tan A 2c ? b sin A sin B 2sin C ? sin B ? , 根据正弦定理? ? tan B b sin B cos A sin B
?sin( A ? B) ? 2sin C cos A

? 60? ? ? ? 60? ? 120 ? , 所以当 sin(? ? 60?) ? 1 即 ? ? 60? ? 90? , 也即 ? ? 150 ? 时, SOPDC

三、解答题:

16 解:?

有最大值且为 2 ?

5 3 故当 ?POC ? 150? 时,使四边形 OPDC 的面积最大。 4
1 2 2 ,所以 cosA= ,则 3 3
N N C

? sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A
? sin C ? 2sin C cos A ? cos A ?

1 ? A ? 60? 2 1 17、解:(1)∵2cos(A+B)=-1,∴cosC= .∴角 C 的度数为 60°. 2 2 (2)∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 ,ab=2,

20、解: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(cosC+1)=12-2=10.∴c= 6 .
(3)S=
1 3 absinC= . 2 2
? ? ?

B+C sin 2 B + C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1- cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1- cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3
(2) 因为S? ABC= 2,又S? ABC= bcsin A= bc ? =

B A

18、 解: 在△ACD 中, ?CAD ? 180 ? ?ACD ? ?ADC ? 60 ,CD ? 6000,?ACD ? 45
? 2 根据正弦定理有: AD ? CD sin 45 ? CD , ?

1 2

1 2

1 2 2 ,则 bc=3。将 a=2,cosA= ,c 3 3

sin 60

3

同理:在△BCD 中, ?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 135? , CD ? 6000,?BCD ? 30? ,
? 2 根据正弦定理有: BD ? CD sin 30 ? CD ?

sin135

2

在△ABD 中,

?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90? ,
AB ? AD2 ? BD2 ?

根据勾股定理有:

3 2 2 2 4 2 代入余弦定理: a =b +c -2bc cos A 中得 b -6b +9=0 解得 b= 3 b 21. (1)解:如图,由题意 AB ? 20 , ?BAC ? 30? , ?ABC ? 75? AB BC ? 所以 ?ACB ? 75? ,由正弦定理: sin ?ACB sin ?BAC 20 sin 30? ? 10( 6 ? 2 )( km ) 故缉私艇 B 与船 C 的距离为 10( 6 ? 2 )km 即 BC ? sin 75?
(2)解析:
c o? s A?
??? ? ???? ( 1 ) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 若 c=5 , ???? 则 AC ? (2, ?4) , ∴

2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 3 2 6

所以:炮兵阵地到目标的距离为 1000 42m 。 19.解:设 ?POB ? ? 且 (0? ? ? ? 180?) 在 ?OPC 中, OP ? 1 , OC ? 2 ,由 余弦定理得: PC 2 ? OP2 ? OC 2 ? 2OP ? OC cos? ? 5 ? 4cos? ,所以
6

???? ??? ? 2 5 ?6 ? 1 6 1 ,∴sin∠A= ; c? o sA C A ,?? B ? 5 5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; c ? 0 3 3 ?


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