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扬州中学2013-2014学年高一上学期期末试题 数学


2013—2014 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学 高考资源网
2014.1 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , A ? ?3, 4,5? ,则 CU A ? ▲ .

2.函数 y ? tan(2 x ?

?
3

) 的最小正周期为



.

3.幂函数 f ? x ? ? x 4 的定义域为

1



.

4 . 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 60? 角 的 终 边 上 有 一 点 P ( m, 3) , 则 实 数 m 的 值 为 ▲ .

5.已知 a ? ?

2 , b ? log 2 3, c ? sin1600 ,把 a, b, c 按从 小到大 的顺序用“ ? ”连接起来: . ... 2
. ▲



6.半径为 3 cm ,圆心角为 120? 的扇形面积为

cm2 .

7.函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象必经过定点 P,则点 P 的坐标为 ▲ .

8.已知 | a |? 2 , | b |? 1 ,若 a, b 的夹角为 60? ,则 | a ? 2b |?

?

?

? ?

?

?



.

1

9.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? a 2 ? 1 x ? a ? 2 的一个零点大于 1,另一个零点小于 1, 则实数 a 的取值范围为 ▲ .

?

?

10. 如右图, 平行四边形 ABCD 中,E 是边 BC 上一点,G

???? ???? ??? ? ? 为 AC 与 DE 的交点,且 AG ? 3GC ,若 AB ? a ,
??? ? ???? ? ? ? AD ? b ,则用 a, b 表示 BG ?
2

D

G E B

C


x

.

A

11 . 若 x ? (??, ?1] , 不 等 式 (m ? m ) ? 2 ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 ▲ .

12.将函数 y ? 2sin x 的图象先向右平移

? 个单位,再将得到的图象上各点的横坐标变为 6 1 ? 原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y ? f ( x) 的图象, 若 x ? [0, ] , 则函数 y ? f ( x) 2 2
的值域为 ▲ .

13.已知 ?ABC 中, BC 边上的中线 AO 长为 2,若动点 P 满足

??? ? 1 ??? ? ??? ? BP ? cos 2 ? BC ? sin 2 ? BA 2

??? ? ??? ? ??? ? (? ? R) ,则 ( PB ? PC ) ? PA 的最小值是



.

14.已知定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) 为单调函数,且 f ( x) ? f ( f ( x) ? ) ? 2 ,则 f (1) ? ▲ .

2 x

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知 sin ? ?

5 ,且 ? 是第一象限角. 5

(1)求 cos? 的值;

3? ?? ) 2 (2)求 tan(? ? ? ) ? 的值. cos(? ? ? ) sin(

2

16. (本题满分 14 分) 已知 a ? ?1,1? , b ? ? 2,3? ,当 k 为何值时, (1) k a ? 2b 与 2a ? 4b 垂直? (2) k a ? 2b 与 2a ? 4b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

17.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)求方程 f ( x) ? 0 的解集.
O -1 π 3 7π 12 x

?
2

)的部分图象如图所示.
y

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? log a

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? 减;

1? x 4 (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 P(? , 2) . 1? x 5

1? x ,用函数单调性的定义证明:函数 y ? g ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递 1? x
2

(3)解不等式: f (t ? 2t ? 2) ? 0 .

3

19. (本题满分 16 分) 我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近 似的满足: y ? P( x) ? 2 ,当 t ? b 、 k 为正常数)
(1? kt )( x ? b )2

(其中 t 为关税的税率,且 t ? [0, ) , x 为市场价格,

1 2

1 时的市场供应量曲线如图: 8
11? x 2

(1)根据图象求 b 、 k 的值; (2)若市场需求量为 Q ,它近似满足 Q( x) ? 2 .当 P ? Q 时的市场价格称为市场平

衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R . (1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围.

4

扬州市 2013—2014 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案
1. ?1, 2, 6? 7. (2,0) 12. [?1, 2] 2.

2014.1 6. 3? 11. ?1 ? m ? 2

? 2

3. [0, ??) 9. (?2,1) 14. 1 ? 5

4.1 10. ?

5. a ? c ? b

8. 2 3 13. ?2

1? 3? a? b 4 4

14. 解析: 设 f (1) ? m , 令 x ? 1, 则由题意得:f (1) ? f ( f (1) ? 2) ? 2 , 即m fm (

?2 ) 2 ?
得 : , 2

? f (m ? 2) ?

2 m







x ?m?2


, 即









f (m ? 2) ? f ( f (m ? 2) ? ? f(

2 )?2 m?2

2 f( m

2 2 ? ?) m ?2 m

2 2 ? ) ? m ? f (1) , ∵ 函 数 f ( x) 为 (0, ??) 上 的 单 调 函 数 m m?2 2 2 ? ? ? 1 ,解得: m ? 1 ? 5 ,即 f (1) ? 1 ? 5 m m?2
15. 解: (1) ∵ α 是第一象限角∴ cos? ? 0 ∵ sin ? ? 5分 (2)∵ tan ? ?
sin ? 1 ? cos ? 2
5 2 5 ∴cosα= 1-sin2α= ………… 5 5

………………7 分

3? ??) ? cos ? 3 2 ∴ tan(? ? ? ) ? =tanα+ ? tan ? ? 1 ? 2 ? cos ? cos(? ? ? ) sin(

………………14 分

ka ? 2b ? k (1,1) ? 2(2,3) ? (k ? 4, k ? 6) ,2a ? 4b ? 2(1,1) ? 4(2,3) ? (?6, ?10) … 16. 解:
4分 (1)由 (ka ? 2b ) ? (2a ? 4b) ,得:

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 21 (ka ? 2b )? (2a ? 4b) ? ?6(k ? 4) ? 10(k ? 6) ? ?16k ? 84 ? 0 , 解得: …………… k ?? . 4
8分 (2)由 (ka ? 2b ) ? (2a ? 4b) ,得 ?6(k ? 6) ? 10(k ? 4) ? 4k ? 4 ? 0 ,解得: k ? ?1 ,… 12 分 此时 ka ? 2b ? (3,5) ? ?

?

?

?

?

?

?

1 1 ? ? (?6, ?10) ? ? (2a ? 4b) ,所以它们方向相反.…………14 分 2 2
………………1 分

17.解: (1)由图知, A ? 1 ,

5

?周期 T ? 4 ? ?

2? 7? ? ? ?2 ? ? ? ? , ?? ? ? ? 12 3 ?


………………3 分

? f ( x) ? sin(2 x ? ? )

? 7? ? ?f? ? ? ?1 ? 12 ?



? 7? ? ? sin ? ? ? ? ? ?1 ? 6 ?



?

7? 3? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 6 2

?? ? 2k? ?

?
3



k ?Z

?| ? |?

?
2

,?? ?

?
3

? f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3
(2) ?

?

……………… 6 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z

………………8 分

??

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12

∴函数 y ? f ( x) 的单调增区间为: [? (3)∵ f ( x) ? 0 ∴ 2 x ? ∴ x?? 15 分

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z 12 12

………………11 分

?
3

? k? , k ? Z ,

………………13 分

?
6

1 ? 1 ? k? (k ? Z ) ,∴方程 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? ? k? , k ? Z } .………… 2 6 2

或观察图象并结合三角函数的周期性写出解集为: {x | x ? 也得分.结果不以集合形式表达扣 1 分.

?
3

? k? 或

5? ? k? , k ? Z } , 6

4 1 ? (? ) 4 5 ? 2 ,解得: a 2 ? 9 ∵ a ? 0 且 a ? 1 ∴ a ? 3 ;………3 18. (1) f (? ) ? log a 4 5 1 ? (? ) 5
分 (2) 设 x1 、x2 为 (?1,1) 上的任意两个值, 且 x1 ? x2 , 则 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

……………6 分

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x) ?
8分 (3)方法(一) :

1? x 在区间 (?1,1) 上单调递减.…… 1? x

1? x ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 ,即函数 y ? f ( x) 的定义域为 (?1,1) ; 1? x 1? x 先研究函数 f ( x) ? log 3 在 (?1,1) 上的单调性. 1? x


……10 分

6

可运用函数单调性的定义证明函数 f ( x) ? log 3 程略.

1? x 在区间 (?1,1) 上单调递减, 证明过 1? x

或设 x1 、 x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 , 由(2)得: g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log3 g ( x1 ) ? log3 g ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减.
再利用函数 f ( x) ? log 3

……………12分

1? x 的单调性解不等式: 1? x

? t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , ………13 ? f (0) ? 0 且 y ? f ( x) 在 (?1,1) 上为单调减函数.? ? 2 ??1 ? t ? 2t ? 2 ? 1


?1 ? t ? 3 ? ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 即? 2 ,解得:? ? ?t ? 2t ? 2 ? 0 ?t ? 1 ? 3或t ? 1 ? 3

? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .
方法(二) : ? log 3

………………15 分 ………………10 分

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 ? 0 ? ?1 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)



1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 2 2 ? 1 ? 0 得: 得: 或 ;由 t ? 2 t ? 2 ? 0 t ? 2 t ? 2 ? ? 1 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)
………………13 分 ………………15 分

?1 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1,? 0 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1
? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .

)(5 ? b ) 2 ? (1? k ?1 ?2 8 19.解: (1)由图象知函数图象过: (5,1) , (7, 2) ,? ? ,………2 分 k 2 ? 2(1? 8 )(7 ? b ) ? 2 ?

?(1 ? ? ? 得? ? ? (1 ? ? ?

k )(5 ? b) 2 ? 0 8 , k 2 )(7 ? b) ? 1 8
(1? 6 t )( x ? 5) 2

……… 4 分 解得: ?

?k ? 6 ; ……………… 6 分 ?b ? 5

(2)当 P ? Q 时, 2 分

?2

11?

x 2

,即 (1 ? 6t )( x ? 5) ? 11 ?
2

x ,……………… 8 2

7

x 1 2 ? 1 ? 22 ? x ? 1 ? [ 17 化简得:1 ? 6t ? ? ] ……………… 10 分 2 2 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) x?5 11 ?

1 1 ( x ? 9) ,? m ? (0, ] , x?5 4 1 1 设 f (m) ? 17m2 ? m, m ? (0, ] ,对称轴为 m ? 4 34 1 13 1 1 13 ,所以,当 m ? 时 , 1 ? 6t 取 到 最 大 值 : ? ,即 ? f ( x)max ? f ( ) ? 4 16 4 2 16 1 13 19 , 解 得 : t ? , 即 税 率 的 最 小 值 为 1 ? 6t ? ? 2 16 192 19 . ……………… 15 分 192 19 答:税率 t 的最小值为 . ……………… 16分 192
令m ? 20.解: (1)函数 y ? f ( x) 为奇函数. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ?2 x ,x ? R , ∴ f (? x) ? ? x | ? x | ?2 x ? ? x | x | ?2 x ? ? f ( x) ∴函数 y ? f ( x) 为奇函数; (2) f ( x) ? ? ………………3 分

? x 2 ? (2 ? 2a ) x
2

( x ? 2a )

?? x ? (2 ? 2a) x ( x ? 2a)

, 当 x ? 2a 时,y ? f ( x) 的对称轴为:x ? a ? 1 ;

当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;∴当 a ?1 ? 2a ? a ? 1 时, y ? f ( x) 在 R 上是增函数, 即 ?1 ? a ? 1 时, 函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数; 7分 (3)方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f ( x) ? tf (2a) 的解. ①当 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数,∴关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 不可能 有三个不相等的实数根; ………………9 分 ………………

②当 a ? 1 时,即 2a ? a ? 1 ? a ?1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, a ? 1) 上单调增,在 (a ? 1, 2a) 上 单 调 减 , 在 (2a, ??) 上 单 调 增 , ∴ 当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ? 1) 时 , 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? t f ( 2 a)有 三 个 不 相 等 的 实 数 根 ; 即 4a ? t ? 4a ? (a ? 1)2 , ∵ a ? 1 ∴

8

1 1 1 ? t ? (a ? ? 2) . 4 a 1 1 设 h(a) ? (a ? ? 2) , ∵存在 a ? ? ?2, 2 ? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等 4 a 1 1 的实数根, ∴ 1 ? t ? h(a) max ,又可证 h(a) ? (a ? ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4 a 9 9 ∴ h(a ) max ? ∴ 1 ? t ? ;………………12 分 8 8
③当 a ? ?1 时,即 2a ? a ?1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, 2a) 上单调增,在 (2a, a ? 1) 上 单调减,在 (a ? 1, ??) 上单调增, ∴当 f (a ? 1) ? tf (2a) ? f (2a) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根; 即 ?(a ? 1) ? t ? 4a ? 4a ,∵ a ? ?1 ∴ 1 ? t ? ?
2

1 1 1 1 (a ? ? 2) ,设 g (a) ? ? (a ? ? 2) 4 a 4 a

∵存在 a ? ? ?2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根, ∴ 1 ? t ? g (a) max ,又可证 g (a) ? ?

1 1 9 (a ? ? 2) 在 [?2, ?1) 上单调减∴ g (a) max ? 4 a 8
………………15 分 ………………16 分

9 ; 8 9 综上: 1 ? t ? . 8
∴1 ? t ?

9


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