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浙江省杭州市西湖高级中学2015-2016学年高二上学期10月月考数学试题


杭州市西湖高级中学高二年级 2015 年 10 月考数学试卷 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 a ? ?3,2? , b ? ? k ,1? ,且 a ∥ b ,则 k 的值是( A.

?

?

?

?

) D. ?

2.公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4 a10 ? 16 ,则 a 6 =( A.1 B.2 C.4 D.8 )

2 3

B. ?

2 3

C.

3 2

3 2

)

3.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S4 1 S ? ,则 12 ? ( S8 3 S16
1 D. 9

A.

3 5

B.

3 10

1 C. 8

4. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 、 b 、 c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则 cos B ? ( )A.

3 4

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 4
).

5.设向量 a, b 满足: a ? 3, b ? 1, a ? b ? ? A. 30? B. 60?

? ?

?

?

? ?

? ? 3 ,则向量 a 与 b 的夹角为( 2
D. 150? ).

C. 120?

6.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a9 ?

?
3

,则 cos( a3 ? a7 ) 的值为( D. ?

A.

3 2

B. ?

3 2
2 2

C.

1 2

1 2
)

7.已知实数 x、y 满足 x +y =4,则

2 xy 的最小值为( x? y?2
C. 2 ? 2 2

A. 2 ? 2 2

B. 2 2 ? 2

D. ? 2 ? 2 2

8. 设数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 q (q ? ?1) 的等比数列,若 ?

?

? 1 ? 是等差数列,则 ? an ? an?1 ?

?1 1? ?1 1? ? 1 1 ? ? ?a ? a ? ??? ?a ? a ? ? ? ?? ? ?a ? a ? ?? 3 ? ? 3 4 ? 2014 ? ? 2 ? 2013
A.2012 B.2013

(

)

C.4024

D. 4026

二.填空题(本大题共 7 小题,其中 9、10、11、12 每小题 6 分,13、14、15 每小题 4 分, 共 36 分,把答案填在题中横线上)

9.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? 7 , a1 ? a7 ? 10 ,前 n 项和为 Sn ,则这个数列的 公差 d ? ,通项公式 an ? ,使得 Sn 达到最大值时的 n ? 。

10.某公司购买一批机器投入生产, 据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位: 万元)与机器运转时间 x (单位:年)的关系为 y ? ? x2 ? 18x ? 25 台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是____

( x ? N*) ,则当每

__万元.

11 . 已 知 函 数 f ? x? ? sin?? x ? ??? ? ? 0, 0? ? ? ? ? 是 R 上的偶函数,其图像关于点

?3 ? M ? ? , 0 ? 对称,且在区间 ? 0, ? ? 上是单调函数,则 ? = ?4 ?
12.两等差数列 {an } 和 {bn } ,前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

,? =

.

Sn 7n ? 2 a ? ,则 11 ? b11 Tn n?3

.



S an 4n ? 2 ? ,则 19 ? T19 bn 2n ? 5
2 2 2

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,若 (a ? c ? b ) tan B ? ac ,则角 B 的值为________. 14. 设 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 , 若 a2 0 1 2和 a2013 是 方 程 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 的 两 根,则

a2013 ? 2a2014 ? a2015 ?
2



15.已知二次不等式 ax ? 2 x ? b ? 0 的解集 ? x x ? ? ? ,且 a>b,则

? ?

1? a?

a2 ? b2 的最小值 a ?b





三、解答题(本大题 5 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.设向量 a ? (2, sin ? ), b ? (1, cos? ) ,? 为锐角(1)若 a ? b ? 若 a // b ,求 sin( 2? ?

?
3

13 ,求 sin? ? cos ? 的值; (2) 6

) 的值.

17.已知数列 {an } 的相邻两项 an , an ?1 是关于 x 的方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N * ) 的两实根, 且 a1 ? 1. (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求证:数列 {an ?

1 n ? 2 } 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式. 3

18.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 sin A cos C ? (1) 求 ?A 的大小; (2) 若 ?ABC 是锐角三角形,且 a ? 2 ,求 ?ABC 周长 l 的取值范围.

1 sin C ? sin B . 2

19.已知 {an } 为单调递增的等比数列,且 a2 ? a5 ? 18 , a3 ? a4 ? 32 ,?bn ?是首项为 2,公差 为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn . (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)当且仅当 2 ? n ? 4 , n ? N , S n ? 4 ? d ? log2 an 成立,求 d 的取值范围.
*

20.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 ?bn ? 满足

b1 ? a1 , b4 ? S3 .(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
(2)设 cn ?

1 c n ?的前 n 项和为T n ,若 Tn ? ?bn?1 对一切 n ? N * 恒成立, ,数列 ? bnbn ?1

求实数 ? 的最小值.

杭州市西湖高级中学高二年级 2015 年 10 月考数学答卷 一、选择题(本题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分,每道题只有一个正确答案) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二.填空题(本题 7 小题,共 28 分,把答案填在答题卷上)

9.___________ 11._________ 13. _________. _________. 14

10.__________ _________ 12. ___________ 15. _________

三、解答题(本大题 5 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)

16.设向量 a ? (2, sin ? ), b ? (1, cos? ) ,? 为锐角(1)若 a ? b ? (2)若 a // b ,求 sin( 2? ?

?
3

13 ,求 sin? ? cos ? 的值; 6

) 的值.

17.已知数列 {an } 的相邻两项 an , an ?1 是关于 x 的方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N * ) 的两实根, 且 a1 ? 1. (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求证:数列 {an ?

1 n ? 2 } 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式. 3

18.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 sin A cos C ? (1) 求 ?A 的大小; (2) 若 ?ABC 是锐角三角形,且 a ? 2 ,求 ?ABC 周长 l 的取值范围.

1 sin C ? sin B . 2

19.已知 {an } 为单调递增的等比数列,且 a2 ? a5 ? 18 , a3 ? a4 ? 32 ,?bn ?是首项为 2,公差 为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn . (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)当且仅当 2 ? n ? 4 , n ? N , S n ? 4 ? d ? log2 an 成立,求 d 的取值范围.
*

20.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 ?bn ? 满足

b1 ? a1 , b4 ? S3 .(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
(2)设 cn ?

1 c n ?的前 n 项和为T n ,若 Tn ? ?bn?1 对一切 n ? N * 恒成立, ,数列 ? bnbn ?1

求实数 ? 的最小值.

高二年级 2015 年 10 月考数学参考答案 一、选择题(本题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分,每道题只有一个正确答案) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C

二.填空题(本题 7 小题,共 28 分,把答案填在答题卷上)

9.

-2

13 ? 2 n
___

6 12. __

10.____5______ ___8______

11.____

2 _____ 3

? ______. 2
14 24

149 _________ 24
15.

_

14 ________ 5

13. ____

? 5? 或__ ___. 6 6

2 2

三、解答题(本大题 5 小题,共 46 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.

17. ( Ⅰ ) 解 : ? an , an ?1 是 关 于 x 的 方 程 x2 ? 2n ? x ? bn ? 0(n ? N * ) 的 两 实 根 ,

?an ? an ?1 ? 2n ? ?? ? ?bn ? an ? an ?1

……3 分,因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 5 .……6 分

1 1 1 an?1 ? ? 2n?1 2n ? an ? ? 2n?1 ?(an ? ? 2n ) 3 3 3 (Ⅱ)? ? ? ? ?1. ……10 分 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3 2 1 1 n 故数列 {an ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ?1 的等比数列.……13 分 3 3 3 1 n 1 1 n n n ?1 所以 an ? ? 2 ? ? (?1) ,即 an ? [2 ? (?1) ] . ……14 分 3 3 3
18

19

(Ⅱ)由题意可知: bn ? 2 ? (n ? 1) d , S n ? 2n ?

(n ? 1) ? n d, 2

20 解: (1)? an 是 Sn 和 1 的等差中项,? Sn ? 2an ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1

? an ? 2an?1 ?数列?an ?是公比为2的等比数列

?an ? 2n?1, Sn ? 2n ?1
又数列 bn 是等差数列,

b1 ? a1 ? 1, b4 ? 1 ? 3d ? 7,? d ? 2

?bn ? 2n ? 1

(2)由题知 Cn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) bnbn ?1 2 2n ? 1 2n ? 1

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

又?Tn ? ?bn?1对一切n ? N ? 恒成立

n ? ? (2n ? 1)对一切n ? N ? 恒成立 2n ? 1 1 ?? ? 恒成立 1 4n ? ? 4 n ?

?? ? (

1 1 ) max ? 1 9 4n ? ? 4 n


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