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惠州市2014高三第三次调研考数学(文科)试题和答案


惠州市 2014 届高三第三次调研考试
数学试题(文科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? x 1 ? x ? 5 , B ? x 3 ? x ? 7 , 则 A I B =( A. x 1 ? x ? 3

?

?

?

?



?

?

B. x 3 ? x ? 5

?

?


C. x 1 ? x ? 7

?

?

D. x 5 ? x ? 7

?

?

2.若 1 ? (a ? 2)i 是实数,则

a?i 等于( i

A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i r r r r 3.已知 a ? (2 x,1), b ? (?4, 2) ,若 a ∥ b ,则 x 的值为( ) A.1 B.-1 C.2

D. 2 ? i

D.-2 )条件 D.既不充分也不必要 ) D.1 或-1

4. 已知函数 f ( x) ? sin x ,则 f ( x) ? A.充分不必要

1 ? 是 x ? 的( 6 2

B.必要不充分

C.充分必要

5. 若直线 x ? y ? a ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 相切,则 a ? ( A.1 B.-1 C. 2

6.某学校高一、高二、高三年级学生分别有 2500 人、1500 人、1000 人,现用分层抽样的方法从
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该校学生中抽取 30 人作为学生代表,其中从高二年级学生中应抽取( A. 15 B.10 C.9 ) D.6

)人

7. 各项为正的等比数列 {an } 中, a2 ? a8 ? 16 ,则 a5 =( A.4 C.1 B.2 D.8 )

开始

8.执行如图所示程序框图,最后输出的 S 值是( A.15 C.20
2

S ?0 k ?1 k ? k ?1

B.18 D.27

? x ( x为正奇数) f ( n) , an ? 9. 已知函数 f ( x) ? ? 2 , f (n ? 1) ?? x ( x为正偶数)
则 a1 ? a2 ? a3 ? …? a9 ? (

S ? k ? S ?1
k ?5




1 A. 10
C.

1 B. ? 10
D. ?

否 输出 S 结束

1 100

1 100

10. 已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1 ? x), 则对于任意实数 a, b(a ? b ? 0) ,
3 2

f (a) ? f (b) 的值 a?b



) B. 恒等于 0 C.恒为负 D.不确定

A.恒为正

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,当正视图的视线方 向垂直于平面 AA1 B1 B 时,正视图的面积为 2a ,则此时左视图的面积为 ________.
2

C A B

C1 A1 B1

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12. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , C ?

?
3

, c ? 4, a ? 2 ,则 sinA ?

.

? x ? y ? ?1 ? 13. 设点 P( x, y) 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?

.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题) 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 , 直线 l 的参数方程为 ? 则直线 l 被曲线 C 截得的弦 AB 的长为 . E

?x ? t , ? y ? ?t ? 1
C

15.(几何证明选讲选做题) 如图, ?ACB ? 900 , AC 是圆 O 的切线,切点为 E ,割线 ADB 过圆心 O ,若

AE ? 3, AD ? 1 ,则 BC 的长为



A

D

O

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 ? 和 f ( ) 的值; 12 (2)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
6

), (? ? 0) 的周期是 ? .

?

?
6

) ? f (x ?

?
12

) 的最大值及相应 x 的集合.

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17.(本小题满分 12 分) 某学校甲、乙两个班参加体育达标测试,统计 测试成绩达标人数情况得到如图所示的列联表,已知 在全部学生中随机抽取 1 人为不达标的概率为 (1)请完成上面的列联表;

组别 甲班 乙班 合计

达标

不达标 8

总计

54 120

1 . 10

(2)若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取 6 人,问其中从甲、乙两个班 分别抽取多少人? (3)从(2)中的 6 人中随机抽取 2 人,求抽到的两人恰好都来自甲班的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图所示, ABCD 是正方形, PA ? 平面ABCD ,

P

E、F 是 AC、PC 的中点
(1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.
B A E

F D C

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19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且有 Sn ? (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ?

1 ? an ;数列 {bn } 满足 bn ? (2n ? 7)an 2

55 5 ? Tn ? ? . 27 3

20.(本小题满分 14 分) 已知焦点在 x 轴上的抛物线 C 过点 E (2, 2 2) . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过抛物线 C 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,点 M 在线段 AB 上运动,原 点 O 关于点 M 的对称点为 D,求四边形 OADB 的面积的最小值.

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21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若对一切 x? (0, ??) ,都有 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)试判断函数 y ? ln x ?

1 2 ? 是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明理由. e x ex

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惠州市 2014 届高三第三次调研考试试题 数 学(文科)答案
一、选择题 1 题号 答案 【解析】 1. A I B ? {x 3 ? x ? 5} ,选 B. 2. ∵ 1 ? (a ? 2)i 是实数,∴ a ? 2 ,则 B 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A

a?i 2?i ? ? 1 ? 2i ,选 A. i i

r r 3. ∵ a ∥ b ,∴ 2 x ? 2 ? (?4) ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 ,选 B.
4. 当 sin x ? B. 5.由圆心 (a,0) 到直线的距离等于半径得

1 ? 5? 时, x ? ? 2k? , k ? Z ,或 x ? ? 2k? , k ? Z ,故不是充分条件;反之成立,选 6 6 2
a?a 2

? 2 ,解得 a ? ?1 ,故选 D.

6.抽样比为

1500 3 3 ? ,则从高二年级学生中应抽取 30 ? ? 9 人,选 C. 10 5000 10

7. a52 ? a2 ? a8 ? 16 ,又 an ? 0 ,故 a5 ? 4 ,选 A. 8. S ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 5 ? 20 ,故选 C. 9. a1 ? a2 ? a3 ? …? a9 ?

1 ?22 32 92 1 ,故选 D. ? 2 ? 2 ? …? ?? 2 2 ?2 3 ?4 ?10 100

10.可知函数 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x 3 ? ln( x 2 ? 1 ? x ) ? ( ? x ) 3 ? ln( x 2 ? 1 ? x ) ? 0 ,所以函数为 奇函数,同时,

f ( x ) ? x 3 ? ln(

1 x2 ? 1 ? x

) =

x 3 ? ln( x 2 ? 1 ? x)

, 是 增 函 数 , 注 意 到

f ( a ) ? f ( b) f ( a ) ? f ( ? b) ? , a?b a ? ( ? b)
所以

f ( a ) ? f ( b) ? 0 ,选 A. a?b

二、填空题
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11.

3a 2

12.

3 4

13.10

14. 14

15.

3 2

【解析】

3 a 11.设此正三棱柱的高为 h , 则其主视图面积为 ah , 所以 h ? 2a , 左视图是边长分别为 2 ,h
的矩形,所以面积为

3 ah ? 3a 2 . 2

y

3 a c sin A ? ? 4 12. 由正弦定理, sin A sin C ,解得
13.不等式组表示的可行域如图所示,直线 y ? ?2 x ? z 过直线 x ? y ? ?1 和 直线 2 x ? y ? 2 交点 (3, 4) 时, z 有最大值 10.

o

x

14. 曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ,直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 圆心到直线
2 2

的距离为 d ?

2 2 2 ) ? 14 . ,故弦长 AB ? 2 22 ? ( 2 2
2

C E

15.设圆 O 的半径为 r ,由 AO2 ? AE 2 ? OE 2 得 (1 ? r )2 ? 3 ? r 2 , 解得 OE ? OD ? OB ? r ? 1 ;依题意知 Rt ?ABC : RtV AOE , 故

BC AB 3 ,解得 BC ? . ? 2 OE AO

A

D

O

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解:(1)∵函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) 的周期是 ? 且 ? ? 0

?T ?

2?

?

? ? ,解得 ? ? 2 … ……………………………………………………2 分
?
6 ) …………………………3 分

∴ f ( x) ? sin(2 x ?

? ? ? ? 3 ∴ f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? sin ? ………………………………………5 分 12 12 6 3 2
(2) g ( x) ? f ( x ?

?
6

) ? f (x ?

) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin[2( x ? ) ? ] ……………6 分 12 6 6 12 6

?

?

?

?

?

? sin(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) …………………8 分 2 4
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?

?

当 2x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , k ? z 即 x ?

?
8

? k? 时, g ( x) 取最大值 2 …………………10 分

此时 x 的集合为 {x x ? 17.解:(1) 组别 甲班 乙班 合计

?
8

? k? , k ? Z } ……………………………………12 分
不达标 8 4 12 总计 62 58 120 ……………………3 分

达标 54 54 108

(2)由表可知:用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为 从乙班抽取的人数为

8 ? 6=4 人,……………4 分 12

4 ? 6=2 人……………………………………………5 分 12

(3)设从甲班抽取的人为 a, b, c, d ,从乙班抽取的人为 1,2; “抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件 A .………………………………………6 分 所得基本事件共有 15 种,即:

ab, ac, ad, a1, a 2, bc, bd, b1, b2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 ……………………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 ab, ac, ad , bc, bd , cd ,共 6 种,……………………10 分 由古典概型可得 P( A) ?

6 2 ……………………………………………………12 分 ? 15 5
P

18.解:(1)连接 ED、EF , ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点, ∴ ED ? AC ……………………………………1 分

F

又∵ E、F 分别是 AC、PC 的中点 ∴ EF ∥ PA ……………………………………2 分 又∵ PA ? 平面ABCD , ∴ EF ? 平面ABCD ,……3 分 ∵ AC ? 平面ABCD , 又∵ ED I EF=E ∴ EF ? AC …………………4 分

A B E C

D

∴ AC ? 平面DEF …………5 分

又∵ DF ? 平面DEF

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第 9 页 共 12 页

故 AC ? DF …………………………………………………7 分 (2)∵ PA ? 平面ABCD ,∴是 PA 三棱锥 P ? CED 的高, PA ? 2 ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点,∴ VCED 是等腰直角三角形………9 分

AB ? 1 ,故 CE ? ED ?
故 VC ? PED ? VP ?CED 19.解:(1)∵ S n ?

2 1 1 2 2 1 , SVCED ? CE ? ED ? ? ? ? ………………………12 分 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ? ? SVCED ? PA ? ? ? 2 ? ………………………14 分 3 3 4 6

1 ? an 1 ? a1 1 ? a1 ? ………………………1 分 ? n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 2 3 1 ? an 1 ? an ?1 ………………………2 分 , S n ?1 ? 2 2

n ? 2 时, S n ?
两式相减得:

an ? sn ? sn ?1 ?

an 1 1 ? an 1 ? an?1 ? ,………3 分 ,? ? a n ?1 3 2 2

? ?an ? 是以 a1 ?

1 1 1 为首项, 为公比的等比数列 ? an ? n ……………………4 分 3 3 3

1 ………………………………………5 分 3n ?5 ?3 ?1 2n ? 7 (2) Tn ? ……① ? 2 ? 3 ? ……+ 3 3 3 3n 1 ?5 ?3 ?1 2n ? 7 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ……+ n ?1 ②………………………………7分 3 3 3 3 3 2 5 1 1 1 1 2n ? 7 ①-②得: Tn ? ? ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ……+ n )- n ?1 ……………8 分 3 3 3 3 3 3 3
∴ bn ? (2n ? 7)an ? (2n ? 7)
1 1 (1 ? n ) 5 2 3 ? 2n ? 7 ? ? ? ? 2? 3 1 3 3 3n ?1 1? 3

??

4 2 ? 4 n ? n ?1 …………9 分 3 3

?Tn ? ?2 ?

n?2 …………………10 分 3n n ?1 n?2 2n ? 5 ? (?2 ? )? ………………11 分 n ?1 n 3 3 3n ?1

Q Tn ?1 ? Tn ? ?2 ?

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∴当 n ? 2 时,

2n ? 5 ? 0 , Tn ?1 ? Tn ,即 T3 ? T2 ? T1 3n ?1

当 n ? 3 时, Tn ?1 ? Tn ,此时 Tn ? T3 ,

? Tn ? T3 ? ?

55 ………………………………12 分 27

又当 n ? 3 时,

n?2 ? 0 ,此时 Tn ? ?2 3n 5 5 ,? Tn ? T1 ? ? ………………………13 分 3 3

而 ?2 ? T2 ? T ? ? 1 ∴?

55 5 ? Tn ? ? ………………………………………14 分 27 3

20.(1)解:依题意设抛物线 C 的方程为: y 2 ? 2 px ,…………………1 分 ∵点 E (2, 2 2) 在抛物线上,∴ (2 2) 2 ? 2 p ? 2 解得 p ? 2 ,. ∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ………………………………3 分 ………………………4 分

(2)证明:由(1)知 F (1,0) ,则可设直线 AB 的方程为: x ? ky ? 1 ………………5 分 由?

? x ? ky ? 1 2 消去 y 得: y ? 4 y ? 4 ? 0 则 V? (4k )2 ? 4 ?1? (?4) ? 16k 2 ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?4 ………………………7 分

1 1 1 OF ? y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? (4k )2 ? 16 ? 2 k 2 ? 1 ………9 分 2 2 2 ∵点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 D SV AOB ?
∴ SV AOB

? SV ADB ………………………11 分
2

故 S四边形OADB ? 2 SV AOB ? 4 k ? 1 ∴当 k ? 0 时,有 S四边形OADB 最小值 4………………………13 分 ∴四边形 OADB 的面积的最小值为 4. ………………………14 分
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21.解:(1) f ( x) ? x ln x 的定义域为 (0, ?? ) ………………………………………………1 分

f ?( x) ? lnx ? 1 ,…………………………………………2 分
故 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递减;

1 e

1 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递增,………………………………………3 分 e 1 1 1 ∴ x ? 时, f ( x ) 取得最小值 f ( ) ? ? ……………………………4 分 e e e
(2)由 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 得: xlnx ? x2 ? ax ? 2 ,

Qx?0

? a ? x ? ln x ?

2 …………………………………5 分 x

令 g ( x) ? x ? ln x ?

2 , x

g ?( x) ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ? ? ( x ? 0) …………………………6 分 x x2 x2 x2

当 x ?(0, 2) 时, g ?( x) ? 0, g ( x ) 单调递减;当 x ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0, g ( x ) 单调递增;

?[ g ( x)]min ? g (2) ? 3 ? ln 2 ………………………………………………7 分
∵对一切 x? (0, ??) ,都有 a ? x ? ln x ?

? a ? (??,3 ? ln 2] ………………………………………………9 分
(3)令 ln x ?

2 恒成立, x

1 2 x 2 x 2 ? ? 0 ,则 x ln x ? x ? ,即 f ( x) ? x ? x e e e ex e e

由(1)知当 x? (0, ??) 时, f ( x )min ? f ( ) ? ? …………………………10 分 设 h( x) ?

1 e

1 e

x 2 1? x ? ( x ? 0), 则 h?( x) ? x x e e e

当 x ?(0,1) 时, h?( x) ? 0, h( x ) 单调递增;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0, h( x ) 单调递减;

1 ? h( x )max ? h(1) ? ? ……………………………………………………12 分 e
∴对一切 x? (0, ??) , f ( x) ? h( x) ,即 ln x ?

1 2 ? ?0 e x ex

?函数 y ? ln x ?

1 2 ? 没有零点。………………………………………14 分 e x ex
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