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《导数的概念》2学案


濉溪二中高二数学选修 2-2《变化率与导数》学案 编写人:姚林 审核人:肖亚

导数的加法与减法法则
一、学习目标 1 能根据导数公式和四则运算法则,求简单函数的导数 2 灵活运用导数公式 二、课前自学 A 预习教材 P 42 ? P 44 1.基本初等函数的导数公式: (1) C ' ? (C 为常数); (3) (sin x)' ? (5) (e x )' ? (7) (ln x)' ? (9) ? tan x ? ' ? ; ; ; ; (2) ( x ? )' ? (4) (cosx)' ? (6) (a x )' ? (8) (loga x)' ? (10) ? cot x ? ' ? ( ?为常数); ; ; ; ..

2.导数的加减法运算法则: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? = (2) [cf ( x)]? = B 小试牛刀 教材 P44 练习 2 求下列函数的导数 ; ;

(1) y ? x 2 ? 2 x (2) y ? 3 x ? x 3 (3) y ? x 2 ? ln x (4) y ? e x ?
1 1 ? x3 x 1

1

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三、合作学习
1:求下列函数的导数: (1) f ( x) ? x 2 ? sin x ; (2) g ( x) ? x3 ? 2x ? 6x ? 2cos x

(3) f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)

(4) y ?

4 2 ? ? 12e x 5 x x

?? 3? 2.求曲线 y ? sin x ? 1 在点 A ? , ? 处的切线方程 ? 6 2?

3.已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a,b,c 的值.

2

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四、课堂训练
1. 求下列函数的导数: 1 (1) y ? 2 ? cos x ; x (2) y ? 2 x ? 2 ln x ;

(3) y ? x ? sin x ? cos x ;
2 2

(4) y ? (2 x 2 ? 3)(3x ? 2) ;

2.*已知在曲线 f ( x) ? x 3 ? 3x 上的点 P 处的切线平行于直线 9x-y=0,求点 P 的坐标.

3.*偶函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e 的图像过点 P(0,1),且在 x=1 处的 切线方程为 y=x-2,求 y ? f (x) 的解析式.

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导数的乘法与除法法则
一、学习目标
1.了解两个函数的积、商的求导公式,会运用其求含有积、商综合运算的函 数的导数. 2.会用导数的四则运算法则进行导数计算. 3.能灵活运用导数的几何意义,解决曲线切线问题.

二、课前自学
A 阅读教材 P44-47 (重点演算例 3,例 4)

知识点 1 导数的乘法法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 __________第二个函数, __________第一个函数乘以第二个函数的___________.即若两个函数 f ? x ? 和

g ? x ? 是 ___________, 且 导 数 分 别 是 f ' ? x ? 和 g ' ? x ? , 则 有
?f ?

? ?x ? g?? =____________________________,特别地,当 g ? x ? =k 时, ? x
' '

? kf ? x ? ? =________________________________. ? ?

知识点 2 导数的除法法则 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的__________, __________分 母的导数与分子的___________,再___________分母的________,即若两个函 数 f ? x ? 和 g ? x ? 是__________,且导数分别是 f ' ? x ? 和 g ' ? x ? ,且 g ? x ? ? 0 ,则
? f ? x? ? 有 ? ? =____________________________. 特别地,当 f ? x ? =1 时, g ? x? ? ?
'

? 1 ? ? ? =________________________________. ? g ? x? ?

'

5

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B 小试牛刀 1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? 2x3 ? 3x2 ? 4 ; (2) y ? x ? sin x ;

(3) y ? (2x2 ? 5x ? 1) ? ex ;

(4) y ?

x ; 4x

2.已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为: A. f ( x) ? 2( x ?1) B. f ( x) ? 2( x ?1) 2 C . f ( x) ? ( x ?1)2 ? 3( x ?1) D. f ( x) ? x ? 1

3.函数 y ? ax2 ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a ? ( 1 1 1 A. B. C . 8 4 2

) D. 1

4.函数 f ? x ? ?

1 的导数是____________________. x ? 2x ?1
3

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三、合作学习
1.结合上节多个函数的和(或差)的求导,你能否给出多个函数乘积的导数?

2.日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用 不断增加.已知将 1 吨水净化 到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为 5284 c( x) ? (80 ? x ? 100) 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化 100 ? x 率: (1) 90% (2) 98% 分析:净化费用的瞬时变化率就是: 解:

四、课堂训练
1.求下列函数的导数
ln x ? x ln x x (5) y ? ? 3 x 5 ? 4 x 3 ?? 4 x 5 ? 3 x 3 ? ; y ? 3cos x ? 4sin x ; 1 ? sin x y? 1 ? cos x x 2.曲线 y ? 在点(1,1)处的切线方程为( ) 2x ?1 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

(1)y ? log2 x

; (2) y ? 2e x ;

(3)y ?



(4) (6)

C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0 x ?1 3.设曲线 y ? 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值是 x ?1 ( ) 1 1 A.2 B.- C.- D.-2 2 2
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简单复合函数的求导法则的导数
一、学习目标 1 了解形成复合函数的变量之间的关系,会将一个复合函数分解为两个(或多 个)简单函数. 2.了解复合函数的求导法则,会求形如 y ? f ? ax ? b ?? a ? 0? 的复合函数的导 数.
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二、课前自学 A 阅读教材 P49-51 知识点 1 复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y ? f ?u ? 和 u ? ? ? x ? ,如果通过变量______,使 y 可以 表 示 成 x 的 ________ , 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数 y ? f ?u ? 和 u ? ? ? x ? 的 _________,由 y ? f ?u ? 和 u ? ? ? x ? 符合的函数记作___________. 知识点 2 复合函数的求导法则
2

参考课本 P49 实例分析求函数 f ? x ? ? ? 3x ? 2 ? 的导数.

结合实例分析与上例可抽象出函数 y ? f ? ax ? b ?? a ? 0? 的求导公式____. 一般地,复合函数 y ? f ?? ? x ?? 对自变量的导数______,等于已知函数对中间 变 量 _____ 的 导 数 y 'u , ____ 中 间 变 量 u 对 自 变 量 _____ 的 导 数 u ' x 即

y ' x =____________________或 f ' ?? ? x ?? =______________________________.

B 小试牛刀 1.指出下列函数可由哪些函数复合而成,并求出其导数. 1)
y ? ? a ? bx ?
m



2)

y ? sin ? 2x ? 3?



3) y ?

1 ; 2x ?1

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1?3x 4) y ? e ;

5) y ?

1? ? ? x ? ? ?. 3? ? 3x ? 1? ? 1
3

2.函数 y ? sin 2 x 的图像在点 A(

? 1 , )处的切线的斜率为( 6 4
C. 1 2



A. 3

B.

3 3

D.

3 2

三、合作学习

1.用复合函数求导法则时应注意哪些方面?用自己的语言概括并归纳成几点.

2.通过练习与例题归纳一下复合函数求导的步骤.

四、课堂训练
(1) y ? ? 3 x ? 5 ?
10

(2) y ? 2 ? 5 x ? 4 ?

2

(3) y ? ? 7 x ? 4 ?

81

10

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(4) y ? ? 3x ? 5? 4

3

(5) y ? 2 x ? 5

(6) y ? ln ? 5 x ? 7 ?

5

(7) y ? ln ? 5x ? 4?

(8) y ? e2 x ?1

(9) y ? 32 x ?1

(10) y ? cos ?3x ? 5?

(11) y ? ex cos3x

(12) y ? ? 2 x ? 1?

2

? 2 ? 3x ?

3

(13)y ? ?3x ? 2? sin5x (14)y ? cos3x sin 2 x .

(15)y ? ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3?

2.设曲线 y ? e 在点(0,1)处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a =______________.
ax

3. 已 知 直 线 y ? x ? 1 与 曲 线 y ? ln ? x ? a ? 相 切 , 则 A.1 B.2 C.-1 D.-2

a 的值为(



4*设 l 是 y ?

1 图象的一条切线,证明 l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. x

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