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艺体生求数列的通项公式列(教案+例题+习题)


高三文科数学专题复习——数列专题 高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , 通项:
an ? a1 ? ? n ? 1? d

等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? 2

d

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2) Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍为等差数列,公差为 n 2 d ; ( 3)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ?
S 偶 ? S 奇 ? nd ,.





. 2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ) , an

通项: an ? a1q n ?1 . 等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列
· an ? a p · aq (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am

1

(2) Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n …… 仍为等比数列,公比为 q n .

注意:由 S n 求 an 的方法
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 .

1、若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n ? 求和公式为_______________。

5 , a1 ? 1 ,则它的通项公式为_____ ________, 2
1 ,则它的通项公式为________________, 3

2、若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n , a1 ? 求和公式为_______________。

1 3

3、若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 8n 2 ? 4n ,则它的通项公式为________ ________。 4、若数列 ?a n ? 的求和公式是 Sn ? 2n2 ? 4n ? 1 ,则它的通项公式为________ ________。 5、若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 3 ? 2 n ? 3 ,则它的通项公式为________ ________。 一、选择题 1.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 2.已知 A. -1 【答案】B 3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 ? 32 , 则 为等差数列, B. 1 C. 3 D.7 ,则 等于

S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C
2

4.设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于( A.13 故选 C. 5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 【答案】 :C 6.已知 ? an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 【答案】B B.- B B.35 C.49 D. 63

)

5 3

C.- 2

D 3

1 2

C.

1 2

D.2

7.等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 8.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?
2

B. 100

C. 145

D. 190

A.38 【答案】C

B.20

C.10

D.9

a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 9.设 ? an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ? an ? 的前 n 项和 S n =
( ) A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A 二、填空题 10. 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 11.设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2
3



答案:15 12. 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则 a5 ?
?

;前 8 项的和

S8 ?
答案 225

.(用数字作答)

13.设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。若 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 ,则 a 4 = 答案:3 14.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则 答案 9

S9 ? S5

15.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 答案
1 3

三、解答题
* 16.设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
2

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

17.已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 s n .

4

18. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

18.等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn

5

19. 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。

6

数列的通项的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
例 1.等差数列 数列

?a n ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a52 .求

?a n ? 的通项公式.

练一练:.已知等差数列 {a n } 的公差 d 大于 0 ,且 a 2 ,a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数
2

列 {b n } 的前 n 项和为 T n ,且 T n? 1 ? b n . (1)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式;

1 2

7

2.公式法:已知 S n 求 an ,用作差法: an ?
例 2.已知数列

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1



?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?a n ? 的通项公式。

练一练:2. 已知在正整数数列 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 (a n ? 2) 2 8

(1)求证:{a n } 是等差数列

1 ? a n ? 30 b (2)若 n 2 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值

3.累加法:形如 an?1 ? an ? f (n) 求 an
例 3. 已知 {a n } 的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? 2n ( n ? N * )求通项公式。

8

练一练:1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n (n ? 2) ,则 a n =________



2.已知 {a n } 中, a ? 3 , a ? a ? 2 n ,求 a n 。 n ?1 n 1

3.数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, a ,a2,a3 2, 3, ?) ,且 1 成公比 ?an ? 的通项公式.

不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求

9

4




an ?1 ? f (n)an





适用于:
例 1:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

-

2 n , a n ?1 ? an ,求 a n 。 3 n ?1

练习:已知 a1 ? 3 , an ?1 ?

3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 q 形如 an ? pan ?1 ? q 、的递推数列的解法:左右同加 p ?1
例 5. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n .

10

练一练.已知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2 ,求 an ;

2. 已知 {a n } 满足 a ? 3 , a n ?1 ? 2a n ? 1求通项公式。 1

3.已知 {a n } 中, a ? 1 , a n ? 3a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )求 a n 。 1

(2)形如 an ? 例 7: a n ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

a n?1 , a1 ? 1 3 ? a n?1 ? 1

练一练:9.已知数列 ?a n ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n ?1 = 1 ? 2a n 2
11

(n∈N ) 求 a n

?

数列通项的求解方法练习题
类型一专项练习题: 1、已知数列 ?an ? , a1 =2, an ?1 = an +3 n +2,求 an 。

4、已知 {a n } 中, a1 ? 3, a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。
n

3、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? a n ? 2 ,求 a n 。 2 n ?n

12

类型二专项练习题: 1、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

2 n , a n ?1 ? an ,求 a n 。 3 n ?1

2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2 an ,求通项公式 an
n

类型三专项练习题: 1、 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

13

2、设二次方程 a n x - a n+1. x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 a n 表示 a n ?1 ; (3)当 a1 ? (2)求证:数列 ?an ? ? 是等比数列;

2

? ?

2? 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式 6

3、已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

类型四专项练习题: 1、数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn (n ? N ) .求数列{an}的通项 an。
*

14

3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = 3 – 2, 求数列{an}的通项公式.

n

4、已知数列 ?a n ? 中,a 1 =1,a n ?1 =3a n +2,求数列 ?a n ? 的通项公式

15


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