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徐汇区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)


2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学
一.

理科试卷

2016.1

填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的标准方程是________________.
2.方程 log2 3 x ? 5 ? 2 的解是________________. 3.设 an ? 3? n (n ? N* ) ,则数列 {a n } 的各项和为________________. 4.函数 y ? cos 2 x ? 3sin x cos x 的最小值为________________. 5.若函数 f ( x) 的图像与对数函数 y ? log4 x 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称,则 f ( x) 的解析式为

?

?

f ( x) ? ________________.

2 6.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 4,则实数 a 的取值范围为________________.

7.若 x, y ? R ? ,且

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是________________. x y
a 1 3

8. 若三条直线 ax ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 相交于一点, 则行列式 1

1 2的 2 ?1 1

值为________________. 9. x ? 2x ? 1 3x ? 4 展开后各项系数的和等于________________.
3 2

?

??

?

10.已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, AB ? 3 , CD ? 2 ,则 A 、 B 两点在四面 体 ABCD 的外接球上的球面距离是________________. 11. 已知函数 f ( x) ? x2 ?1 的定义域为 D , 值域为 ??1,0,1,? , 则这样的集合 D 最多有 _______. 个

12.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的 6 个 数字之和恰好是 9 的概率为________________.
2 13 .设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,若 x1 是虚数,

x12 是实数,则 x2

x ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? S ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? =________________. x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ?

2

4

8

16

32

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14 . 已知 O 是锐角 ?ABC 的外心, tan A ?

? cosC ???? ???? 1 cos B ??? ? AB ? ? AC ? 2m ? AO, 则实数 .若 2 sin C sin B

m ? ________________.

二.

选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) ? ? ? ? 15.已知向量 a 与 b 不平行,且 a ? b ? 0 ,则下列结论中正确的是-----------------------(
A. 向量 a ? b 与 a ? b 垂直 B. 向量 a ? b 与 a 垂直 C. 向量 a ? b 与 a 垂直



? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

D.

向量 a ? b 与 a ? b 平行

? ?

? ?

16.设 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

1 ”的-----------------------------( a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



17.设 x 、 y 均是实数, i 是虚数单位,复数 ( x ? 2 y) ? (5 ? 2 x ? y)i 的实部大于 0 ,虚部不小于 0 , 则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------( )

18.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b ,则称点 (a , b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心.研究函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4030 ? ? 4031 ? f? ?? f ? ?? f ? ? ??? f ? ?? f ? ? 的值为---------------( ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? A. ?4031 B. 4031 C. ?8062 D. 8062



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三.

解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分)
在三棱锥 S? ABC 中 , SA ? AB, SA ? AC, AC ? BC 且

19.(本题满分 12 分)

S

AC ? 2, BC ? 13, SB ? 29 .
求证 SC ? BC 并求三棱锥的体积 VS ? ABC .

A

B

C

20.(本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分)

?1? 已知实数 x 满足 ? ? ? 3?

2 x ?4

?1? ?1? ?? ? ?? ? ? 3? ? 3?

x

x ?2

x 1 ? ? 0 且 f ( x) ? log 2 ? log 2 9

2

x 2

(1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f ? x ? 的最大值和最小值,并求此时 x 的值.

21.(本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A 、 B 及 CD 的中点 P 处, AB ? 30 km, BC ? 15 km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与 A 、 B 等距离的一 点 O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO 、 BO 、 PO .设 ?BAO ? x (弧度),排 污管道的总长度为 y km. P (1) 将 y 表示为 x 的函数; C D (2) 试确定 O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短, 并求总长度的最短公里数(精确到 0.01 km).

O
A B

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22.(本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2)②小题 7 分) 给定数列 ?an ? ,记该数列前 i 项 a1 , a2 ,?, ai 中的最大项为 Ai ,即 Ai ? max ?a1, a2 ,?, ai ? ; 该 数 列 后 n ? i 项 ai ?1 , ai ?2 ,?, an 中 的 最 小 项 为 Bi , 即 Bi ? min ?ai ?1, ai ?2 ,?, an ? ;

di ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,?, n ?1)
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的 d1 , d2 , d3 ; (2) 若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 且对任意 n ? N ? , 有 (1 ? ? ) S n ? ?? an ?

2 1 n ? , 其中 ? 为实数, 3 3

1 ? ? 0 且 ? ? , ? ? 1. 3
①设 bn ? an ?

2 , 证明数列 ?bn ? 是等比数列; 3(? ? 1)

②若数列 ?an ? 对应的 d i 满足 di ?1 ? di 对任意的正整数 i ? 1, 2,3,?, n ? 2 恒成立,求实数 ? 的取值 范围.

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 已知直线 l1 、 l2 与曲线 W : mx ? ny ? 1? m ? 0, n ? 0? 分别相交于点 A 、 B 和 C 、 D ,我们将
2 2

四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1) 若直线 l1 : y ? x? a和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1 分成长度相等的四段弧,求
2 2

a 2 ? b 2 的值;
(2) 若直线 l1 : y ? 2x ? 10, l2 : y ? 2x ? 10 与圆 W : x ? y ? 4 分别交于点 A 、B 和 C 、D ,
2 2

求证:四边形 ABCD 为正方形; (3) 求证:椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. 2

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2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科(理科)参考答案及评分标准
2016.1 三. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.y 2 ? 8x 2.x ? 2 3. 8. 0 9. 28 10.
2? 3 1 1 4.? 2 2

5.y ? ?4? x ? x ? R? 12.
1 4

6.0 ? a ? 4

7. 16 14.
5 5

11. 9

?2 13.

二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.A 16.D 17.A 18.C

S

四. 解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分)
A B

19.(本题满分 12 分)
AB ? AC ? A ,所以 SA ? 平面 ABC , 解: 因为 SA ? AB, SA ? AC , C

所以 SA ? BC .又 AC ? BC .所以 BC ? 平面 SAC .故 SC ? BC . --------6 分 在 ?ABC 中, ?ACB ? 900 , AC ? 2, BC ? 13 ,所以 AB ? 17 .----8 分 又在 ?SAB 中, SA ? AB, AB ? 17, SB ? 29 ,所以 SA ? 2 3 .---10 分
? 又因为 SA ? 平面 ABC ,所以 VS ? ABC ? ? ? . ----------12 分 ? ? 2 ? 13 ? ? 2 3 ? 3 ?2 3 ? 1 1 2 39

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)
1? 解:(1)设 ? ? ? ?3?
x ?2

1 ? u ,则上式化为 9u 2 ? 10u ? 1 ? 0 , ? u ? 1 , 9



1 ?1? ?? ? 9 ? 3?

x?2

?1

, 分

2 ? x ? 4 ---------------------------------------------------------------------6

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(2)因为 f ( x) ? log 2 ? log
2 2

x 2

2

x ? ? log 2 x ? 1?? log 2 x ? 2 ? 2
2

3? 1 ? ? log x ? 3log 2 x ? 2 ? ? log 2 x ? ? ? , ---------------------------10 2? 4 ?

分 当 log 2 x ? , 即 x ? 2 2 时,ymin ? ? --------------------------------------------------12 分 当 log2 x ? 1 或 log2 x ? 2 ,即 x ? 2 或 x ? 4 时, ymax ? 0 . ---------------------------14 分
3 2 1 4

21.(本题满分 16 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解:(1)由已知得 y ? 2 ? 即 y ? 15 ? 15 ? 分 (2)记 p ? 解
2 ? sin x 2 ? 1, ,则 sin x ? p cos x ? 2 ,则有 cos x 1 ? p2 15 ? 15 ? 15 tan x , cos x

2 ? sin x ? (其中 0 ? x ? ) -----------------------------------------------6 cos x 4



p? 3



p ? ? 3 ---------------------------------------------------------------------10 分

由于 y ? 0 , 所以, 当x? , 即点 O 在 CD 中垂线上离点 P 距离为 ? ? 15 ?
6

?

? ?

15 3 ? ? km 3 ? ?

处,

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y 取得最小值 15 ? 15 3 ? 40.98 (km) . -------------------------------------------------14

分 22.(本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2) ②小题 7 分) 解: (1)d1 ? 2, d2 ? 3, d3 ? 6. ---------------------------------------------------------------3 分 ( 2 )①当 n ? 1 时, (1 ? ? )a1 ? ??a1 ? 1, 所以 a1 ? 1 ---------------------------------4 分 当 n ? 2 时, (1 ? ? ) Sn ? ?? an ? n ? , (1 ? ? ) Sn ?1 ? ?? an ?1 ? n ? , 两式相减得 an ? ? an ?1 ? , 所以 bn ? an ?
2 3
2 3 1 3 2 3 1 3

2 2 2 ? ? an ?1 ? ? 3(? ? 1) 3 3(? ? 1)

? 2 3? ? 1 2 ? ? ?0 ? ? ?an?1 ? ? ?bn?1 , 又 b1 ? a1 ? ? 3(? ? 1) 3(? ? 1) 3(? ? 1) ? ?

所 以 , 数 列 ?bn ? 是 以 列.--------------------------9 分 ②由①知: an ?

3? ? 1 为 首 项 、 ? 为 公 比 的 等 比 数 3(? ? 1)

3? ? 1 n ?1 2 ?? ? ; 3(? ? 1) 3(? ? 1)

又 di ? max ?a1, a2 ,?, ai ? ? min ?ai?1, ai?2 ,?, an ? ,
di?1 ? max ?a1, a2 ,?, ai?1? ? min ?ai?2 , ai?3 ,?, an ?

由于 min ?ai?1, ai?2 ,?, an ? ? min ?ai?2 , ai?3 ,?, an ?, 所以由 di ?1 ? di 推得 max ?a1, a2 ,?, ai ? ? max ?a1, a2 ,?, ai?1?.

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所以 max?a1 ,a2 , ? ,ai? 1? ? ai? 1对任意的正整数 i ? 1, 2,3,?, n ? 2 恒成立 .-----------13 分 因为 di ? ai ? ai ?1, di ?1 ? ai ?1 ? ai ?2 , 所以
di ? di ?1 ? ai ? ai ? 2 ? 2ai ?1 ? 3? ? 1 i ?1 3? ? 1 i ?1 ? ? (1 ? ? 2 ? 2? ) ? ? ? (? ? 1) 2 . ------14 分 3(? ? 1) 3(? ? 1)

由 di ? di ?1 ? 0 ,得

3? ? 1 i ?1 ?? (? ? 1)2 ? 0 , 3(? ? 1)
1 1 3? ? 1 ? 0 解得 ? ? ? 1 ,所以 ? ? ( ,1) --------------------16 3 3 3(? ? 1)

但 ? ? 0 且 ? ? 1 ,所以 分

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小 题 9 分) 解:(1)由于直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相 等的四段弧,所以 AB ? CD ? 2 ,在等腰直角 ?OAB 中,圆心 O ? 0,0? 到直线
l1 : y ? x ? a









d?

a 2

?

2 ? a ?1 2







b ?1



? a 2 ? b 2 ? 2 ------------------------------------4 分

(2)由题知,直线 l1 , l2 关于原点对称,因为圆 W : x2 ? y 2 ? 4 的圆心为原点 O , 所以 AB ? DC ,故四边形 ABCD 为平行四边形.易知, O 点在对角线 AC, BD 上.
2 2 ? 4 10 6 ?x ? y ? 4 , x1 x2 ? 得 联立 ? 解得 5x2 ? 4 10 x ? 6 ? 0 ,由 x1 ? x2 ? 5 5 ? ? y ? 2 x ? 10 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 x1 ? 10 2 x2 ? 10

??? ?

????

?

??

?

? 5 x1 x2 ? 2 10 ? x1 ? x2 ? ? 10 ? 6 ? 2 10 ?
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??? ? ??? ? 4 10 ? 10 ? 0 ,所以 OA ? OB , 5
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于是 AC ? BD ,因为 AC ? BD ? 4 ,所以四边形 ABCD 为正方形.----------------9 分 (3) 证明:假设椭圆 W :
x2 ? y 2 ? 1 存在内接正方形,其四个顶点为 A, B, C , D . 2

??? ?

??? ?

????

??? ?

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 、 CD 的方程为 x ? m, x ? n,因为
A, B, C , D


m2 m 2 1? ? ? ? ?


?2 m , B? ?2 ?


? m,








? ? D 1? ? ?

? A? , ? ? ?

? ? n2 n2 ? 1 ? C? , ?ABCD n ,? , 由四边形 为正 ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

方形,易知, m ? 形 ABCD 的面积 S ?

6 6 6 6 ,直线 AB 、 CD 的方程为 x ? , x ? ? ,正方 ,n ? ? 3 3 3 3 2 6 2 6 8 ? ? .---------------------12 分 3 3 3

当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 、 CD 的 方 程 分 别 为
lAB : y ? kx ? m, lCD : y ? kx ? n ? k ? 0, m ? 0? ,
? x2 ? y2 ? 1 显然 m ? n .设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? ,联立 ? 得 ?2 ? ? y ? kx ? m

?1? 2k 2 ? x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?
2 2
2

4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 2 ? m 2 ? 1

? AB ? 8 ?1 ? k 2 ? ? 代人 AB ? ?1 ? k 2 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ,得
CD ? 8 ?1 ? k 2 ? ?
2

?1 ? 2k ?
2
2

2

,同理可得
2

2k 2 ? n 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

,因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? CD 解得 m2 ? n2

因为 m ? n ,所以 m ? ?n ,因此,直线 AB 与直线 CD 关于原点 O 对称,所以原 点 O 为正方形的中心(由 m ? ?n 知 AB ? DC ,四边形 ABCD 为平行四边形)
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??? ?

????

由 ABCD 为正方形知 OA ? OB , 即 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0
2 ? k ? 1? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,解得 m2 ? 代人得 (注:此时四边形 ABCD 为菱形) 2 1 ? 2k 3
2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

由 ABCD 为 正 方 形 知 A B ? A D, 因 为 直 线 AB 与 直 线 CD 的 距 离 为
m?n 1? k
2

AD ?

2

, m ? ?n ,故 AD ?
2k 2 ? m 2 ? 1

2

4m 2 ? 1? k 2

4?

2 ? k 2 ? 1? 3 1? k 2 ? 8 3

但 AB ? 8 ?1 ? k 2 ? ?

?1 ? 2k ?
2

2

2 2 ?1 ? k 2 ??1 ? 4k 2 ? ? 1 得 8 ?1 ? k ??1 ? 4k ? ? ? ,由 2 2 3 ?1 ? 2k 2 ? ?1 ? 2k 2 ?
2 2

4k 4 ? 5k 2 ? 1 ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1? k 2 ? 0 即 k ? 0 ,与 k ? 0 矛盾 . 所以 AD ? AB ,这与

AD ? AB 矛盾.即当直线 AB 的斜率 k ? 0 存在时,椭圆内不存在正方形.

综上所述,椭圆 W :
S? 8 .--18 分 3

x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,且其面积为 2

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