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导数与不等式证明(绝对精华)


二轮专题 (十一)
【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查:应知应会

导数与不等式证明

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题.比如要证明对任意 x ?[ a , b ]都有 f ( x) ? g ( x) ,可设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,只要利用导数 说明 h( x) 在[ a , b ]上的最小值为 0 即可. 二级排查:知识积累 利用导数证明不等式,解题技巧总结如下: (1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来) ,如函数的单调性、最值等,服 务于第二问要证明的不等式. (2)多用分析法思考. (3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证 明.例如采 用两边取对数 (指数) , 移项通分等等.要注意变形的方向: 因为要利用函数的性质, 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (4)常用方法还有隔离函数法, f ( x) min ? g ( x) max ,放缩法(常与数列和基本不等式一起考 查) ,换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅 助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. (5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式 放缩得来. 三极排查:易错易混 用导数证明数列时注意定义域.

1

【课堂探究】 一、作差(商)法 例 1、证明下列不等式: ① ex ? x ?1 ② ln x ? x ? 1
③ ln x ? 1 -

1 x

④ ln x ?

2(x - 1) ( x ? 1) x ?1

⑤ sin x ?

2x

, x ? (0, ) ? 2

?

二、利用 f ( x) min ? g ( x) max 证明不等式 例 2、已知函数 f ( x) ? ax ?
1 2 e ? b ? (a ? 1) ln x, (a, b ? R), g ( x) ? ? x ? . x e 2

(1)若函数 f ( x)在x ? 2 处取得极小值 0,求 a , b 的值; (2)在(1)的条件下,求证:对任意的 x1 , x2 ? [e, e 2 ] ,总有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) .

2

变式:证明:对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. x ex e

三、构造辅助函数或利用主元法 例 3、已知 m, n 为正整数,且 1 ? m ? n, 求证: (1 ? m) n ? (1 ? n) m .

变式:设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 1 ). (1)试判断 F ( x) ? ( x 2 ? 1) f ( x) ? g ( x) 在定义域上的单调性; (2)当 0 ? a ? b 时,求证 f (b) ? f (a ) ?
2a (b ? a ) . a2 ? b2

3

四、分析法证明不等式 例 4、设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (1 ? x2 )e x ? a .若曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,

且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行( O 是坐标原点),证明: m ? 3 a ?

2 ?1. e

变式:已知函数 f ( x) ? x 2 ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f ( s) . (Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) ,证明:当 t ? e 时,有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

4

五、隔离函数 例 5、已知函数 f ( x) ? e x ? ln(x ? m) . (Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m 并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) ? 0 .

变式:已知函数 f ( x) ? nx ? x n , x ? R, 其中 n ? N ? ,且 n ? 2 . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P ,曲线在点 P 处的切线方程为 y ? g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? a(a为实数) 有两个正实数根 x1 , x 2 ,求证: x 2 ? x1 ?
a ? 2. 1? n

5

六、与数列结合 例 6、已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求证:
ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 . . ? ? (n ? N ? ,n ? 2) 2 3 4 n n

变式: (1)已知 x ? (0,??) ,求证:

1 x ?1 1 ? ln ? ; x ?1 x x 1 1 1 1 1 1 1 (n ? N ? ,n ? 2) . (2)求证: ? ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 4 n 2 3 n ?1

6

【巩固训练】 1. 已知函数 f ( x) ? 图像的下方.
1 2 2 x ? ln x, 求证:在区间 (1,??) 上,函数 f ( x) 的图像在函数 g ( x) ? x 3 的 2 3

2.已知函数 f ? x ? ? ln

1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0 ? ? 处的切线方程;
1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 ,
? ? ? ? x3 ? ?; 3?

(Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ?

x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. ? 对 x ??0 , 3?

7

n x1n ? x2 ? x ? x2 ? 3.已知 0 ? x1 ? x2 ,求证: ?? 1 ? . 2 ? 2 ?

n

4. 设函数 f ( x) ?

ln(1 ? x) ( x ? 0) . x

(1)判断 f ( x) 的单调性;
1 (2)证明: (1 ? ) n ? e ( e 为自然对数, n ? N * ). n

8

5.已知函数 f ( x) ? e x ? x. (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P,且 [0,2] ? P ,求实数 a 的取值范围;

e ?1? ?2? ?3? ?n? (3)设 n ? N ,证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . e ?1 ?n? ?n? ?n? ?n?
?

n

n

n

n

6.已知 f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? ax(a ? 0) . (1) 讨论 f ( x) 的单调性;
(1 ? (2)证明: 1 1 1 ) (1 ? 4 ) ? ( 1 ? 4 )? e ( e 为自然对数, n ? N * , n ? 2 ). 4 2 3 n

9

7. 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x, g ( x) ? x ln x (1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)设 0 ? a ? b ,证明 : 0 ? g (a) ? g (b) ? 2 g (
a?b ) ? (b ? a) ln 2 . 2

8.设函数 f ( x) ? ae x ln x ?

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . x

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

10

9. 已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的切 线斜率为-1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x 2 ? e x ; (Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x 2 ? cex .

10.(选作)已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ? 1. (1)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (2)数列 {xn } 满足 xn e
xn ?1

? e xn ? 1, x1 ? 1, 求证: {xn } 递减,且 x n ?

1 . 2n

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