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导数与不等式证明(绝对精华)


二轮专题 (十一)
【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查:应知应会

导数与不等式证明

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题.比如要证明对任意 x ?[ a , b ]都有 f ( x) ? g ( x) ,可设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,只要利用导数 说明 h( x) 在[ a , b ]上的最小值为 0 即可. 二级排查:知识积累 利用导数证明不等式,解题技巧总结如下: (1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来) ,如函数的单调性、最值等,服 务于第二问要证明的不等式. (2)多用分析法思考. (3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证 明.例如采 用两边取对数 (指数) , 移项通分等等.要注意变形的方向: 因为要利用函数的性质, 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (4)常用方法还有隔离函数法, f ( x) min ? g ( x) max ,放缩法(常与数列和基本不等式一起考 查) ,换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论wport="0">e懈衾,热缫的精髓还实暮辅 助眯潞将黄鹂 热缫转化问 说明 h研究サ餍浴⒆钪档和 热缫常用5)建议有能力同学梅窒了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是男泰勒展开式 ǔS得来. 三极χ易错易混取恩不等式.静时蔚姆定义域.玫

【课堂探究排查H,鞑睿ㄉ蹋┓ 例 1、ㄏ率下列黄鹂 要愧 e, b , b1 ② ln , b , b 1
③ ln , b 1 -玫 x

④ ln , b

2(x - 1)缮 b 1) , b1

⑤ s( x, b

2x

,缮 b (0, x) 2

b

二、男 min ? g ( x) max ,放缩啡式. 2. 掌 例 2、已知サ餍 ? g ( x) 缩?导 2 ex) b b (a b 1) ln ,, (a有 f? R), ,可设 ? b , b .缮 e 2

用给度籁调 ? g ( 在 b 2 处窒旅极0 即 0毙]都有 f问痰;S梅治在用给兜奶跫1)续笾ぃ簒 ?[ a的 x1加衳2 b [e, e 2 ]法W躼) ? g (1 x) ,可2 x.玫2

变 要仁.:x 一切缮 b (0,?? h(( x) ln , b玫 2 b 成立.缮 e e

三、暮辅助眯或男 例 3、已知 m, n 为正整眯潞且 1 b m b n, 证: (1 b m) n b (1 b n) m .玫变 要设サ餍 ? g ( x) ln , x) ,可设 b 2 b 2 (缮 b 1 ). (1)试判断 F g ( x) 可 2 b 1) ? g ( x) ,只要涝诙ㄒ逵颉值微最值担唬用分蔚保 ?]都) b 梢岳证 ? gb x) ? ga x)
2a gb ?]都 x. a2 b b2

3

四、伎. H式. 2. 掌 例 4、) ?a b 1 x)サ餍 ? g ( x) (1 b 2 e缮 b a .若曲线 y.ge? g ( x在点 P 处的切线与缮 轴平行,

且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行( O 是坐标原点),仁.: m b 3?a b玫2 b1. e

变 要已知サ餍 ? g ( x) 2 ln , x (Ⅰ)求サ餍 ? g ( x滴⒆钪区间;S芒颍┤式.:x ?[ a的 t b 0 x)存在我晃的 s x)使 t b ? g s h (Ⅲ)设用Ⅱ)刃所确定的 s 关于 t 眯可x) ,縯 xǎ.:当 b e 梢岳有2

2 ln ,縯 x1 b ?x. 5 ln t 2

4

五、ǎ f 例 5、已知サ餍 ? g ( x) e缮 b ln(x b m) 常用Ⅰ)) ?x b 0 是e? g ( x的极 毋毙]m 并讨论e? g ( x的⒆钪档;S芒颍┑保m b 2 梢岳.: ? g ( x) 0 .玫变 要已知サ餍 ? g ( x) n, b , n加衳 b R, 其中 n b N b 潞且 n b 2 常用给短致踖? g ( x的⒆钪档;S梅治设曲线 y.b ? g a ,与缮 轴正半轴的交点可 潞曲线在点 P 处的切线方程可x) ,可设 h(证: 龅牟?[ a的正实餍 , x)( x) ? g ( x) ,可设 h唬用给橙艄赜 x 方程 ? g ( x) (a为实餍 ,有两个正实餍根 x1加衳 2 (证: 2 b x1?
a b 常1b n

5

六、突静结合 例 6、已知サ餍 ? g ( x) ln , b 缩? 3?(a b R) 常用给肚螗调 ? g ( x滴⒆钪区间;S梅治证:
ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 . . b ?x(n b N b 潞n b 2) 2 3 4 n n

变 要S酶已知 b (0,?? h(证:
导 x b1 1 b ln b 禄 x b1 x x 1 1 1 1 1 1 1 (n b N b 潞n b 2) 常用分硒笾ぃ b ?x?x?x?x?xln n b 1 ?x?x?x?x?x2 3 4 n 2 3 n b1

6

【巩固训练崂玫已知サ餍 ? g ( x) 图像的下方.导 2 2 b ln ,, 证:在区间 (1,?? 笆毙サ餍 ? g ( x滴图像在サ餍 ,可设 b x 3 的 2 3

2.已知サ餍 ? b , b b ln玫糱 , h 糱 ,

用Ⅰ)求曲线 y.b ? b , b 在点 b 0 x)f b 0 b b 处的切线方程;导b 梢岳 ? b , b b 2 b x b 旅Ⅱ)证:当, b b 0 x)
?x?x?x?xx3 b b禄 3b玫(Ⅲ)设实餍 k 使敌 mib , b b kib , b

x3 b 糱 恒成立毙]k 的最大痰. b 对 , b?0 x) 3b玫7

n ,1n b x2 b , b ,2 b 3.已知 0 b x1? ,2 (证: ?b 1 ?x握 ?x ?

n玫4. 设サ餍 ? g ( x)

ln(1 b )缮 b 0) 常,

用给杜卸 ? g a ,滴⒆钪档;导 用分稳式.: (1 b ) n b e蒭 为自然指数x) n b N * ). n

8

5.已知サ餍 ? f ( x) e缮 b x常用给肚螗调 ? g ( x滴 0 即;S梅治设黄鹂 ? g ( x) 缩返慕饧 P潞且 [0,2] b P 潞求实餍 a 的 即范围;
ex)糱 ?2b ?3b ?nb 旅给) ?n b N ǎ.: b b b b b b b b b b b b b b . e b1 ?nb ?nb ?nb ?nb
b

n

n

n

n

6.已知 ? g ( x) ln(1 b 蓌 x) ax(a b 0) 常(1) 讨论e? g ( x的⒆钪档;
用 b 旅分稳式.: 1 1 1 元法酶 b 4 元穊 旅 1 ?x4 元b e蒭 为自然指数x) n b N * x) n b .x4 2 3 n

9

7玫已知サ餍 ? g ( x) ln(1 b )琤 x, ,可设 ? x ln , (1)求サ餍 ? g ( x滴最大痰; (2)) ? ?]都) b ,仁. : ?], va?],縝 x) 2],
a?b x) gb ?]) ln 2 常2

8.设サ餍 ? g ( x) ae缮 ln , b玫be缮 b1 x)曲线 y.b ? g a ,在点用给) min1) 处的切线可x) e可 b 1) b 2 常,

(Ⅰ)求]都有 f;S芒颍┤式.: ? g ( x) 1 .玫0

9玫已知サ餍 ? ?, b b e缮 b a, h╙都为常 移系耐枷裼肷y 轴交室 A x)曲线 y.b ? ?, b 在点 A 处的切 线斜率为-用涤芒瘢┣ a 的值及サ餍 ? ?, b 的极 ;S芒颍┤式.:当, b 0 室岳 2 b e缮 ;S芒螅┤式.:x ?[ a哪的正数 c法W艽嬖 x0 x)使敌当, b bx0毙 b bb 潞恒x) 2 b ce .玫0.(选作)已知 ? g ( x) (1 b )e缮 b 用涤酶.:当 b 0 室岳 ? f ( x) 0 ; 旅分矽本 {xn } 满足 xn e
xn b1

b e缮n b 1有x1 ?x1有证: {xn } 递减潞且 , n糱玫 常2n玫技


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