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1.5《函数y=sin(ωx+φ) 的图象(课时1)课件(人教版必修4)


普通高中课程标准实验教科书必修④

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1.“五点法”作y=sinx图象的“五点”指:
3? (0, 0), ( ,1), (? , 0), ( , ?1), (2? , 0) 2 2

?

2.“五点法”作图的步骤: 表,描点,成图 列

(一)探索A,ω ,φ 对函数y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω>0)图像的影响:

探究一
x

y=sinx 与y=sin(x+π/3) 0 0
?

?
2

? 0
2? 3

3? 2

2?

y ? sin x

1
?
6

-1
7? 6
3? 2

0
5? 3
2?

x

?
3

X ? x?

?
3
?
3 )

0

?
2

?

y ? sin( x ?

0

1

0

-1

0

y ? sin (x ?

?

y 3

)

1
o

yy??sinsinsinxx yy??sinsinx x yy?sinsinxx yy??xsin y?sinxx y?sin ?x

? ?? ?
2

3

? 6

? 2 ? 2 3

? 7?

3? 5? 6 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响

一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可 以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时 )或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位而得到.

练习:已知函数y=sinx的图象为C,为了得到函数 y=sin(x-π/4)的图象,只要把C上所有的点( A )
(A)向右平行移动π/4个单位长度

(B)向左平行移动π/4个单位长度

1

探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
X ? x?

?
?
3
?
3 )

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3
2?

0 0
?

?
2

? 0
?
3

y ? sin( x ?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6
2?

x
X ? 2x ?

?
6

?
3

0
?
3 )

?
2

?
0

y ? sin(2 x ?

0

1

-1

0

y
3 2 1 2?
5? 6

o
?

2? 3
? ? 12 6

?
3

?

?
6

? 3

7? 12

7? 6

-1

-2
-3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3
9

5? 3

x

规律二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

一般地,函数y=sin(ωx+φ )的图象, 可以看作是把y=sin(x+φ )的图象上所有 点 的 横 坐 标 缩 短 ( 当 ω >1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0<ω<1时)到原来的 1/ω (纵坐标不变)而 得到的.

练:2已知函数y=sin(x-π/4)的图象为C,为了得到函数 y=sin(x/3-π/4)的图象,只要把C上所有的点( A )
(A)横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的1/3倍,纵坐标不变
(C)纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的1/3倍,横坐标不变

探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x
X ? 2x ?

?
?
3

?
6

?
12

?
3

?

7? 12
3? 2

5? 6

0
)

2

? 0
?
3

2?

y ? sin(2 x ?

?
3

0
?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6

x
X ? 2x ?

?
6

?
3
?
3 )

0 0

?
2

? 0

2?

y ? 3sin(2 x ?

3

-3

0

y
3 2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

o
?

?
6

? 12

? 3

7? 12

5? 6

x

-1

-2

? y=sin(2x + ) 3

-3

规律三、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图 象可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到.

参数φ, ω, A 对图象的影响
Φ:沿x轴平 移 |φ|个单位 , 口诀: “左加” “右减” ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω

A:纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

(二)探索y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系

例、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin ( x ? )的图象? 2 3

) 方法1: (按? , ? , A顺序变换
y
3
2

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx
1

o
?

?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 6

5? 3

2?

7 2 5? ? ? 12 3 6

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

v研究过程 ( A ? 0, ? ? 0) y? v探究(四): A sin(? x ? ? )

y与 sin x ? 的图象关 : 系函数y=Asin(? x+ ? )(其中A>0, ?>0)的图 v 象如何由y=sinx得到? 按照? ? ? ? A的顺序 平移变换 ? 周期变换 ? 振幅变换 v①先画出函数y=sinx的图象;
v②再把正弦曲线向左(右)平移|?|个单位长度,得

到函数y=sin(x+?)的图象;

v③然后使曲线上各点的横坐标变为原来1/?倍,得

到函数y=sin(?x+?)的图象;

v④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,

这时的曲线就是函数y=Asin(?x+?)的图象.

◆思考:还有其他的变换方法吗?

关键 :如何由 y ? sin(2 x) 图象变成

y ? sin(2 x ?

?

3

) 的图象?

探究:y=sin(2x)和y=sin(2x+π/3)图象关系
x

0

?
4

?
2

3? 4
3? 2

?
2?

y ? sin 2 x

X ? 2x
y ? sin(2 x)

?

0 0
?

2

? 0
?
3

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6
2?

? 向左平移 6

个单位

x
X ? 2x ?

?
6

?
3

0 0

?
2

? 0

? y ? sin(2 x ? ) 3

1

-1

0

? y ? sin(2( x ? )) 6

( ) 方法2: 按? , ? , A顺序变换
y

3
2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

y=sinx
?
? 3
5? 6

o
? ? 6
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

v研究过程 ( A ? 0, ? ? 0) y? v探究(四): A sin(? x ? ? )

y与 sin x ? 的图象关 : 系函数y=Asin(? x+ ? )(其中A>0, ?>0)的图 v 象如何由y=sinx得到? 按照? ? ? ? A的顺序 周期变换 ? 平移变换 ? 振幅变换
v①先画出函数y=sinx的图象; v②然后使曲线上各点的横坐标变为原来1/?倍,得

到函数y=sin(?x)的图象;
v③再把正弦曲线向左(右)平移

|? |

到函数y=sin(?x+?)的图象;

? 个单位长度,得

v④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,

这时的曲线就是函数y=Asin(?x+?)的图象.

y ? sin x 图象变成 1 ? y ? 2sin( x ? )的图象? 3 6
如何由

v研究过程 ( A ? 0, ? ? 0) y? v探究(四): A sin(? x ? ? )



y与 sin x ?
vy=sinx
? 2

的图象关

系过程步 v 骤

y
1

v步骤1

?

2?
3? 2

O -1

x

v(沿x轴
y
1

平行移动) vy=sin(x+? )
?
3? 2

v步骤2

O -1

? 2

2?

x

v(沿x轴 vy

伸缩) vy=sin(?x+? )
vx

v步骤3

vO

v(沿y轴 伸缩) vy vy=Asin(?x+?

)

v步骤4

vO

vx

小结:y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系
作y=sinx(长度为2?的某闭区间) 沿x轴平移 |φ|个单位 y=sin(x+φ) 横坐标 变为1/ω 横坐标 变为1/ω y=sinωx
? 沿x轴平移 ? 个单位

y=sin(ωx+φ) 纵坐标 变为A倍

y=Asin(ωx+φ)的图象,先在一个周期 闭区间上再扩充到R上

1 ? 由 y ? 2sin( x ? ) 的图象经过怎样的 3 6
变换得到 y ? sin x 的图象?


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