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指数函数与对数函数高考题(含答案)


指数函数与对数函数高考题
1、 (2009 湖南文) log2 2 的值为( A. ? 2 B. 2 ) C. ? ) D. ? ) C. ?
1 2

D.

1 2

2、 (2012 安徽文) log2 9 ? log3 4 ? ( A.
1 4

B.

1 2

3、 (2009 全国Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 ( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

4、 ( 2009 广 东 理 ) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点

( a , a) ,则 f ( x) ? (
A. log2 x

) B. log 1 x
2

C. )

1 2x

D. x 2

5、 (2009 四川文)函数 y ? 2 x?1 ( x ? R) 的反函数是( A.

y ? 1 ? log2 x( x ? 0)

B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1) ) D. b ? c ? a ) D .b ? a ? c

C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0)

6、 (2009 全国Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c

1 7、 (2009 天津文)设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( ) 0.3 ,则( 2 3 2
B. a ? c ? b 1 8、(2009 湖南理) 若 log2 a<0, ( )b >1,则 ( 2 A.a>1,b>0 <0 B.a>1,b<0 A. a ? b ? c C. b ? c ? a )

C. 0<a<1, b>0

D. 0<a<1, b

9、 (2009 江苏)已知集合 A ? ? x log 2 x ? 2? , B ? (??, a) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是
(c, ??) ,其中 c =
1 1 10、 (2010 辽宁文)设 2a ? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m ? ( a b

) D.100

A. 10

B.10
1

C.20

11、 (2010 全国文)函数 y ? 1 ? ln(x ? 1)(x ? 1) 的反函数是( A.y= e x ?1 -1(x>0)
? R)

) D.y= e x ?1 +1 (x

B. y= e x ?1 +1(x>0)

C. y= e x ?1 -1(x ? R)

12、 (2012 上海文)方程 4 x ? 2 x ?1 ? 3 ? 0 的解是_________
? 1 13、 (2011 四川理)计算 (lg ? lg 25) ? 100 2 _______ 4 1

. . 。 .

14、 (2011 江苏)函数 f ( x) ? log5 (2x ? 1) 的单调增区间是__________

15、 (2012 北京文)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 , f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _________
2 3 2 3 5 2 5 2 5 16、 (2010 安徽文) (7)设 a ? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) ,则 a,b,c 的大小关系是 5 5 5

A.a>c>b

B.a>b>c )

C.c>a>b

D.b>c>a

17、 (2010 四川理) 2 log5 10 ? log5 0.25 ? ( A.0 B.1

C. 2 )

D.4

2 18、 (2010 天津文)设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则(

A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c )

1 19、 (2011 四川文)函数 y ? ( ) x ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是( 2

20、 (2012 四川文)函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(



x 21、(2009 广东文) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a( 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 a ? 0,且a ? 1 )

2

f ( x) ? (

) B.
1 2x

A. log2 x

C. log1 x
2

D.2 x?2

22、 (2009 北京理)为了得到函数 y ? lg 点(

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的 10

) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2? x 23、 (2009 全国Ⅱ文)函数 y ? log 2 的图像( ) 2? x A. 关于原点对称
y ? x 对称

B. 关于直线 y ? ? x 对称

C. 关于 y 轴对称

D. 关于直线

1 24、 (2009 辽宁文)已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) x ;当 x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) , 2

则 f (2 ? log2 3) =( A.
1 24

) B.
1 12

C.

1 8

D.

3 8

?log 2 x, x ? 0, ? 25、 (2010 天津理)若函数 f ( x) = ?log (? x), x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2



) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ) D1 4

?log3 x, x ? 0 1 26、 (2010 湖北文)已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? ( 9 ?2 , x ? 0
A.4 B.
1 4

C.-4

27、 (2011 安徽文)若点 ( a, b) 在 y ? lg x 图像上,a ? 1 ,则下列点也在此图像上的是(
1 ( , b) A. a



B. (10a,1 ? b)

C. (

10 , b ? 1) a

D. (a 2 ,2b)

?21? x , x ? 1 f ( x) ? ? ?1 ? log2 x, x ? 1 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ( 28、 (2011 辽宁理)设函数

)

A. [?1,2]

B. [0,2]
3

C. [1,??) [1,+ ? ]

D. [0,??)

29、 (2012 重庆文)设函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0},
N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为(

) C.(-1,1) D. (??,1) .

A. (1, ??)

B.(0,1)

30、 (2012 上海春)函数 y ? log 2 x ? 31、 (2011 重庆文)若实数 , , 满足 是 .

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______ log 2 x
,

,则 的最大

32 、 ( 2012 北京文)已知 f ( x) ? m( x? 2 m)( x? m? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 . 若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或
g ( x) ? 0 ,

则 m 的取值范围是________

.

33、 (2012 上海文理)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数
y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

4

指数函数与对数函数参考答案
1 1 1 1、 【解析】由 log 2 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

2、 【解析】选 D log 2 9 ? log3 4 ?

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
1 lge, 作商比较知 c>b, 2

3、 【解析】本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= 选 B。 4、 【解析】 f ( x) ? loga x ,代入 ( a , a) ,解得 a ?

1 ,所以 f ( x) ? log 1 x ,选 B. 2 2

5、 【解析】由 y ? 2 x?1 ? x ? 1 ? log2 y ? x ? ?1 ? log2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 , ∴其反函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 6、 【解析】?log3 2 ? log2 2 ? log2 3 ?b ? c

log2 3 ? log2 2 ? log3 3 ? log3 ? ?a ? b?a ? b ? c .
7、 【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 ,而 b ? log2 3 ? 1 , 因此选 D。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能力。 1 8、 【解析】由 log2 a ? 0 得 0 ? a ?, 由 ( )b ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。 2 9、 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 log2 x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。 10、 【解析】选 A. ? ? logm 2 ? logm 5 ? logm 10 ? 2,?m2 ? 10, 又? m ? 0,? m ? 10. 11、 【答案】D 12、 【解析】 (2x )2 ? 2 ? 2x ? 3 ? 0 , (2x ? 1)(2x ? 3) ? 0 , 2 x ? 3 , x ? log2 3 . 13、 【答案】-20 1 14、 【答案】 (? ,?? ) 2 15、 【解析】? f ( x) ? lg x, f (ab) ? 1 ,? lg(ab) ? 1 ? f (a2 ) ? f (b2 ) ? lg a2 ? lg b2 ? 2lg(ab) ? 2 【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也 要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.
2 y ? ( ) x 在 x ? 0 时是减函数, 16、 【解析】 A y ? x 在 x ? 0 时是增函数, 所以 a ? c , 所以 c ? b 。 5
5
2 5

1 a

1 b

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 17、 【答案】 C 18、 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。 因为 0 ? log5 4 ? 1, 所以b<a<c 【温馨提示】比较对数值的大小时,通常利用 0,1 进行,本题也可以利用对数函数的图像 进行比较。 19、 【答案】A 20、 【解析】采用特殊值验证法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),只有 C 选项符合. 【点评】 函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、 排除法比较常用,且简单易用.
x 21、 【解析】函数 y ? a 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 ,所 ( a ? 0,且a ? 1 )

以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. 22、 【答案】C 23 、 【解析】本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为 (?2,2) 关于原点对称,又
f (? x) ? f ( x) ,故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。

24、 【解析】∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)

且 3+log23>4
1

1 1 1 1 1 log 1 3 1 1 1 ∴ f (2 ? log2 3) =f(3+log23)= ( )3?log2 3 ? ? ( )log2 3 ? ? ( ) 2 ? ? ? 2 8 2 8 2 8 3 24
25、 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中 等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

a?0 a<0 ? ? ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ? a a ? ? ?a ? 2 ?

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数 大于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 26、 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? ,所以 B 正确. 27、 【解析】由题意 b ? lg a , ?b ? ? lg a ? lg a ,即
6
?

1 9

1 9

1 9

1 4

? a , 2b ? 也在函数 y ? lg x
2

图像上.

【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.

28、 【答案】D 29、 【解析】 由 f ( g ( x)) ? 0 得 g 2 ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3x ? 2 ? 1或 3x ? 2 ? 3 所以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ;由 g ( x) ? 2 得 3x ? 2 ? 2 即 3x ? 4 所以 x ? log 3 4 故 M ? N ? (??,1) 。 【考点定位】 本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以 函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. 30、 【答案】 5 31、 【答案】 2 ? log2 3 32、 【解析】首先看 g ( x) ? 2x ? 2 没有参数,从 g ( x) ? 2x ? 2 入手,显然 x ? 1 时, g ( x) ? 0 , x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,而对 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立即可,故只要 ?x ? 1 时, f ( x) ? 0 (*)恒成立 即可.当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,不符合(*),所以舍去;当 m ? 0 时,由
f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 得 ?m ? 3 ? x ? 2m ,并不对 ?x ? 1 成立,舍去;当 m ? 0 时,由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 ,注意 ?2m ? 0, x ? 1 ,故 x ? 2m ? 0 ,所以 x ? m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?( x ? 3) ,又 x ? 1 ,故 ?( x ? 3) ? (??, ?4] ,所以 m ? ?4 ,又 m ? 0 ,故 m ? (?4,0) ,综上, m 的

取值范围是 (?4, 0) . 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉 及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对 m 进行讨论.

?2 ? 2 x ? 0 33、 【解析】(1)由 ? ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x??21x ? 1 得 1 ?
2?2 x x ?1

? 10

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 2 . ?x?1 3 3
? ?1 ? x ? 1 由? 2 得? 2 ?x?1 3 3 1 ?? 3 ? x ? 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此
y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)

由单调性可得 y ? [0, lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10y ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ?[0, lg 2]

7


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