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1.3简单的逻辑联结词(1)(教学设计)


1.3 简单的逻辑联结词(1) (教学设计) 1.3.1 且 1.3.2 或 1.3.3 非 教学目标 1.知识与技能目标: (1) 掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义 (2) 正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题 (3) 掌握真值表并会应用真值表解决问题 2.过程与方法目标: 在观察和思考中,在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养. 3.情感态度价值观目标: 激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.通过探究学习培养学生 合作交流的良好习惯和品质,培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。 教学重点与难点 重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“且、或、非”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容。 难点: 正确理解命题 1、 “P∧q” , “P∨q” ? p”真假的规定和判定. 简洁、 , “ 2、 准确地表述命题 “P∧q” “P∨q” ? p” “ . 教学过程: 一、复习回顾: 命题:若 p,则 q (1)若 p ? q,且 q p.则 P 是 q 的充分不必要条件 (2)若 p q,且 q ? p.则 p 是 q 的必要不充分条件 (3)若 p ? q,且 q ? p.则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件 (4)若 p q,且 q p.则 p 是 q 的既不充分与不必要条件 引调:只能“已知(条件) ”是“结论”的什么条件。 二、创设情境、新课引入 在当今社会中,人们从事任何工作、学习,都离不开逻辑.具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要 方面.数学的特点是逻辑性强,特别是进入高中以后,所学的数学比初中更强调逻辑性.如果不学习一定的逻辑知识, 将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误.其实,同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识. 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且” “或” “非” 。在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义 和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且” “或” “非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便,今后常用小写字母 p,q,r,s,?表示命题。 (注意与上节学习命题的条件 p 与结论 q 的区别) 问题 1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系? (1)①12 能被 3 整除; ②12 能被 4 整除; ③12 能被 3 整除且能被 4 整除。 (2)①27 是 7 的倍数; ②27 是 9 的倍数; ③27 是 7 的倍数或是 9 的倍数。 学生很容易看到,在第(1)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题,在第(2)组命题 中,命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题, 。 问题 2:以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢?你能否举一些例子? 例如:命题 p:菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。 命题 q:三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。 前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容,我们将学习一些简单 命题的组合,并学会判断这些命题的真假。 三、师生互动,新课讲解 问题 2:下列语句是命题吗?如果不是,请你将它改为命题的形式 ①11>5 ②3 是 15 的约数吗? ③0.7 是整数
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④x>8

解:①是命题,且为真;②不是陈述句,不是命题,改为③是 3 是 15 的约数,则为真; ③是假命题 ④是陈述句的形式,但不能判断正确与否。改为 x2≥0,则为真; 例如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的. 这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题) 。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因 为这个工作过于复杂,只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。 问题 3: (1)6 可以被 2 或 3 整除; (2)6 是 2 的倍数且 6 是 3 的倍数; (3) 2 不是有理数; 上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别?比前面的命题复杂了,且(1)和(2)明显是由两个简单的命题 组合成的新的比较复杂的命题。 命题(1)中的“或”与集合中并集的定义:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}的“或”意义相同. 命题(2)中的“且”与集合中交集的定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}的“且”意义相同. 命题(3)中的“非”显然是否定的意思,即“ 2 不是有理数”是对命题 2 是有理数”进行否定而得出的新命 题. 1. 逻辑连接词 命题中的“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词 、 、
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2. 复合命题的构成 简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 复合命题:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 3.复合命题构成形式的表示 常用小写拉丁字母 p、q、r、s??表示简单命题. 复合命题的构成形式是:p 或 q;p 且 q;非 p. 即:p 或 q 记作 p?q p且q 记作 p?q 非 p (命题的否定) 记作 ?p 释义: “p 或 q”是指 p,q 中的任何一个或两者.例如, ? A 或 x ? B” “x ,是指 x 可能属于 A 但不属于 B(这里的“但”等 价于“且”,x 也可能不属于 A 但属于 B,x 还可能既属于 A 又属于 B(即 x ? A∪B) ) ;又如在“p 真或 q 真”中,可能 只有 p 真,也可能只有 q 真,还可能 p,q 都为真. “p 且 q”是指 p,q 中的两者.例如, ? A 且 x ? B” “x ,是指 x 属于 A,同时 x 也属于 B(即 x ? A ? B).
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“非 p”是指 p 的否定,即不是 p. 例如,p 是“x ? A” ,则“非 p”表示 x 不是集合 A 的元素(即 x? ?U A ). 例 1(课本 P14 例 1) :将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式,并判断它们的 真假。 (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等。 (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35 是 15 的倍数,q:35 是 7 的倍数. 解: (1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成 平行四边形的对角线互相平分且相等. p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成 平行四边形的对角线互相平分或相等. 由于 p 是真命题,且 q 也是真命题,所以 p∧q 是真命题, p∨q 也是真命题. (2)p∧q:菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成 菱形的对角线互相垂直且平分. p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成 菱形的对角线互相垂直或平分. 由于 p 是真命题,且 q 也是真命题,所以 p∧q 是真命题, p∨q 也是真命题.
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(3)p∧q:35 是 15 的倍数且 35 是 7 的倍数. 也可简写成 35 是 15 的倍数且是 7 的倍数. p∨q: 35 是 15 的倍数或 35 是 7 的倍数. 也可简写成 35 是 15 的倍数或是 7 的倍数. 由于 p 是假命题, q 是真命题,所以 p∧q 是假命题, p∨q 是真命题. 说明,在用"且"或"或"联结新命题时,如果简写,应注意保持命题的意思不变. 例 2(课本 P15 例 2) :选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题,并判断它们的真假。 (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 和 3 都是素数; (3)2≤2. 解略. 例 3(课本 P16 例 3) 、判断下列命题的真假; (1)6 是自然数且是偶数 (2)?是 A 的子集且是 A 的真子集; (3)集合 A 是 A∩B 的子集或是 A∪B 的子集; (4)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等. 解略. 例 4(课本 P17 例 4) :写出下列命题的否定,判断下列命题的真假 (1)p:y = sinx 是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合 A 的子集。 解略. 课堂练习: (课本 P17 练习) 4.命题的否定与否命题的区别 让学生思考:命题的否定与原命题的否命题有什么区别? 命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定,因此在解题时应分请命题的 条件和结论。 例:如果命题 p:5 是 15 的约数,那么 命题¬p:5 不是 15 的约数; p 的否命题:若一个数不是 5,则这个数不是 15 的约数。 显然,命题 p 为真命题,而命题 p 的否定¬p 与否命题均为假命题。 例 5:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题: (1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员; (3)平行线不相交 解: (1)中的命题是 p 且 q 的形式,其中 p:24 是 8 的倍数;q:24 是 6 的倍数. (2)的命题是 p 或 q 的形式,其中 p:李强是篮球运动员;q:李强是跳高运动员. (3)命题是非 p 的形式,其中 p:平行线相交。 例 6: 分别指出下列复合命题的形式 (1)8≥7 (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) ? 不是整数; 解: (1)是“ p ? q ”形式, p : 8 ? 7 , q :8=7; (2)是“ p ? q ”形式, p :2 是偶数, q :2 是质数; (3)是“ ? p ”形式, p : ? 是整数; 例 7:写出下列命题的非命题: (1) “AB∥CD”且“AB=CD” ;
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(2) “△ABC 是直角三角形或等腰三角形” . 解: (1)AB 不平行于 CD 或 AB≠CD; (2)原命题是“p 或 q”形式的复合命题,它的否定形式是:△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形.

“非 p”这种复合命题又叫命题的否定;是对原命题的关键词进行否定; 下面给出一些关键词的否定: 正面 语词 否定 或 等 于 不 等 于 大于 小于 是 都是 至少一个 一个也 没有 至多 一个 至少 两个



不大于 不小于 (小于等于) (大于等于)

不是

不都是

四、课堂小结,巩固反思 本节课讨论了简单命题与复合命题的构成,以及逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。需要注意的是否命题的 、 、 关键词的否定是问题的核心。 五、布置作业 A 组: 1、 (课本 P18 习题 1.3 A 组 NO:1) 2、 (课本 P18 习题 1.3 A 组 NO:2) 3、 (课本 P18 习题 1.3 A 组 NO:3) B 组: 1.命题“方程 x2=2 的解是 x=± 2 是(B ) A.简单命题 B.含“或”的复合命题 C.含“且”的复合命题 D.含“非”的复合命题

2.用“或”“且”“非”填空,使命题成为真命题: (1)x∈A∪B,则 x∈A__________x∈B;(答:或) (2)x∈A∩B,则 x∈A__________x∈B;(答:且) (3)a、b∈R,a>0__________b>0,则 ab>0. (答:且) 3.把下列写法改写成复合命题“p 或 q”“p 且 q”或“非 p”的形式: (1)(a-2)(a+2)=0; (2) ?

?x ? 1 ; (3)a>b≥0. ?y ? 2

解:(1)p:a-2=0 或 q:a+2=0; (2)p:x=1 且 q: y=2 (3)p:a>b 且 q:b≥0 4.已知命题 p:a∈A,q:a∈B,试写出命题“p 或 q”“p 且 q”“┐p”的形式. 解: 命题“p 或 q”:a∈A 或 a∈B. “p 且 q”:a∈A 且 a∈B. “┐p”:a ? A 5.用否定形式填空: (1)a>0 或 b≤0; (2)三条直线两两相交 (3)A 是 B 的子集.___________________ (4)a,b 都是正数.___________________ (5)x 是自然数.___________________(在 Z 内考虑) 解:(1)a≤0 且 b>0
4

(2)三条直线中至少有两条不相交 (3)A 不是 B 的子集 (4)a,b 不都是正数 (5)x 是负整数. 6.在一次模拟打飞机的游戏中,小李接连射击了两次,设命题 p1是“第一次射击中飞机”,命题 p2是“第二次射击 ┐ 中飞机”试用 p1、p2以及逻辑联结词或、且、非(∨,∧, )表示下列命题:? 命题 S:两次都击中飞机;? 命题 r:两次都没击中飞机;? 命题 t:恰有一次击中了飞机; 命题 u:至少有一次击中了飞机.? 解:(1) p ? q (2) ? p ? ? q (3) ( p ? ?q) ? (?p ? q) (4) ?(?p ? ?q) C 组: 1、(tb11201303)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 x2+ax+1>0 恒成立,q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根,如果 p 与 q 中有且只有一个为真命题,求实数 a 的取值范围。 (略解:

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