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伯乐教育--第五册第一章--解三角形


纸上得来终觉浅
【基础知识点】 1. 三角形常用公式:A+B+C=π ;S =

绝知此事要躬行

正弦定理、余弦定理
1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B; 2 2 2

2.三角形中的边角不等关系: A>B ? a>b, a+b>c, a-b<c; 3. 【正弦定理】 :

a b c = = =2R(外接圆直径) ; sin A sin B sin C
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

?a ? 2 R sin A ? 正弦定理的变式: ?b ? 2 R sin B ; ?c ? 2 R sin C ?
4.正弦定理应用范围:

①已知两角和任一边,求其他两边及一角. ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角. ③几何作图时,存在多种情况.如已知 a、b 及 A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数. 已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况: (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a

B2

B1

A

B

a=b sin A

b sin A<a<b

a?b

一解 两解 一解 (2)A 为钝角,当 a>b 时有一解. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5. 【余弦定理】 a =b +c -2bccosA.c =a +b -2abcosC.b =a +c -2accosB. 若用三边表示角,余弦定理可以写为



6.余弦定理应用范围: (1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角; (2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边.
1

【习题知识点】
类型题:运用定理判断三角形形状 例题 1 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.

类型题:运用正余弦定理解三角形 解三角形问题中正、余弦定理的选择: (1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角; ②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角; (2)在下述情况下应首先使用正弦定理: ①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角; ②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 在△ABC 中,已知 a ?

例题 2

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

2

类型题:解决与三角形有关的证明计算问题 例题 3 已知 A、B、C 为锐角,tanA=1,tanB=2,tanC=3,求 A+B+C 的值.

类型题:求三角形的面积 o o 例题 4 △ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60 ,∠ADC=150 ,求 AC 的长及△ABC 的面 积.

3

类型题:解决实际问题 例题 5 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进, 问此舰有没有角礁的危险?

【课堂训练题】 填空题
1.在 ?ABC 中,角 A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则边 a : b : c 等于 2.以 4 、 5 、 6 为边长的三角形一定是 3.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则角 A 等于 4.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是
2 2 2 5.在 ?ABC 中,若 a ? b ? bc ? c ,则角 A ? _________.

三角形 (填 锐角 直角 或 钝角)

4

解三角形检测题
一、选择题: 1、在△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于( ) A. 30° B.45° C.60° D.120°

2、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 B. 10 3 ? 1

) D. 10 3

?

?

C. 3 ? 1

3、在△ABC 中,a= 2 3 A.30°

,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于(



B.60°

C.30°或 120° D. 30°或 150°

4、在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ) A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 5、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为( )
2 2 2

A.

?
3

B.

?
6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

6、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形

) D.等腰或直角三角形

7、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( A. ?8,10? B.



? 8, 10?

C.

? 8,10?

D.

? 10,8?

8、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

9、△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围( ) A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ?

4 3 3

D. 2 ? x ?

4 3 3

5

10 、在△ ABC 中,周长为 7.5cm ,且 sinA : sinB : sinC = 4 : 5 : 6, 下列结论:① a : b : c ? 4 : 5 : 6 ②

a : b : c ? 2 : 5 : 6 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm
( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个

④ A: B :C ? 4:5:6

其中成立的个数是

D.3 个

11、在△ABC 中, AB ?

3 , AC ? 1 ,∠A=30°,则△ABC 面积为 (
3 4
C.



A.

3 2

B.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2

12、已知△ABC 的面积为 A.30°

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则∠A 等于 ( 2



B.30°或 150° C.60°

D.60°或 120°

13、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( A.



14

B. 2 14

C. 15

D. 2 15

14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草 皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 a 元,则购买这种草皮至少要 ( ) A. 450a 元 B.225a 元 C. 150a 元 D. 300a 元 B

A 20 米

1500 30 米
C

15、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出 发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去, 当甲, 乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是 ( ) A.

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

16、飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30°,向前飞行 10000 米,到达 B 处,此时测得目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A. 5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 D. 4000 2 米

6

17、在△ABC 中, a ? sin 10 °, b ? sin 50 °,∠C=70°,那么△ABC 的面积为(



1 A. 64

1 B. 32

1 C. 16

1 D. 8

18、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 C.7 D.8



19、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ?



5

D. 13 ? x ? 5

20、在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c



A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三角形

二、填空题 21、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 22、在△ABC 中, a ? 3 3, c ? 2, B ? 150°,则 b= 23、在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= ;b=

, b ? 209, A ? 121°,则此三角形解的情况是 24、已知△ABC 中, a ? 181

25、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径为

.

26、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题 27、在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, C。

20 3 ,5 的情况下,求相应角 3

7

28、在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1) 角 C 的度数; (2)AB 的长度。

29、在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

30、在△ABC 中, a ? b ? 10 ,cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,求△ABC 周长的最小值。
2

31、在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

8


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