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辽宁师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分共 60 分) 1. (5 分)对于非 0 向量 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 2. (5 分)设 A.(﹣4,0)∪(0,4) 1)∪(1,2) D. ,则 ,“ ” 是“ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 的定义域为() B.(﹣4,﹣1)∪(1,4) (﹣4,﹣2)∪(2,4) C. (﹣2,﹣

3. (5 分)设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题正确的是() A.m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n B. m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n C. m⊥α,n?β,m⊥n,则 α⊥β D.m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β

4. (5 分)已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=() A.﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D.﹣1 )的部分图象如图所示,如果

5. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|<

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)=()

A.

B.

C.

D.1

6. (5 分)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最 大值时,n=() A.5 B. 6 C. 5 或 6 D.6 或 7 7. (5 分)设 x,y∈R,且 x+4y=40,则 lgx+lgy 的最大值是() A.40 B.10 C. 4

D.2

8. (5 分)已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=y﹣ax 取得最大值时

的唯一最优解是(1,3) ,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣1) B.(0,1) C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰 直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是()

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

10. (5 分)在等差数列{an}中,a1>0,a10?a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是() A.24 B.48 C.60 D.84 11. (5 分)已知:x>0,y>0,且 是() A.(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞) D.(﹣4,2)
3

,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围

2

B.(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞)

C. (﹣2,4)

12. (5 分)设函数 f(x)= 取值范围是() A.[﹣2,2]

x+

x +tanθ,其中 θ∈[0,

2

],则导数 f′(1)的

B. [



]

C. [

,2]

D.[

,2]

二.填空题(每题 5 分共 20 分) 13. (5 分)函数 y=sin2x+2sin x 的最小正周期 T 为. 14. (5 分)等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m=. 15. (5 分)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为.
2 2

16. (5 分)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的取值范围是.

三.解答题 17. (10 分)设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 18. (12 分)已知向量 =( (Ⅰ)若 ? =1,求 cos( sin ,1) , =(cos ,cos ﹣x)的值;
2 2

) .

(Ⅱ) 记( f x) = ? , 在△ ABC 中, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且满足 (2a﹣c) cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. 19. (12 分)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N ) ,求{bn}的通项公式 bn. 20. (12 分)21、设 论. 21. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD. 的大小,并证明你的结

22. (12 分)已知函数 f(x)=kx, (1)求函数 的单调递增区间;

(2)若不等式 f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证: .

辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分共 60 分) 1. (5 分)对于非 0 向量 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 ,“ ” 是“ ”的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 向量的共线定理;充要条件. 专题: 常规题型. 分析: 利用向量垂直的充要条件,得到由前者推出后者;通过举反例得到后者推不出前者; 利用充要条件的定义得到选项. 解答: 解:∵ 反之,推不出,例如 所以 是 ? ? 满足两个向量平行但得到 的充分不必要条件

故选 A 点评: 本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考 查条件判断条件的方法. 2. (5 分)设 A.(﹣4,0)∪(0,4) 1)∪(1,2) D. ,则 的定义域为() B.(﹣4,﹣1)∪(1,4) (﹣4,﹣2)∪(2,4) C. (﹣2,﹣

考点: 对数的运算性质. 分析: 根据对数函数的真数大于 0 且分式中的分母不为 0 可得 f(x)的定义域,再由 f(x) 中的 x、f( )中的 、f( )的 满足的条件相同求出 x 的取值答案. 解答: 解:由题意知, 故:﹣2< <2 且﹣2< <2 解得﹣4<x<﹣1 或 1<x<4 >0,∴f(x)的定义域是(﹣2,2) ,

故选 B. 点评: 本题主要靠求对数函数定义域的问题.这里注意对数函数的真数一定要大于 0,分式 中分母不为 0. 3. (5 分)设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题正确的是() A.m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n B. m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n C. m⊥α,n?β,m⊥n,则 α⊥β D.m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β 考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: 对于 A、由面面平行的判定定理,得 A 是假命题 对于 B、由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,可知 m 与 n 不平行,借助于直线平移先得到一个与 m 或 n 都平行的平面, 则所得平面与 α、β 都相交,根据 m 与 n 所成角与二面角平面角互补的结论. 对于 C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理,判断正误即可; 对于 D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可. 解答: 解:对于 A,若 m∥α,n∥β 且 α∥β,说明 m、n 是分别在平行平面内的直线,它们 的位置关系应该是平行或异面,故 A 错; 对于 B,由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行,否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾, 通过平移使得 m 与 n 相交, 且设 m 与 n 确定的平面为 γ, 则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角, 因为 α⊥β, 所以 m 与 n 所成的角为 90°, 故命题 B 正确. 对于 C,根据面面垂直的性质,可知 m⊥α,n?β,m⊥n,∴n∥α,∴α∥β 也可能 α∩β=l,也 可能 α⊥β,故 C 不正确; 对于 D,若“m?α,n?α,m∥β,n∥β”,则“α∥β”也可能 α∩β=l,所以 D 不成立. 故选 B. 点评: 本题考查直线与平面平行与垂直,面面垂直的性质和判断的应用,考查逻辑推理能 力,基本知识的应用题目.

4. (5 分)已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=() A.﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D.﹣1

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ =(2λ+3,3) , , =0, , . .

∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3. 故选 B. 点评: 熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 5. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,如果

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)=()

A.

B.

C.

D.1

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的对称性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相, 得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 解答: 解:由图知,T=2× ∴ω=2,因为函数的图象经过(﹣ ∵ ∴ 所以 ,所以 ?= , , . , =π, ) ,0=sin(﹣ +?)

故选 C. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,函数的对称性,考查计算 能力. 6. (5 分)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最 大值时,n=() A.5 B. 6 C. 5 或 6 D.6 或 7 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 S6=5a1+10d, 可得 a6=0,根据数列{an}是公差 d<0 的等差数列, 即可得出结论. 解答: 解:∵S6=5a1+10d, ∴6a1+15d=5a1+10d 得到 a1+5d=0 即 a6=0, ∵数列{an}是公差 d<0 的等差数列, ∴n=5 或 6,Sn 取最大值.

故选:C. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查等差数列的通项与求和,比较基础. 7. (5 分)设 x,y∈R,且 x+4y=40,则 lgx+lgy 的最大值是() A.40 B.10 C. 4 考点: 专题: 分析: 解答: ∴40 基本不等式;对数的运算性质. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出. 解:∵x>0,y>0,x+4y=40, ,化为 xy≤100,当且仅当 x=4y= ,即 x=20,y=5 时取等号,

D.2

∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2. 故选 D. 点评: 熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键.

8. (5 分)已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=y﹣ax 取得最大值时

的唯一最优解是(1,3) ,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣1) B.(0,1) C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=y﹣ax 化为 y=ax+z,z 相当于直线 y=ax+z 的纵截距, 由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=y﹣ax 化为 y=ax+z,z 相当于直线 y=ax+z 的纵截距, 则由图可知,若使目标函数 z=y﹣ax 取得最大值时的唯一最优解是 B(1,3) , 则 a>1, 故选 D. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰 直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是()

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

考点: 球内接多面体;由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 该几何体的直观图如图所示, 它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,故可求结论. 解答: 解:由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 4, 该几何体的所有顶点在同一球面上, 则球的直径为 ,即球的半径为 , 所以该球的表面积是 故选 D. .

点评: 本题考查三视图与直观图的关系,考查空间想象能力,考查学生的计算能力. 10. (5 分)在等差数列{an}中,a1>0,a10?a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是() A.24 B.48 C.60 D.84 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 计算题. 根据已知条件,求出其正负转折项,然后再求数列{|an|}的前 18 项和. 解:∵a1>0,a10?a11<0,

∴d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣(S18﹣S10)=60. 故选 C. 点评: 求数列{|an|}的前 n 项和,关键是求出其正负转折项,然后转化成等差数列求和. 11. (5 分)已知:x>0,y>0,且 是() A.(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞) D.(﹣4,2) ,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围
2

B.(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞)

C. (﹣2,4)

考点: 基本不等式;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 2 2 分析: x+2y>m +2m 恒成立,即 m +2m<x+2y 恒成立,只需求得 x+2y 的最小值即可. 解答: 解:∵x>0,y>0,且 ∴x+2y=(x+2y) ( )=2+ , + +2≥8(当且仅当 x=4,y=2 时取到等号) .

∴(x+2y)min=8. 2 2 ∴x+2y>m +2m 恒成立,即 m +2m<(x+2y)min=8, 解得:﹣4<m<2. 故选 D. 点评: 本题考查基本不等式与函数恒成立问题,将问题转化为求 x+2y 的最小值是关键,考 查学生分析转化与应用基本不等式的能力,属于中档题.
3 2

12. (5 分)设函数 f(x)= 取值范围是() A.[﹣2,2]

x+

x +tanθ,其中 θ∈[0,

],则导数 f′(1)的

B. [



]

C. [

,2]

D.[

,2]

考点: 导数的运算. 专题: 压轴题. 分析: 利用基本求导公式先求出 f′(x) ,然后令 x=1,求出 f′(1)的表达式,从而转化为三 角函数求值域问题,求解即可. 2 解答: 解:∵f′(x)=sinθ?x + cosθ?x, ∴f′(1)=sinθ+ ∵θ∈[0, ∴θ+ ∈[ ], , )∈[ ]. ,1]. cosθ=2sin(θ+ ) .

∴sin(θ+

∴2sin(θ+

)∈[

,2].

故选 D. 点评: 本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题,熟记公式是解题的关键. 二.填空题(每题 5 分共 20 分) 13. (5 分)函数 y=sin2x+2sin x 的最小正周期 T 为 π. 考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: 函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化 为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出最小正周期 T. 解答: 解:函数 y=sin2x+2sin x=sin2x+1﹣cos2x=
2 2

sin(2x﹣

)+1,

∵ω=2, ∴T=π. 故答案为:π 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 14. (5 分)等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m=10. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质 an﹣1+an+1=2an,我们易求出 am 的值,再根据 am 为等差数列{an} 的前 2m﹣1 项的中间项(平均项) ,我们可以构造一个关于 m 的方程,解方程即可得到 m 的 值. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列,∴an﹣1+an+1=2an, 2 2 ∵am﹣1+am+1﹣am =0,∴2am﹣am =0 解得:am=2, 又∵S2m﹣1=(2m﹣1)am=38,解得 m=10 故答案为 10. 点评: 本题考查差数列的性质, 关键利用等差数列项的性质: 当 m+n=p+q 时, am+an=ap+aq, 同时利用了等差数列的前 n 和公式. 15. (5 分)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为 6. 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由于要求 x+3y 的最小值,故在解题时注意把 x+3y 看为一个整体,需将已知方程中 的 xy 利用基本不等式转化为 x+3y 的形式. 解答: 解:由于 x>0,y>0,x+3y+xy=9, 则 9﹣(x+3y)=xy= ,
2

当且仅当 x=3y 时,取“=” 则此时 , ,

由于 x>0,y>0,解得

故 x+3y=6 故答案为 6. 点评: 本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题,属于基础题,可以训练答题者灵活 变形及选用知识的能力.

16. (5 分)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的取值范围是 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 , 是单位向量, ? =0.可设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) .由向量 满 足| ﹣ ﹣ |=1,可得(x﹣1) +(y﹣1) =1.其圆心 C(1,1) ,半径 r=1.利用|OC|﹣ r≤| |= ≤|OC|+r 即可得出.
2 2

解答: 解:由 , 是单位向量, ? =0. 可设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) . ∵向量 满足| ﹣ ﹣ |=1, ∴|(x﹣1,y﹣1)|=1, ∴ ∴|OC|= ∴ . ≤| |= . . =1,即(x﹣1) +(y﹣1) =1.其圆心 C(1,1) ,半径 r=1.
2 2

∴| |的取值范围是

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离 大小关系,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 三.解答题 2 17. (10 分)设函数 f(x)=mx ﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 f(x)<0 恒成立,则 m=0 或 合讨论结果,可得答案. (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,则 恒成立,结合二次函数的图象和性质分类讨论,综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)当 m=0 时,f(x)=﹣1<0 恒成立, 当 m≠0 时,若 f(x)<0 恒成立, 则 解得﹣4<m<0 综上所述 m 的取值范围为(﹣4,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)要 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立, 即 令 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 当 m>0 时,g(x)是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m﹣6<0, 解得 .所以 恒成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,分别求出 m 的范围后,综

当 m=0 时,﹣6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)是减函数. 所以 g(x)max=g(1)=m﹣6<0, 解得 m<6. 所以 m<0. 综上所述, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,其中将恒成立问题转化为最值 问题是解答此类问题的关键.
2

18. (12 分)已知向量 =( (Ⅰ)若 ? =1,求 cos(

sin ,1) , =(cos ,cos ﹣x)的值;

) .

(Ⅱ) 记( f x) = ? , 在△ ABC 中, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且满足 (2a﹣c) cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. 考点: 数量积的坐标表达式;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的数量积公式列出方程求出 ,利用二倍角的余弦公式

求出要求的式子的值. (2)利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值,利用三角形的内角和为 180° 化简等式,求出角 B,求出角 A 的范围,求出三角函数值的范围. 解答: 解: (1) ∵ ∴ ∵

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA ∵sinA>0 ∴cosB= ∵B∈(0,π) , ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 点评: 本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为 180°、 考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围. 19. (12 分)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N ) ,求{bn}的通项公式 bn. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等比数列的公比,直接利用 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项列式求出公比,则 等比数列的通项公式可求; (2)当 n=1 时由递推式求出 b1,模仿递推式写出 n=n﹣1 时的递推式,作差后代入 an 即可求 出 bn. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项得: 2a2=a1+a3﹣1,∴ ∴2q=q ,∵q≠0,∴q=2, ∴ ;
2



(2)n=1 时,由 b1+2b2+3b3+…+nbn=an,得 b1=a1=1. n≥2 时,由 b1+2b2+3b3+…+nbn=an ① b1+2b2+3b3+…+(n﹣1)bn﹣1=an﹣1② ①﹣②得: , .





点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查了数列的递推式,解答的关键是想 到错位相减,是基础题.

20. (12 分)21、设 论. 考点: 对数的运算性质;对数值大小的比较. 专题: 压轴题. 分析: 先判断 与

的大小,并证明你的结

的大小,再由对数函数的单调性可得到答案. ,当且仅当 t=1 时取“=”号

解答: 解:当 t>0 时,由基本不等式可得 ∴ t≠1 时,

当 0<a<1 时,y=logax 是单调减函数,∴ 当 a>1 时,y=logax 是单调增函数,∴ >

,即 ,即 >

点评: 本题主要考查对数函数的单调性,即当底数大于 1 时函数单调递增,当底数大于 0 小于 1 时函数单调递减. 21. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据条件,利用平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)根据已知条件判断 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD,再利用直线和平面平行的判 定定理证得 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)先证明 ABED 为矩形,可得 BE⊥CD ①.现证 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥PD,再由 三角形中位线的性质可得 EF∥PD, 从而证得 CD⊥EF ②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD⊥平面 BEF,再 由平面和平面垂直的判定定理 证得平面 BEF⊥平面 PCD. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,由平 面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,故四边形 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD. 又 AD?平面 PAD,BE 不在平面 PAD 内,故有 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)平行四边形 ABED 中,由 AB⊥AD 可得,ABED 为矩形,故有 BE⊥CD ①. 由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AB,再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD,

∴CD⊥平面 PAD,故有 CD⊥PD. 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点,可得 EF∥PD, ∴CD⊥EF ②. 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线,故有 CD⊥平面 BEF. 由于 CD?平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. 点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理,直线和平面平行的判定定理,平面和平 面垂直的判定定理、性质定理的应用,属于中档题.

22. (12 分)已知函数 f(x)=kx, (1)求函数 的单调递增区间;

(2)若不等式 f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证: .

考点: 不等式的证明;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由 g'(x)>0,解得 x 的范围,就是函数的增区间. (2)问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大值,利用导数求得函数 h(x)有最大值,且最大 值为 ,得到 k≥ < , 用放缩法证明 <1,即得要证的不等式. . (x≥2) ,得 <

(3)先判断

解答: 解: (1)∵ <e, 故函数 (2)由 值. 又 ,令

(x>0) ,∴

,令 g'(x)>0,得 0<x

的单调递增区间为(0,e) . ,则问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大



当 x 在区间(0,+∞)内变化时,h'(x) 、h(x)变化情况如下表: x (0, ) ( ,+∞) h'(x) + 0 ﹣

h(x) 由表知当 (3)由 ∴ 又∵ 1﹣ + ∴ + ≤



↘ ,因此 k≥ .

时,函数 h(x)有最大值,且最大值为 ,∴ < < < +…+ < =1﹣ <1, . (x≥2) ,

. =

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,求函数极值,用放缩法证明不等式,放缩不 等式是解题的难点.


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