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必修一上函数性质单调性奇偶性题型


第 3 讲 函数性质
一、函数的单调性
1.增函数、减函数定义 设函数 y ? f ( x) 的定义域为集合 I : 增函数定义 如果对于属于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 、 x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说在 f ( x) 这个区间 D 上是增函数; 减函数定义 如果对于属于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 、 x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间 D 上是减函数. 2.单调函数、单调区间定义 如果函数 y ? f ( x) 在区间 D 是增函数或减函数, 那么就说函数 y ? f ( x) 这一区间具有 (严格的) 单调性, 区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间. 3.增函数、减函数的等价定义 任取 x1 , x2 ? [a, b] ,则 『等价定义 1』
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是减函数. x1 ? x2

『等价定义 2』 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是增函数; ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是减函数. 4.对单调性概念的理解: (1)函数的单调性只能在定义域内讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个区间. (2)有些函数在其定义域内不具有单调性,如 y ? x?1 , y ? x 2 ; 有些函数在其整个定义域内都具有单调性,如 y ? x , y ? x 3 ; (3)当函数在闭区间上单调时,区间包不包括端点都可以,但习惯上写成闭区间的形式;因为对于单独的一 点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以区间端点处不具有单调性; (4)函数单调性定义中的 x1 、 x 2 应取自同一单调区间且具有任意性; (5)在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的; 5.定义法证明函数单调性的步骤 ①任取…,②作差、变形(一般是因式分解、配方、分子或分母有理化) ,③判断符号,④结论. 6.复合函数分析法 设错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。都是单调函数, 则错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外” 函数增减性相同,复合函数为增函数, “里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表: 题型一:求函数的单调区间,常用以下四种方法。 1.定义法 【例1】 试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

2x 在区间 (0 , 1) 上的单调性. x ?1

【例2】 证明函数 y ? x3 在定义域上是增函数.
第 1 页 共 1 页

【例3】 根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x) ? ? x3 ? 1在 (?? , ? ? ) 上是减函数.

【例4】 证明函数 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数.

【例5】 讨论函数 f ( x) ?

x (?1 ? x ? 1) 的单调性. x2 ? 1

【例6】 求函数 f(x)=x+

1 的单调区间。 x

a 【例7】 求证:函数 f ( x) ? x ? (a ? 0) 在 ( a , ??) 上是增函数 x

【例8】 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+ 单调性,并证明你的结论。

1 ,讨论 F (x)的 f ( x)

【例9】 已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) .且当 x >0 时, f ( x) ? 0 ,试判断 f ( x) 的单 调性,并说明理由.

第 2 页 共 2 页

【例10】 已知给定函数 f ( x) 对于任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) 〃 f ( y ) ,且 f ( x) ≠0,当 x ? 1 时, f ( x ) ? 1 .试 判断 f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性,并说明理由.

2.图象法 【例11】 如图是定义在区间 [?5, 5] 上的函数 y ? f ( x) ,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它 是增函数还是减函数?
y
3 2 -2 -5 -4 -3 -1 O 1 -1 -2 1 2 3 4 5 x

y=f (x)

【例12】 求函数 y ? 1 ? 2x ? 2 ? x 的单调减区间

【例13】 求下列函数的单调区间: ⑴ y ?| x ? 1| ;⑵ y ? x ?

1 ( x?0) . x

【例14】 求下列函数的单调区间: ⑴ y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ;⑵ y ? ? x2 ? 2 | x | ?3

【例15】 作出函数 y ?| x2 ? x | 的图象,并结合图象写出它的单调区间.

第 3 页 共 3 页

【例16】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3|

3.求复合函数的单调区间 【例17】 求函数 y ?

1 的单调区间. x ?x?2
2

【例18】 讨论函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的单调性.

题型二:利用单调性求函数中参数的取值范围 【例19】 设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2

【例20】 函数 y ? x2 ? bx ? c( x ?[0, ??) )是单调函数的充要条件是( A. b ? 0 【例21】 已知 f ( x) ?
1) A. (0 ,

) D. b ? 0

B. b ? 0

C. b ? 0

a ? (a x ? a? x ) ( a ? 0 且 a ≠1 )是 R 上的增函数.则实数 a 的取值范围是( a ?2
2

) .

1) B. (0 ,

?

2 ,? ?

C.

?

2 ,? ?

?

1) D. (0 ,

? ?

? 2 ,? ? ?

第 4 页 共 4 页

题型三:函数的单调性与方程、不等式 【例22】 已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是( ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

【例23】 若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0 ,3) 和点 B(3 ,? 1) ,则不等式 | f ( x ? 1) ? 1|? 2 的解集 为( ) . 3) A. (?? , B. (?? ,2)
3) C. (0 ,

D. (?1 ,2)

【例24】 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

【例25】 设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调增函数,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 求: (1)f(1) ; (2)当 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 时 x 的取值范围.

x 【例26】 已知 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y) . y ⑴求证: f (1) ? 0 , f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ;
⑵若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f (

1 )?2. x?3

【例27】 设 n ? 1 , f ( x) 是定义在有限集合 A ? ?1, 2, 3,

, n? 上的单调递增函数,且对任何 x , y ? A ,有

f ( x) ( ? f ( x) f ( y) .那么, f ( y)


第 5 页 共 5 页

A. n ? 2

B. n ? 3

C. n ? 4

D. n ≥ 5

题型四:函数的最值 【例28】 求函数 f ( x) ? x ?

1 , x ? 0 的最小值. x

【例29】 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最小值.

【例30】 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最值.

二、函数的奇偶性 1.奇函数定义 如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫奇函数. 2.偶函数定义 如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫偶函数. 3.函数的奇偶性定义 如果一个函数是奇函数或偶函数,则称这个函数在其定义域内具有奇偶性. 注: (1)函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. (2)奇函数、偶函数定义域关于原点对称. (3)定义域关于原点对称是函数 f ( x) 为奇函数或偶函数的必要不充分条件. 4.判断函数奇偶性的步骤 先看函数的定义域是否关于原点对称; 在定义域关于原点对称的条件下, 再根据 f ( ? x ) 与 f ( x) 的关系做出判断, 为了便于判断,有时需要将函数进行化简. 5.判断函数奇偶性的方法 (1)奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法. (2)为了便于判断,有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式:
f (? x) ? f ( x) ? 0 ? 函数为奇函数;

f (? x) ? ?1 ? 函数为奇函数( f ( x ) ? 0 ) ; f (? x) ? f ( x) ? 0 ? 函数为偶函数; f ( x)

f (? x) ? 1 ? 函数为偶函数( f ( x ) ? 0 ) . f ( x)

(3)根据函数图像的对称性判断奇偶性: 图像关于原点对称的函数是奇函数,图像关于 y 轴对称的函数是偶函数. (4)利用基本函数的奇偶性结论判断(具体内容见后面附录二) . (5)由任意一个定义域关于原点对称的函数 f ( x) ,均可构造出
第 6 页 共 6 页

一个奇函数 g ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 、一个偶函数 h( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 . (6)利用以下结论判断奇偶性: 奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇,偶函数 ×偶函数=偶函数等. 5.有关函数奇偶性的结论 (1)奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性(如果具有单调性) (2)偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性(如果具有单调性) (3)若奇函数 f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . (4)若 f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 定义域关于原点对称,则函数 f ( x) 既是奇函数,又是偶函数.

典例分析
题型一:判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义,而在某些情况下判断 f(x) ? f(-x)是否为 0 是判断函数奇偶性的一个重要 技巧,比较便于判断. 【例1】 判断下列函数的奇偶性: 1 ⑴ y? ; x ⑵ y ? x4 ? x2 ? 2 ; ⑶ y ? x3 ? x ; ⑷ y ? x3 ? 1 .

【例2】 判断下列函数的奇偶性: ⑴ f ( x) ? x 4 ; ⑵ f ( x) ? x 5 ; ⑶ f ( x) ? x ?

1 1 ; ⑷ f ( x) ? 2 . x x

【例3】 判断下列根式函数的奇偶性并说明理由: (1) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x 1? x

(2) f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ;

(3)f(x)=

x 2 ? 1 ? x-1 x 2 ? 1 ? x+1
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【例4】 判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x2 ? 5 | x | ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x 2 ? x3 .

【例5】 判断函数 f(x)=

x 2 ? 1 ? x-1 x 2 ? 1 ? x+1

的奇偶性.

2.由函数奇偶性的定义,有下面的结论: 在公共定义域内 (1)两个偶函数之和(积)为偶函数; (2)两个奇函数之和为奇函数;两个奇函数之积为偶函数; (3)一个奇函数和偶函数之积为奇函数.

【例6】 若函数 f(x)= (x ? x) g(x)是偶函数,且 f(x)不恒为零,判断函数 g(x)的奇偶性.
3

【例7】 函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有相同的定义域,对定义域中任何 x ,有 f ( x) ? f (? x) ? 0 , g ( x) g (? x) ? 1 ,则

2 f ( x) ? f ( x) 是( g ( x) ? 1 A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 F ( x) ?

) B.偶函数 D.非奇非偶函数

题型二:求解析式与函数值 1.利用函数奇偶性可求函数解析式.

第 8 页 共 8 页

【例8】 设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ?) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (?? , 0) 时, f ( x) =_________.

【例9】 已知偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x≥0 时,f(x)= x 2 ? 3x-1 ,求 f(x)的解析式. 设 x<0,则-x>0

【例10】 已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x) .求函数 f ( x) 的解析式.

【例11】 已知函数 f ( x) ? (m2 ? 1) x2 ? (m ? 1) x ? n ? 2 ,当 m, n 为何值时, f ( x) 是奇函数?

【例12】 已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.

【例13】 已知 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式.

【例14】 y ? f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,当 x ≤1 时, f ( x) ? x2 ? 1 ,求当 x ? 1 时 f ( x) 的表达式.

【例15】 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,且 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a, b, c 的值. bx ? c

第 9 页 共 9 页

2.对于函数奇偶性有如下结论:定义域关于原点对称的任意一个函数 f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函 数之和. 即 f(x)=

1 [F(x)+G(x)] 其中 F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)-f(-x) 2

利用这一结论,可以简捷的解决一些问题.

x2 ? x 【例16】 定义在 R 上的函数 f(x)= 2 ,可表示成一个偶函数 g(x)和一个奇函数 h(x)之和,求 g(x),h(x). x ?1
【例17】 已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数并且 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,则求 f ( x) 与 g ( x) 的表达式.

【例18】 已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

3.利用函数奇偶性求函数值 【例19】 已知 f(x) ? x 2 ? ax3 ? bx ? 8且f (?2) ? 10,. 求 f(2).

【例20】 ⑴ 若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) =__________; ⑵若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (3) ? 2 , 且对一切实数 x 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) , 则 f (25) =__________; ⑶设函数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0 )对任意非零实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 y ? f ( x) 是 ___________(指明函数的奇偶性) 【例21】 已知函数 f ( x) ? ?2 x3 ? x . 若 x1 、x 2 、x3 ? R 且 x1 ? x2 ? 0 ,x2 ? x3 ? 0 ,x3 ? x1 ? 0 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ( ) . A.大于零

B.小于零

C.等于零

D.大于零或小于零

x 3 ? | x | ?2 x 2 ? x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M 与 m 满足( ) . 2x2 ? | x | A. M ? m ? 2 B. M ? m ? 4 C. M ? m ? 2 D. M ? m ? 4 【例23】 函数 f ( x) 在 R 上有定义, 且满足① f ( x) 是偶函数; ② f (0) ? 2005 ; ③ g ( x) ? f ( x ? 1) 是奇函数; 求 f (2005)

【例22】 设函数 f ( x) ?

的值. 题型三:奇偶性与对称性的其他应用 1.奇偶性与单调性
第 10 页 共 10 页

【例24】 已知函数 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数还是减函数并证明你 的判断.对奇函数有没有相应的结论.

【例25】 已 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 是 减 函 数 , 实 数 a 满 足 不 等 式
f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围.

【例26】 已知 y ? f ( x) 为 (??,? ?) 上的奇函数,且在 (0,? ?) 上是增函数. 求证: y ? f ( x) 在 ( ??,0) 上也是增函数;

【例27】 已知函数 f ( x) ,当 x, y ? R 时恒有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) . ①求证:函数 f ( x) 是奇函数; ②若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (24) . ③如果 x ? R ? 时 f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? ?0.5 . 试判断 f ( x) 的单调性,并求它在区间 [ ?2, 6] 上的最大值与最小值.

【例28】 设函数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0) 对任意非零实数 x1 , x2 ,恒有 f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ⑴求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; ⑵求证: y ? f ( x) 是偶函数;

1 ⑶已知 y ? f ( x) 为 (0 , ?? ) 上的增函数,求适合 f ( x) ? f ( x ? ) ? 0 的 x 的取值范围. 2

? a2 b ? b 【例29】 知 f ( x) , g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? 0 的解集是 (a 2 , b) , g ( x) ? 0 的解集是 ? , ? , ? a 2 ,那么求 2 2 2 ? ?
f ( x) g ( x) ? 0 的解集.

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