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2016届高考数学大一轮复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理的应用举例课件 文 新人教版


第七节

正弦定理、余弦定理的应用举例

考纲要求:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

[基础真题体验] 考查角度[ 正余弦定理的实际应用] 1.(2014· 四川高考)如图 371,从气球 A 上测得正前方 的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此时气球的高 是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 371

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

【解析】 如图,在△ACD 中,∠CAD=90° -30° =60° , AD=60 m,所以 CD=AD· tan 60° =60 3(m). 在△ABD 中,∠ BAD= 90° - 75° =15° ,所以 BD=AD· tan 15° = 60(2- 3)(m). 所 以 BC = CD - BD = 60 3 - 60(2 - 3 ) = 120( 3 - 1)(m).

【答案】 C

2.(2014· 课标全国卷Ⅰ)如图 372,为测量山高 MN,

图 372

选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60° , C 点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC =75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山 高 MN=________m.

【解析】 根据图示,AC=100 2 m. 在△MAC 中,∠CMA=180° -75° -60° =45° . AC AM 由正弦定理得 = ?AM=100 3 m. sin 45° sin 60° MN 3 在△ AMN 中 , = sin 60° , ∴ MN = 100 3 × = AM 2 150(m).

【答案】 150

[ 命题规律预测] 从近几年高考试题看, 对正弦定理、 余弦定理 命题 规律 的实际应用问题考查较少,但呈考频回升趋 势, 考查时以实际为背景, 能较好地检验学生 的阅读理解、 分析问题和解决问题的能力. 题 型多样,难度中档. 考向 预测 预测 2016 年高考对正、余弦定理的实际应用 问题的考查会再度升温, 将会与函数、 立体几 何等知识综合命题,因此应积极备考.

考向一测量距离问题 [典例剖析] 【例 1】 要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C,D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° , ∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A,B 之间的距离.

【思路点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中, 再利用正、余弦定理解三角形.

【解】 如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . 3sin 75° 6+ 2 ∴BC= = . sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB =( 3)
2 2

? +? ? ?

6+ 2 6+ 2? ?2 -2× 3× ×cos 75° 2 2 ? ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A,B 之间的距离为 5 km.

研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的 辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边 长问题,从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题 角度有: (1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.

[对点练习] 如图 373 所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者 在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法 在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借 助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正 弦定理就可以求出 AB.

图 373

若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点间的距离为________.

【解析】 ∠ABC=180° -75° -45° =60° ,由正弦定理 AB AC AC· sin C 60×sin 45° 得, = ,∴AB= = =20 6 m, sin C sin B sin B sin 60° 即 A,B 两点间的距离为 20 6 m.
【答案】 20 6 m

考向二测量高度问题 [典例剖析] 【例 2】 如图 374 所示,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60° 的方向以每小时 6 千 米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东 北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° .

图 374

(1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 几分钟; (2)求塔的高 AB.

【思路点拨】 在 Rt△ABE 中,塔高 AB 不变,确定出 α 取最大值时点 E 的位置,其他问题可通过解三角形解决.

【解】

(1)依题意知,在△DBC 中,∠BCD=30° ,∠

1 DBC=180° -∠DBF=180° -45° =135° ,CD=6 000× = 60 100(米),∠D=180° -135° -30° =15° , CD BC 由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠D CD· sin∠D 100×sin 15° ∴BC= = sin 135° sin∠DBC 6- 2 100× 50? 6- 2? 4 = = 2 2 2 =50( 3-1)(米).

AB 在 Rt△ABE 中,tan α= . BE ∵AB 为定长, ∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE⊥CD, 当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中, 3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)× 2 =25(3- 3)(米).

设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时, 走了 t 分 钟, 25?3- 3? 3- 3 EC 则 t= ×60= ×60= (分钟). 6 000 6 000 4

(2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCD, ∴AB=BE· tan 60° =BC· sin∠BCD· tan 60° 1 =50( 3-1)× × 3=25(3- 3)(米). 2 即所求塔高 AB 为 25(3- 3)米.

求解高度问题的三个关注点: (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅 垂面上所成的角)、 方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关 键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面 (地面)同时研 究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面 图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.

[对点练习] 某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶 D 到其正上方 A 点的距离,他站在地面 C 处,利用皮尺量得 BC=9 米, 利用测角仪器得仰角∠ACB=45° , 测得仰角∠BCD 26 后通过计算得到 sin∠ACD= ,则 AD 的距离为( 26 )

图 375 A.2 米 B.2.5 米 C.3 米 D.4 米

【解析】 设 AD=x, 则 BD=9-x, CD= 92+?9-x?2, CD AD 在△ACD 中应用正弦定理得 = , sin∠DAC sin∠ACD 92+?9-x?2 x 即 = , 2 26 2 26 所以 2[92+(9-x)2] =26x2,即 81+81-18x+x2=13x2, 所以 2x2+3x-27=0, 即(2x+9)(x-3)=0,所以 x=3(米).

【答案】 C

考向三测量角度问题 [典例剖析] 【例 3】 在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向、距离 A 处 ( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向、 距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船?最少要花多少时间?

【思路点拨】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 确定出三角形,先利用余弦定理求出 BC,再利用正弦定理求 出时间.

【解】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD =10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° . 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 AC 2 3 2 sin∠ABC= sin∠BAC= × = , BC 2 6 2 得∠ABC=45° ,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° .

在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t CD BC 10 3t 得∠BCD=30° ,又 = ,即 = 6, sin 120° sin 30° 3 6 得 t= . 10

所以当缉私船沿东偏北 30° 的方向能最快追上走私船, 最 6 少要花 小时. 10

测量角度问题的一般步骤: (1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并 在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解.

[对点练习] 如图 376 所示,甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千 米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时,乙船自 B 出发

图 376

以每小时 6 千米的速度向北偏东 60° 的方向驶去. 当甲乙 两船相距最近时,他们所航行的时间是( 150 A. 分钟 7 C.21.5 分钟 )

15 B. 小时 7 D.2.15 小时

【解析】 设 x 小时后,甲船到达 C,乙船到达 D 处. ∴BC=10-4x,BD=6x,又∠CBD=120° . ∴CD2=(10-4x)2+(6x)2-2×6x×(10-4x)×cos 120° =28x2-20x+100. 20 5 ∴当 x= = 小时时,甲乙最近. 2×28 14 5 150 ∵ 小时= 分钟,故选 A. 14 7

【答案】 A

思想方法 8 三角应用题中的最值的求解策略——函数 思想 在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段, 就是通过引入变量,寻找已知与未知之间的等量关系,构造 函数,然后借函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情 况,这就是函数思想.

[典例剖析] 【典例】 如图 377,游客从某旅游景区的景点 A 处下 山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种 是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有 甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.

图 377

假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长 12 3 为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长. (2)问: 乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

【解】

12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5

5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A +C)] =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC AC 1 260 4 由正弦定理 = , 得 AB= · sin C= × = sin C sin B sin B 63 5 65 1 040(m). 所以索道 AB 的长为 1 040 m.

(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时, 甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理 12 得 d = (100 + 50t) + (130t) - 2×130t×(100 + 50t)× = 13
2 2 2

200(37t2-70t+50). 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37

BC AC AC 1 260 (3)由正弦定理 = ,得 BC= · sin A= sin A sin B sin B 63 65 5 × =500(m). 13 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需 走 710 m 才能到达 C.

500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得- 3≤ v - 50 1 250 625 ≤3,解得 ≤v≤ ,所以为使两位游客在 C 处互相等 43 14 待的时间不超过 3
?1 250 625? ? , min,乙步行的速度应控制在? ? 43 14 ? ? ?

(单位:m/min)范围内.

[对点练习] 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行 的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与 该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时 的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度 的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇, 试确定小艇航行速度的最小值.

【解】 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400 =
? 1? ? 2 900?t-3? ? +300, ? ?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3, 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行, 相遇时小艇的航行 距离最小.

(2)设小艇与轮船在 B 处相遇,如图所示. 由题意可得:(vt)2=202+(30t)2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ),化 简得:
?1 3? 400 600 ?2 - v = 2 - + 900 = 400 ? ?t ? + 4 t t ? ?
2

675. 1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小值 2 t t 10 13, 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时.

课堂达标训练 1.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 40° ,现高不变, 将倾斜角改为 20° ,则斜坡长为( A.1 C.2cos 20° ) B.2sin 20° D.cos 40°

【解析】 如图所示,∠ABC=40° ,AB=1,∠ADC= 20° , ∴∠ABD=140° .在△ABD 中, 由正 AD AB 弦定理得 = , sin 140° sin 20° sin 140° sin 40° ∴AD=AB· = =2cos 20° . sin 20° sin 20°

【答案】 C

2.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新 方向走 3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为 ( A. 3 C. 3或 2 3 B.2 3 D.3 )

【解析】 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3, ∠ABC=30° ,由余弦定理得( 3)2=x2 +32-2x· 3· cos 30° ,整理,得 x2-3 3x+6=0,解得 x= 3或 2 3.

【答案】 C

3.如图 378 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯 塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( )

图 378

A.a km C. 2a km

B. 3a km D.2a km

【解析】 在△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=120° , ∴AB2=a2+a2-2a2cos 120° =3a2,AB= 3a.

【答案】 B

4.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为 30° ,60° ,则塔高为________米.

【解析】

如图所示,山的高度 MN=200 米,塔高为

200 NC 200 200 AB,CN=MB= ,AC= = = .所以塔高 AB= 3 3 3· 3 3 200 400 200- = (米). 3 3

400 【答案】 3


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