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大一第一学期期末高数A试卷及答案


高等数学 I

1. 当 x ? x0 时, ? ? x ? , ? ? x ? 都是无穷小,则当 x ? x0 时(

D

)不一定是

无穷小. (A) (C)

? ?x ? ? ? ?x ?

(B) (D)

? 2 ?x ? ? ? 2 ?x ?
? 2 ( x) ? ( x)

ln?1 ? ? ( x) ? ? ( x)?
1 x?a

? sin x ? lim? ? x ? a sin a ? ? 2. 极限
(A) 1

的值是( C (B) e

). (C) e
cot a

(D) e

tan a

? sin x ? e 2 ax ? 1 x?0 ? f ( x) ? ? x ? a x ? 0 在 x ? 0 处连续,则 a ? 3.

=(

D

).

(C) e (D) ?1 f ( a ? h) ? f ( a ? 2h) lim ? h 4. 设 f ( x) 在点 x ? a 处可导,那么 h?0 ( A ). (A) 3 f ?(a) (B) 2 f ?(a) 1 f ?(a) ? f ( a ) (C) (D) 3 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ln( x ? a ) ? ln a 1 lim (a ? 0) x a. 5. 极限 x ?0 的值是 xy 6. 由 e ? y ln x ? cos2x 确 定 函 数 y(x) , 则 导 函 数 y ? ? y 2 sin2 x ? ? ye xy x . ? xe xy ? ln x 7. 直线 l 过点 M (1,2,3) 且与两平面 x ? 2 y ? z ? 0,2 x ? 3 y ? 5z ? 6 都平行,则直 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 1 ?1 ?1 线 l 的方程为 . (A) 1 (B) 0
8. 求函数 y ? 2x ? ln(4x) 的单调递增区间为 (-?,0)和(1,+? ) 三、解答题(本大题有 4 小题,每小题 8 分,共 32 分)
2

.

9. 计算极限

lim
x ?0

(1 ? x) ? e x .

1 x

(1 ? x) x ? e ex lim ? e lim x ?0 x 解: x ?0

1

1

ln(1? x ) ?1

?1

x

? e lim
x

ln(1 ? x) ? x e ?? 2 x ?0 x 2
,试求出 F ??( x) 。

10. 设 f ( x) 在[a,b]上连续,且
x x

F ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dt x ? [a, b]
a

解:

F ( x) ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt
a a
x x

F ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dt
a a

F ??( x) ? f ( x)

11. 求

? x sin
3

cos x dx. 3 x ??



?xs
?

c

x x

?

s

?2

: o i
? i

d
x 1 2

i

1 x s ?2 ? 2 四、解答题(本大题有 4 小题,每小题 8 分,共 32 分)

?2

?
2

2

dx x x2 ?1

12.

求 3 1 令  ? t x
1 2

.

原式 ? ? 23
3 2

1 t
dt 1? t
y?

1 1 (? 2 )dt t 1 ?1 2 t
2

?

?

1 2

? arcsin t

3 2 1 2

?

?
6

13. 求函数 解:函数的定义域(-?,+?)

2x 1 ? x 2 的极值与拐点.

? 4 x(3 ? x 2 ) 2(1 ? x)(1 ? x) ? ? y ? (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 3 令 y ? ? 0 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y ??(1) ? 0 x = 1 是极大值点, y ??(?1) ? 0 x = -1 是极小值点 1 2 y ( ? 1 ) ? ? 1 y ( 1 ) ? 1 极大值 ,极小值
y? ?
令 y ?? ? 0 得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,- 3 ) -

3, x 5= - 3
(0, -

(- 3 ,0) +

3)

( 3 ,+?) +

y ??

3 3 故拐点(- 3 ,- 2 ) , (0,0) ( 3, 2 )
14.

求由曲线

y?

x3 2 4 与 y ? 3x ? x 所围成的平面图形的面积.

解:

x3 ? 3x ? x 2 ,  x 3 ? 12 x ? 4 x 2 ? 0, 4 x( x ? 6)( x ? 2) ? 0,   x1 ? ?6,  x2 ? 0,   x3 ? 2.
0

2 x3 x3 ? 3x ? x 2 )dx ? ? (3x ? x 2 ? )dx ?6 4 0 4 4 3 3 x 3 x 3 x x4 2 0 ? ( ? x 2 ? ) ?6 ? ( x 2 ? ? ) 0 16 2 3 2 3 16 1 1 ? 45 ? 2 ? 47 3 3 2 15. 设抛物线 y ? 4 ? x 上有两点 A(?1,3) , B(3, ?5) ,在弧 A B 上,求一点 P( x, y) 使 ?ABP 的面积最大.

S?? (

AB连线方程:y ? 2 x ? 1 ? 0   AB ? 4 5 点P到AB的距离 ?ABP的面积 2x ? y ? 1 5 ? ?x 2 ? 2x ? 3   ( ?1 ? x ? 3) 5

1 ?x 2 ? 2x ? 3    S ( x) ? ? 4 5 ? ? 2( ? x 2 ? 2 x ? 3) 2 5    S ?( x) ? ?4 x ? 4 当x ? 1  S ?( x) ? 0    S ??( x) ? ?4 ? 0
当x ? 1时S ( x) 取得极大值也是最大值 此时y ? 3  所求点为(1,3)
另解:由于?ABC的底AB一定, 故只要高最大而过C点的抛物线
2 的切线与AB平行时, 高可达到最大值, 问题转为求C( x0 ,4 ? x0 ) , 使f ?( x0 ) ? ?2 x0 ? ?5 ? 3 3 ? 1 ? ?2,  解得x0 ? 1, 所求C点为(1,3) 六、证明题(本大题 4 分)

16.

2x 设 x ? 0 ,试证 e (1 ? x) ? 1 ? x .

证明:设 f ( x) ? e (1 ? x) ? (1 ? x), x ? 0
2x

f ?( x) ? e 2 x (1 ? 2x) ? 1 , f ??( x) ? ?4 xe2 x , x ? 0, f ??( x) ? 0 ,因此 f ?( x) 在(0, +?)内递减。在(0,+?)内, f ?( x) ? f ?(0) ? 0, f ( x) 在(0,+?)内递减,在(0,+?)
内, f ( x) ? f (0), 即 e (1 ? x) ? (1 ? x) ? 0 亦即当 x>0 时, e (1 ? x) ? 1 ? x
2x 2x

试证

e (1 ? x) ? 1 ? x .
2x



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