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必修二第四章《圆与方程》单元测试题及答案


吉林省德惠市实验中学 2014-2015 学年必修二第四章单元测试题
(时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知两圆的方程是 x2+y2=1 和 x2+y2-6x-8y+9=0, 那么这两个圆的位置关系是( A.相离 C.外切
2 2

)

B.相交 D.内切 )

2.过点(2,1)的直线中,被圆 x +y -2x+4y=0 截得的最长弦所在的直线方程为( A.3x-y-5=0 C.x+3y-5=0 B.3x+y-7=0 D.x-3y+1=0 )

3.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( A.1,-1 C.1 B.2,-2 D.-1 )

4.经过圆 x2+y2=10 上一点 M(2, 6)的切线方程是( A.x+ 6y-10=0 C.x- 6y+10=0 B. 6x-2y+10=0 D.2x+ 6y-10=0 )

5.点 M(3,-3,1)关于 xOz 平面的对称点是( A.(-3,3,-1) C.(3,-3,-1)

B.(-3,-3,-1) D.(3,3,1)

6.若点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点,点 C 是点 D(2,-2,5)关于 y 轴对称的点,则|AC| =( ) A.5 C.10 B. 13 D. 10

7. 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120° (其中 O 为坐标原点), 则 k 的值为( A. 3 C. 3或- 3 ) B. 2 D. 2和- 2

8.与圆 O1:x2+y2+4x-4y+7=0 和圆 O2:x2+y2-4x-10y+13=0 都相切的直线条数是 ( ) A.4 C.2 B.3 D.1 )

9.直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程是( A.2x-y=0 C.x+2y-3=0 B.2x-y-2=0 D.x-2y+3=0

10.圆 x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0 的圆心在直线 x+y-4=0 上,那么圆的面 积为( )

A.9π B.π C.2π D.由 m 的值而定 11.当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时,它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3)2+4y2=1 B.(x-3)2+y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 )

12.曲线 y=1+ 4-x2与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是( 5 A.(0, ) 12 1 3 C.( , ] 3 4 5 B.( ,+∞) 12 5 3 D.( , ] 12 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中横线上) 13.圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值为____________. 14.圆心为(1,1)且与直线 x+y=4 相切的圆的方程是________. 15. 方程 x2+y2+2ax-2ay=0 表示的圆, ①关于直线 y=x 对称; ②关于直线 x+y=0 对称; ③其圆心在 x 轴上, 且过原点; ④其圆心在 y 轴上, 且过原点, 其中叙述正确的是__________. 16.直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)自 A(4,0)引圆 x2+y2=4 的割线 ABC,求弦 BC 中点 P 的轨迹方程.

18. (12 分)已知圆 M: x2+y2-2mx+4y+m2-1=0 与圆 N: x2+y2+2x+2y-2=0 相交于 A, B 两点,且这两点平分圆 N 的圆周,求圆 M 的圆心坐标. 19.(12 分)已知圆 C1:x2+y2-3x-3y+3=0,圆 C2:x2+y2-2x-2y=0,求两圆的公共弦 所在的直线方程及弦长.

20.(12 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0,从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M, O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值.

21. (12 分)已知⊙C: (x-3)2+(y-4)2=1, 点 A(-1,0), B(1,0), 点 P 是圆上动点, 求 d=|PA|2 +|PB|2 的最大、最小值及对应的 P 点坐标.

22.(12 分)已知曲线 C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中 k≠-1. (1)求证:曲线 C 表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上; (2)证明曲线 C 过定点; (3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 k 的值.

答案:

1.解析:将圆 x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.∴两圆的圆心距 ?0-3?2+?0-4?2=5,又 r1+r2=5,∴两圆外切.答案:C y+2 x-1 2.解析:依题意知,所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程得 = ,即 3x 1+2 2-1 -y-5=0.答案:A |1+a+0+1| 3.解析:圆 x2+y2-2x=0 的圆心 C(1,0),半径为 1,依题意得 =1,即|a+2|= ?1+a?2+1 ?a+1?2+1,平方整理得 a=-1.答案:D 4.解析:∵点 M(2, 6)在圆 x2+y2=10 上,kOM= 故切线方程为 y- 6=- 6 6 ,∴过点 M 的切线的斜率为 k=- , 2 3

6 (x-2),即 2x+ 6y-10=0.答案:D 3

5.解析:点 M(3,-3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1).答案:D 6. 解 析 : 依 题 意 得 点 A(1 , - 2 , - 3) , C( - 2 , - 2 , - 5) . ∴|AC| = ?-2-1?2+?-2+2?2+?-5+3?2= 13.答案:B 1 1 1 7.解析:由题意知,圆心 O(0,0)到直线 y=kx+1 的距离为 ,∴ 2=2,∴k=± 3. 2 1+k 答案:C 8.解析:两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16, 圆心 O1(-2,2),O2(2,5),半径 r1=1,r2=4,∴|O1O2|= ?2+2?2+?5-2?2=5,r1+r2 =5.∴|O1O2|=r1+r2,∴两圆外切,故有 3 条公切线.答案:B 9.解析:依题意知,直线 l 过圆心(1,2),斜率 k=2,∴l 的方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y =0.答案:A 10.解析:∵x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,∴[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2. ∴圆心(2m+1, m), 半径 r=|m|.依题意知 2m+1+m-4=0, ∴m=1.∴圆的面积 S=π×12 =π.答案:B x1+3 y1 11.解析:设 P(x1,y1),Q(3,0),设线段 PQ 中点 M 的坐标为(x,y),则 x= ,y= ,∴x1 2 2 =2x-3,y1=2y.又点 P(x1,y1)在圆 x2+y2=1 上,∴(2x-3)2+4y2=1.故线段 PQ 中点的轨 迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C 12.解析:如图所示,曲线 y=1+ 4-x2

变形为 x2+(y-1)2=4(y≥1),直线 y=k(x-2)+4 过定点(2,4),当直线 l 与半圆相切时, |-2k+4-1| 5 有 =2,解得 k= . 2 12 k +1 3 5 3 当直线 l 过点(-2,1)时,k= .因此,k 的取值范围是 <k≤ .答案:D 4 12 4 13.解析:圆心(0,0)到直线 3x+4y-25=0 的距离为 5,∴所求的最小值为 4.答案:4 |1+1-4| 14.解析:r= = 2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 2 答案:(x-1)2+(y-1)2=2 15.解析:已知方程配方得,(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0),圆心坐标为(-a,a),它在直线 x +y=0 上,∴已知圆关于直线 x+y=0 对称.故②正确. 答案:② 16.解析:由 x2+y2-6x-2y-15=0, 得(x-3)2+(y-1)2=25. |3+2×1| 圆心(3,1)到直线 x+2y=0 的距离 d= = 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直 5 角三角形中,由勾股定理得,弦长=2× 25-5=4 5. 答案:4 5 y y 17.解:解法 1:连接 OP,则 OP⊥BC,设 P(x,y),当 x≠0 时,kOP· kAP=-1,即 · = x x-4 -1, 即 x2+y2-4x=0① 当 x=0 时,P 点坐标为(0,0)是方程①的解, ∴BC 中点 P 的轨迹方程为 x2+y2-4x=0(在已知圆内). 1 解法 2:由解法 1 知 OP⊥AP,取 OA 中点 M,则 M(2,0),|PM|= |OA|=2,由圆的定义 2 知,P 点轨迹方程是以 M(2,0)为圆心,2 为半径的圆. 故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内). 18.解:由圆 M 与圆 N 的方程易知两圆的圆心分别为 M(m,-2),N(-1,-1). 两圆的方程相减得直线 AB 的方程为 2(m+1)x-2y-m2-1=0. ∵A,B 两点平分圆 N 的圆周, ∴AB 为圆 N 的直径,∴AB 过点 N(-1,-1), ∴2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0, 解得 m=-1. 故圆 M 的圆心 M(-1,-2).

19. 解 : 设 两 圆 的 交 点 为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 A 、 B 两 点 的 坐 标 是 方 程 组
2 2 ? ?x +y -3x-3y+3=0 ? 2 的解,两方程相减得:x+y-3=0, 2 ?x +y -2x-2y=0 ?

∵A、B 两点的坐标都满足该方程, ∴x+y-3=0 为所求. 将圆 C2 的方程化为标准形式, (x-1)2+(y-1)2=2, ∴圆心 C2(1,1),半径 r= 2. |1+1-3| 1 圆心 C2 到直线 AB 的距离 d= = , 2 2 |AB|=2 r2-d2=2 1 2- = 6. 2

即两圆的公共弦长为 6. 20.解:如图:PM 为圆 C 的切线,则 CM⊥PM,∴△PMC 为直角三角形,∴|PM|2=|PC|2 -|MC|2.

设 P(x,y),C(-1,2),|MC|= 2. ∵|PM|=|PO|, ∴x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2, 化简得点 P 的轨迹方程为:2x-4y+3=0. 求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,即求原点 O 到直线 2x-4y+3=0 的距离,代入 3 5 点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为 . 10 21.解:设点 P 的坐标为(x0,y0),则 d=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2. 欲求 d 的最大、最小值,只需求 u=x02+y02 的最大、最小值,即求⊙C 上的点到原点 距离的平方的最大、最小值. 作直线 OC,设其交⊙C 于 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 如图所示.

则 u 最小值=|OP1|2=(|OC|-|P1C|)2=(5-1)2=16. x1 y1 4 此时, = = , 3 4 5 12 16 ∴x1= ,y1= . 5 5 12 16? ∴d 的最小值为 34,对应点 P1 的坐标为? ? 5 , 5 ?. 18 24? 同理可得 d 的最大值为 74,对应点 P2 的坐标为? ? 5 , 5 ?. 22.解:(1)证明:原方程可化为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2 ∵k≠-1,∴5(k+1)2>0. 故方程表示圆心为(-k,-2k-5),半径为 5|k+1|的圆.
?x=-k, ? 设圆心的坐标为(x,y),则? ? ?y=-2k-5,

消去 k,得 2x-y-5=0. ∴这些圆的圆心都在直线 2x-y-5=0 上. (2)证明:将原方程变形为 (2x+4y+10)k+(x2+y2+10y+20)=0, ∵上式对于任意 k≠-1 恒成立,
?2x+4y+10=0, ? ∴? 2 2 ? ?x +y +10y+20=0. ? ?x=1, 解得? ?y=-3. ?

∴曲线 C 过定点(1,-3). (3)∵圆 C 与 x 轴相切, ∴圆心(-k,-2k-5)到 x 轴的距离等于半径, 即|-2k-5|= 5|k+1|. 两边平方,得(2k+5)2=5(k+1)2, ∴k=5± 3 5.


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