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2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第6课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 8 章《平面 解析几何》 (第 6 课时) (新人教 A 版)
一、选择题 1. (2011·高考湖南卷)设双曲线 2- =1(a>0 )的 渐近线方程为 3x±2y=0, a 的值 则 a 9 为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3 解析:选 C.渐近线方程可化为 y=± x. 2 ∵双曲线的焦点在 x 轴上, 9 ? 3?2 ∴ 2=?± ? ,解得 a=±2.由题意知 a>0,∴a=2. a ? 2? 2.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线 解析:选 C.∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支,又∵|PM| >|PN|, ∴点 P 的轨迹为双曲线的右支. 3.(2013·威海质检)若 k∈R,则方程 要条件是( ) A.-3<k<-2 C.k <-3 或 k>-2 解析:选 A.由题意可知?
?k+3>0, ? ? ?k+2<0,

x2 y2

+ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线的充 k+3 k+2 B.k<-3 D.k>-2

x2

y2

解得-3<k<-2.

4.(2012·高考课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ) A. 2 B.2 2 C.4 D.8 2 解析:选 C.抛物线 y =16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲线 C :x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. 5.已知双曲线的焦点分别为 F1(-5,0)、F2(5,0),若双曲线上存在一点 P 满足|PF1|- |PF2|=8,则此双曲线的标准方程为( ) A. C. - =1 16 9

x2 x2

y2

B. - =1 9 16

x2

y2

- =1 D. - =1 64 36 4 3 2 2 2 解析:选 A.焦点在 x 轴上,由|PF1|-|PF2|=8 得 a=4,又 c=5,从而 b =c -a =9. 所以双曲线的标准方程为 - =1.故选 A. 16 9 二、填空题 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率 a b 16 9 是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. x2 y2 7 解析:椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心率为 e= .由于 16 9 4

y2

x2 y2

x2

y2

x2 y2

x2

y2

1

双曲线 2- 2=1 与椭圆 + =1 有相同的焦点,因此 a +b =7. a b 16 9

x2 y2

x2

y2

2

2

a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a a 4 2 2 x y 2 2 2 所以 a= 2,b =c -a =3,故双曲线的方程为 - =1.
4 3 答案: - =1 4 3

x

2

y

2

x2 y2 x2 y 2 7.(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 a b 4 16 有相同 的渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=___ _____,b=________. x2 y2 b 2 2 解析:双曲线 - =1 的渐近线为 y=±2x,则 =2,即 b=2a,又 c= 5,a +b = 4 16 a c2,所以 a=1,b=2.
答案:1 2 2 2 8.已知双曲线 x -y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2|的值为________. 2 2 2 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,因为 PF1⊥PF2,所以(2 2) =|PF1| +|PF2| ,又 2 2 因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|) =4,可得 2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|) 2 2 =|PF1| +|PF2| +2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 3. 答案:2 3 三、解答题 9.根据下列条件,求双曲线方程: (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); 9 16 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4 解 : (1) 法 一 : 设 双 曲 线 的 方 程 为

x2

y2

x2

y2

x2 y2 = 1(a>0 , b>0) , 由 题 意 , 得 2 - a b2

b 4 ?a=3, ? ?? -3? ? a ?
2

2



?

2 3?

2

b

2

=1,

9 2 2 解得 a = ,b =4. 4 故所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 法二:设双曲线的方程为 - =K, 9 16 ∵过点(-3,2 3) 2 ? -3? ? 2 3? ∴K= - 9 16
2

x2 y2

x2

y2

3 1 =1- = . 4 4

∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4

x2 y2

2

(2)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由题意易求 c=2 5. ? 3 2? 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2
2

x2 y2 a b

a b2 2 2 2 2 2 又∵a +b =(2 5) ,∴a =12,b =8. 2 2 x y
故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8 10.

4 - =1.

如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、右焦点,双曲 π 线的左支上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心率为 2,求该 3 双曲线的方程.

x2 y2 a b F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得:

解:设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0),

π 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|·|PF2|·cos 3 2 =(|PF1|-|PF2|) +|PF1|·|PF2|, 2 2 即 4c =4a +|PF1|·|PF2|, 又∵S△PF1F2=2 3, 1 π ∴ |PF1|·|PF2|·sin =2 3, 2 3 ∴|PF1|·|PF2|=8 . 2 2 2 ∴4c =4a +8,即 b =2. c 2 2 又∵e= =2,∴a = , a 3 2 2 3x y ∴双曲线的方程为: - =1. 2 2

一、选择题 1.

(2012·高考浙江卷)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲 线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭 圆的离心率的比值是( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 解析:选 B.设焦点为 F(±c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1= ,椭

c a

3

圆的离心率 e2= ,所以 =2,选 B. 2a e2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1), 则双曲线的焦距为( A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 解析:选 B.双曲线左顶点为 A1(-a,0),渐近线为 y=± x, )

c

e1

x2 y2 a b

2

b a

? ? 2 抛物线 y =2px(p>0)焦点为 F? ,0?, ?2 ?
p
准线为直线 x=- . 2 由题意知- =-2,∴p=4,由题意知 2+a=4,∴a=2. 2 ∴双曲线渐近线 y=± x 中与准线 x=- 交于(-2, -1)的渐近线为 y= x, ∴-1= 2 2 2 2 ×(-2),∴b=1. 2 2 2 ∴c =a +b =5,∴c= 5,∴2c=2 5. 二、填空题 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与 抛物线 y =16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.
2

p

p

b

p

b

b

x2 y2 a b

x2 y2 b 解析: 由双曲线 2- 2=1(a>0, >0)的一条渐近线方程为 y= 3x 得 = 3, = 3a. b b a b a 2 2 2 2 2 2 ∵抛物线 y =16x 的焦点为 F(4,0),∴c=4.又∵c =a +b ,∴16=a +( 3a) , 2 2 ∴a =4,b =12. x2 y2
∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 答案: - =1 4 12 4.

x2

y2

(2012·高考湖北卷)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两 顶点为 A1,A2,虚轴两端点 为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C, D.则 (1)双曲线的离心率 e=________; (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =________. 解析:(1)由题意可得 a b +c =bc, 4 2 2 4 4 2 ∴a -3a c +c =0,∴e -3e +1=0,
4
2 2

x2 y2 a b

S1 S2

3+ 5 1+ 5 2 ∴e = ,∴e= . 2 2 (2)设 sinθ =

b b +c
2

b +c2 S1 2bc 2bc b2+c2 2 1 2+ 5 = = = . 2 =e - = S2 4a2sinθ cosθ bc 2a 2 2 2 4a × 2 2 b +c
1+ 5 2+ 5 答案:(1) (2) 2 2 三、解答题 5. (2013·大同调研)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0), 右顶点为( 3, 0). (1)求双曲线 C 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA·OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

2

,cosθ =

c
2



x2 y2 a b 2 2 2 2 由已知得 a= 3,c=2,再由 c =a +b 得 b =1, 2 x 2 所以双曲线 C 的方程为 -y =1.
3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1 中, 3

解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0).

x

2 2

整理得(1-3k )x -6 2kx-9=0, 2 ?1-3k ≠0 由题意得? ?Δ =? -6 2k? 2+36? 1-3k2? =36? 1-k2? >0

2

2



1 2 2 故 k ≠ 且 k <1.① 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 6 2k -9 xA+xB= 2,xAxB= 2, 1-3k 1-3k → → 由OA·OB>2 得 xAxB+yAyB>2, xAxB + yAyB = xAxB + (kxA + 2 )(kxB + 2 ) = (k2 + 1)xAxB + 2 k(xA + xB) + 2 = (k2 + 2 -9 6 2k 3k +7 1)· + 2k· +2= 2 , 2 2 1-3k 1-3k 3k -1 2 2 3k +7 -3k +9 1 2 于是 2 >2,即 2 >0,解得 <k <3.② 3k -1 3k -1 3 1 2 由①②得 <k <1, 3 所以 k 的取值范围为?-1,-

? ?

3? ? 3 ? ?∪? ,1?. 3? ?3 ?

5



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