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2016届浙江省慈溪中学高考适应性考试数学(理)试题


理科数学

试题卷(5 月)

第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.全集 U ? R , A ? {x | ln x ? 0} , B ? {x | x2 ? 4 x ? 0},则 A ? (CU B) ? ( A. [0, 4] B. (0,1) C. (??, 4] D. (0, 4] ) D.既不充分也不必要条件 )

2.“ p ? q 是假命题”是“ p, q 都是假命题”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

3.若函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数, y ? g ( x) 是 R 上的奇函数,它们都是周期函数,则下 列一定正确的是( )

A.函数 y ? g[ g ( x)] 是奇函数,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 是周期函数 B.函数 y ? g[ g ( x)] 是奇函数,函数不一定是周期函数 C.函数 y ? f [ g ( x)] 是偶函数,函数 y ? f [ g ( x)] 是周期函数 D.函数 y ? f [ g ( x)] 是偶函数,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 是周期函数 4.双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则它的离心率为( )

A.2 或

2 3 3

B.2

C.

2 3 3

D. 3 )

5.如图,一个几何体的三视图,俯视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为( A. 2 3 B. 4 3 C.

8 3 3

D.

10 3 3

6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {Sn } 有唯一的最大项 S3 ,

Hn ? S1 ? 2S2 ? 3S3 ? ?? nSn ,则(
A. S5 ? S6 ? 0 C.数列 {an } 、 {Sn } 都是单调递减数列

) B. H5 ? H6 ? 0 D. H 6 可能是数列 {H n } 最大项

7.已知函数 f ( x) ? x | 2 x ? a | ,若 ?m ? R , xi ? [1, 2] , i ? 1, 2, x1 ? x2 ,使 f ( xi ) ? m ,

(i ? 1, 2) ,
则实数 a 的取值范围为( A. (2, 4) B. (4,8) ) C. (2,8) D. (2, 4) ?(4,8)

8.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 1, P, Q 是平面 D 1B 1C 内的两个动点,且

? ???? 13 ??? ? ???? 8 3 ??? | AP ? AQ |? , AP ? AQ ? ,则动点 P, Q 在平面 D1B1C 内运动所形成的区域的面 3 3
积为( A. 9? ) B. 8? C. 4? D. ?

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)
9.函数 f ( x) ? sin
2

x x x x ? cos 2 ? 2 3 sin cos 的值域为 2 2 2 2
. ; log2 b ?



满足 f ( x) ? 0 的所有 x 值构成的集合为 10.若 a ? 0, b ? 0, a ? b , b ? 4a ,则 a ?
b a



11.已知函数 f ( x) ? ?

? 2x , x ? 0 ?log 2 x, x ? 0

,则函数 y ? f [ f ( x)] 的零点为

;方程

f [ f ( x)] ? x ? 0 的实根个数为
?



12.过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 且倾斜角为 60 的直线 l 在第一象限交抛物线于 A , 直线 l 与抛 物线的准线交于 B ,则 | AB |? .

13.若实数 x, y 满足 ?

?0 ? x ? y ? 1 ,若目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 2 2 ?4 x ? y ? 0
2



14.直线 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线 x ?

y2 ? 1交于两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , ( x1 ? x2 ) ,动 4

??? ? ??? ? OP ? AB ? 的取值范围 点 P 在圆 ( x ? 2) ? y ? 1内及圆上运动, O 为坐标原点,则 ??? | AB |
2 2





15.如图,四棱锥 S ? ABCD 中,若 SA ? SC ? SB ? SD ,SA ? SC ? SB ? SD ? SC ? SD ,

??? ??? ?

??? ??? ?

??? ??? ?

??? ??? ?

??? ? ??? ?

SD ? AD ? 2 2 ,底面四边形 ABCD 的面积为 2,则二面角 S ? BC ? D 的最大值
为 ;这个四棱锥的五个表面所在的平面把空间分割成 部分.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16. (本小题满分 14 分) 锐角 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对三条边长分别为 a, b, c ,

sin( A ? ) ? cos A ? 2 cos 2 6
(1)求角 C ; (2)若 ?ABC 面积为 3 , 17. (本小题满分 15 分)

?

B? A cos A ? sin( B ? A) sin A . 2 sin A ? sin B ? 2 ,求边长 c . sin C

? 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,E 是 AD 中点,?DAB ? 60 ,PA ? PD ? AB ,

二面角 P ? BC ? A 为 60 .
?

(1)求证:平面 PBE ? 平面 PBC ; (2)求 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

18. (本小题满分 15 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 短轴长为 2,离心率为 ,抛物线 y 2 ? 2 x ,直线 l 与抛 a b 2
物线交于 A, B ,与椭圆交于 C , D . (1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l ,使 OA ?OB ? ? 1, | AC |?| BD | ,若存在,求直线 l 的方程;若不存 在,说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

19. (本小题满分 15 分)

? x 2 ? ax ? b ,x ?0 ? ? x?a 设函数 f ( x) ? ? , (a ? 0) . ? 1 f ( x ? 1), x ? 0 ? ?2
(1)当 b ? 2 ? a 时,若 f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围;
2 (2)当 b ? 4a ,0 ? a ? 1 时,记函数 y ?| f ( x) ? m | , x ?[?1,1] 上的最大值为 M (a, m) ,

当 a, m 变化时,求 M (a, m) 的最小值. 20. (本小题满分 15 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2, a2 ? 7, an ? 3an?1 ? 2an?2 , n ? N , n ? 3 .
*

(1)求证: a2017 一定是奇数; (2) ①求证:4 Sn ? 3 ?

17 a2 1 an ,(n ? 2, n ? N ) ; ②求证:| an ?1 ? n |? ,(n ? 2, n ? N ) . 3 an?1 2

参考答案 1-8:ABCA CDDB
2

9. [?2, 2] 、 {x | 2k? ?

?
6

? x ? 2 k? ?

7? , k ? Z} 6
13.

10. 2 3 、

8 3

11. 0、2 ;2

12. 8

1 3

14. [0, 2]

15.

?
4

, 23

16.解: (1) sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ?

?
6

) ? cos A ? [1 ? cos( B ? A)]cos A ? sin( B ? A) sin A

?
?
6

) ? cos( B ? A) cos A ? sin( B ? A) sin A ) ? cos B

?

6

) ? cos B ? sin( ? B) 6 2

?

(2) ?ABC 面积为 3 ,所以 由余弦定理: c ? a ? b ? ab
2 2 2

1 ? ab sin ? 3 ,∴ ab ? 4 2 3



sin A ? sin B ? 2 ? a ? b ? 2c ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 4c 2 sin C
2 2 2 2 2

所以 a ? 2ab ? b ? 4(a ? b ? ab) ? (a ? b) ? 0 ,∴ a ? b ? 2 所以 ?ABC 是正三角形,边长 c ? 2 . 17. (1)证明:∵ PA ? PD , E 是 AD 中点,∴ PE ? AD ,而 AD / / BC ,∴ PE ? BC ,
? ∵底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60 ,∴ BE ? AD ,∴ BE ? BC

而 PE ? BE ? E , PE , BE ? 平面 PBE ,∴ BC ? 平面 PBE ,而 BC ? 平面 PBC ∴平面 PBE ? 平面 PBC . (2)法一:由 BC ? 平面 PBE ,而 PB, PE ? 平面 PBE ,∴ BP ? BC , EB ? BC ,∴

?PBE 是二面角 P ? BC ? A 的一个平面角,∴ ?PBE ? 60? ,∴ ?PBE 是正三角形,
取 BC 中点 F ,连接 EF , EF / / AB 取 PB 中点 H ,连接 EH , HF ,∴ EH ? PB ,∵平面 PBE ? 平面 PBC ∴ EH ? 平面 PBC ,∴ ?EFH 就是 EF 与平面 PBC 所成的角

3 3 ,∴ EF 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 4 4 3 即 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 4
Rt ?EFH , sin ?EFH ?
法二:建立直角坐标系(略)

x2 c 3 18. (1)解:由 2b ? 2, ? ? b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆方程为: ? y 2 ? 1 4 a 2
(2)解:由已知设直线 l 方程为: x ? ky ? m ,设 A(x1, y1), B( x 2, y 2), C( x 3 , y3 ), D( x , 4 y) 4

? ?1 ? 0 ? x ? ky ? m ? 2 联立 ? 2 ,消 x 得: y ? 2ky ? 2m ? 0 ,∴ ? y1 ? y2 ? 2k ? y ? 2x ? y y ? ?2 m ? 1 2
2 ??? ? ??? ? y12 y2 ? y1 y2 ? ?1 ? y1 y2 ? ?2 ,∴ m ? 1 由 OA ? OB ? ?1,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? 4

?2 ? 0 ? ? x ? ky ? 1 ? 2 2 联立 ? 2 ,消 x 得: (k ? 4) y ? 2ky ? 3 ? 0 ,∴ ? ?2k 2 y3 ? y4 ? 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? k ?4 ?
由 | AC |?| BD |? AB 中点与 CD 中点重合, ∴ y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? 2k ?

??? ?

??? ?

?2k ?k ?0 k2 ? 4

所以存在直线 l 方程为: x ? 1 . 19. (1)解:当 x ? 0 时, f ( x) ?

x 2 ? ax ? b 2?a ? x?a? ?a x?a x?a

? ? 2?a ? 0 ? 2?a ? 0 ? ? 要使 f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数,则 ? f (1) 或? 2?a ?a ? 0 ? f (0) ? ? f (1) ? 2 ? ? f (0) ? 2
解得: 1 ? a ?

33 ? 1 4

x 2 ? ax ? 4a 2 4a 2 ? x?a? ?a (2)解法一:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x?a x?a
∵ 0 ? a ? 1 ,∴ f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (a,1) 上递增,

1 若 f (1) ? f (0) 时,即 0 ? a ? 时, M ( a, m) ? 3

f (1) ?

f (a) 2 2 ? 5a ? a ? 2 2 4(1 ? a )

8 4 5 11 令 t ? 1 ? a ? (1, ] ,∴ M (a, m) ? (t ? 5 ) ? 3 4 t 4 8 8 8 4 5 11 ? (t ) ? (t ? 5 ) ? 在 (1, ] 上是减函数,在 [ , ] 上是增函数, 5 5 3 4 t 4
∴ M (a, m) ? ? (

8 11 ) ? 10 ? 5 4

f (a) f (0) ? 1 2 ? 5a ? 5 若 f (1) ? f (0) 时,即 ? a ? 1 时, M (a, m) ? 3 2 4 12 5 11 ? 10 ? ∵ 12 4 11 所以,当 a, m 变化时, M (a, m) 的最小值为 10 ? 4
(2)解法二:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ?

x 2 ? ax ? 4a 2 4a 2 ? x?a? ?a x?a x?a

∵ 0 ? a ? 1 ,∴ f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (a,1) 上递增, 若 f (1) ? f (0) 时,即 0 ? a ?

1 f (a) ? m |} 时, M (a, m) ? max{| f (1) ? m |,| 3 2

M (a, m) ?| f (1) ? m |

M (a, m) ?|

f (a) ?m| 2

2M (a, m) ?| f (1) ? m | ? |
若 f (1) ? f (0) 时,即

f (a) f (a) 5a 2 ? a ? 2 (同上) ? m |?| f (1) ? |? 2 2 2(1 ? a)

1 f (a) ? a ? 1 时, M (a, m) ? max{| f (0) ? m |,| ? m |} 3 2 f (a) f (a) 5a 2M (a, m) ?| f (0) ? m | ? | ? m |?| f (0) ? |? (同上) 2 2 2

20. (1)证明:∵ an ? 3an?1 ? 2an?2 , n ? N * , n ? 3 ,∴ an 与 an ?1 有相同的奇偶性 ∵ a2 ? 7 是奇数,所以 a2017 一定是奇数 (2)①证明:当 n ? 3 时, ∵ an ? 3an?1 ? 2an?2 ,

an?1 ? 3an?2 ? 2an?3
?

a3 ? 3a2 ? 2a1
相加得:∵ Sn ? a1 ? a2 ? 3(Sn ? an ? a1 ) ? 2(Sn ? an?1 ? an )

4Sn ? 3 ? 5an ? 2an?1
∵ a1 ? 2, a2 ? 7 ,∴ an ? 3an?1 ? 2an?2 ? 0 ,∴ an ? 0 当 n ? 3 时, an ? 3an?1 ? 2an?2 ? 3an?1 ,∴ an ?1 ? ∵ a1 ? 2, a2 ? 7 ,∴ an ?1 ?

1 an , 3

1 an (n ? 2) 3 1 17 17 an ,即 4Sn ? 3 ? an ∴ 4S n ? 3 ? 5an ? 2an ?1 ? 5an ? 2 ? an ? 3 3 3
2 an (3an?1 ? 2an?2 )2 ②证明:当 n ? 3 时,∵ | an?1 ? |?| 3an ? 2an?1 ? | an?1 an?1 2 2 2an 2a 2 ? 2an?2 an 2an?2 a2 ?1 ? 6an ?1an ? 2 ? 4an ? 2 |?| n?1 |? | an ? n?1 | an?1 an?1 an?1 an?2

?|

∵ an ?1 ?

1 2a 2 an (n ? 2) ,∴ n?2 ? ? 1 3 an?1 3

∵ | an?1 ?

2 an a2 a2 1 |?| an ? n?1 |? ? ?| a3 ? 2 |? an?1 an?2 a1 2 2 an a2 1 1 |? ,所以 | an?1 ? n |? , (n ? 2, n ? N ) . an?1 2 an?1 2

当 n ? 2 时, | an ?1 ?


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