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任意角和弧度制及任意角的三角函数


任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα =________. 2 5 答案: 5 y 2 2 5 解析:sinα= = = . r 5 5 3 2. 已知点 P(3,y)在角 α 的终边上,且满足 y<0,cosα = ,则 tanα =________. 5 4 答案:- 3 3 3 4 解析:∵cosα= 2=5,且 y<0,∴y=-4,∴tanα=-3. 9+y 3 π 3π 3. 已知点 P?sin ,cos ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π ),则 θ=________. 4 ? ? 4 7π 答案: 4 3π cos 4 3π 3π 解析: 由 sin >0, cos <0, 知角 θ 在第四象限. ∵tanθ= =-1, θ∈[0, 2π), 4 4 3π sin 4 7π ∴θ= . 4 4. 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的中心角的弧度数是________. 答案:1 或 4 2r+l=6, ? ? ? ?r=1, ? ?r=2, l 4 解析: 设此扇形的半径为 r, 弧长是 l, 则?1 解得? 或? 从而 α= = = r 1 ? ? ?l=4 ?l=2, ? ?2rl=2, l 2 4 或 α= = =1. r 2 4 5. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30°),且 cosα =- ,则 m=________. 5 1 答案: 2 -8m 4 4m2 1 解析: 因为 r= 64 m2+9, 所以 cosα= =- , 所以 m>0 , 所以 = , 2 2 5 64m +9 25 64 m +9 1 即 m=± .又 m>0, 2 1 故 m= . 2 2π 6. 若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________. 3 答案:(-1, 3) 2 2 y 2 x 解析: π的终边在第二象限,P(x,y),sin π= ,∴ y= 3.cos π= ,x=-1. 3 3 2 3 2 3 ,则 a=________. 4

7. 若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα ·cosα = 4 3 答案:-4 3或- 3

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3 >0,∴ sinα、cosα同号,∴ 角 α 在第三象限,即 P(-4, 4 -4 a 3 4 3 a)在第三象限,∴ a<0.根据三角函数的定义 2· 2= 4 ,解得 a=-4 3或- 3 . 16+a 16+a 2π 8. 点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动 弧长到达点 Q,则点 Q 3 的坐标为________. 1 3 答案:?- , ? ? 2 2? 2π 2π 解析:由弧长公式 l=|α|r,l= ,r=1 得点 P 按逆时针方向转过的角度为 α= ,所以 3 3 2 π 2 π 1 3 点 Q 的坐标为?cos ,sin ?,即?- , ?. 3 3 ? ? ? 2 2? 9. (改编题)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360°,360°]之间的所有角 α. 3π 解:若角 α 的终边落在第二象限,则{α|α= +2kπ,k∈Z};若角 α 的终边落在第四象 4 7π 3π 限,则{α|α= +2kπ,k∈Z},∴ α终边落在 x+y=0 上角的集合为{α|α= +2kπ, 4 4 7π 3π k∈Z}∪{α|α= +2kπ,k∈Z}={α|α= +kπ,k∈Z}. 4 4 3π 令-2π≤ +kπ≤2π,∴ k∈{-2,-1,0,1}, 4 5π π 3π 7π ∴ 所求 α∈{- ,- , , }. 4 4 4 4 10. 已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(-15a,8a)(a≠0),求角α 的正弦、余弦、正切函数 值. 解:设点 P 到原点 O 的距离为 r, 则 r= (-15a)2+(8a)2=17|a|. -15a 8a 8 15 8a 8 ① 当 a>0 时,r=17a,∴ sinα= = ,cosα= =- ,tanα= =- . 17a 17 17a 17 15 -15a -15a 15 8a 8 8a 8 ②当 a<0 时, r=-17a, ∴ sinα= =- , cosα= = , tanα= =- . 17 15 -17a -17a 17 -15a 11. 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A, 与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB),设∠BAO=β. (1) 用 β 表示 α; 4 (2) 如果 sinβ = ,求点 B(xB,yB)的坐标; 5 (3) 求 xB-yB 的最小值. 解析:∵ sinα·cosα=

π 3π 解:(1) ∠AOB=α- =π-2β,所以 α= -2β. 2 2 4?2 3 π yB (2) 由 sinα= ,r=1,得 yB=sinα=sin? -2β?=-cos2β=2sin2β-1=2×? ?5? -1 r ? 2 ? 24 7 ? 7 24 = .由 α 为钝角,知 xB=cosα=- 1-sin2α=- .所以 B? ?-25,25?. 25 25

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π (3) xB-yB=cosα-sinα= 2cos?α+ ?. 4? ? π 3π 5π π 又 α∈? ,π?,则 α+ ∈? , ?, 4 ? 4 4 ? ?2 ? π 2 cos?α+ ?∈?-1,- ?. 4? ? ? 2? 所以 xB-yB 的最小值为- 2.

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