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新高二复习专题二:等差数列与等比数列(1)(教师版)


凯文新高二暑期辅导第二讲
等差数列与等比数列(一)
一、考点阐释 1.理解等差数列和等比数列的概念; 2.掌握等差数列和等比数列的通项公式; 3.能在具体问题情境中发现数列的等差或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题,了解 等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系. 二、课前热身 1. 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 3, a6 ? 24 ,则该数列的通项 an ? . . .

1 2.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33 ,则求 n 的值 3
3.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4π ,则 tan(a2 ? a12 ) ? 备用: (1)在等比数列 ?an ? 中,若 a3 a5 a7 a9 a11 ? 243 ,则
2 a9 的值为 a11

.3

(2)在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? 提示: 3a5 ? a7 ? 2a5 ? ? a5 ? a7 ? ? 2a5 ? 2a6 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20 .

.20

8 27 4.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2
备用: 在 1 和 2 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数成等比数列, 则插入的 n 个数的乘积为 5.已知数列 ?an ? 对于任意 p, q ? N* ,有 a p ? aq ? a p ? q ,若 a2 ? 4 ,则 a100 = 1 备用: 若数列 ?an ? 中, a1= , 且对任意的正整数 p, q, 都有 ap?q ? ap ? aq , 则 an ? 2 6. 等差数列 ?an ? 的第 3,7,10 项成等比数列,则这个等比数列的公比 q ?

. . . .1 2

??

n



a2013 ? a2014 1 备用:各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a 的 1 成等差数列,则 a 2 2014 ? a2015

值为 三、回归教材



5 ?1 2

1.等差数列的概念
第 1 页 共 5 页

(1) 定义: 若数列{an}从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 则数列{an} 叫等差数列; (2)定义式: 2.等差数列的通项公式 (1)an=a1+ 3.等比数列的概念 (1) 定义: 若数列{an}从第二项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 则数列{an} 叫等比数列; (2)定义式:
( ( ) =q(q 为不等于零的常数) . )



=d(d 为常数) .

× d

; (2)an=am+

× d

4.等比数列的通项公式 (1)an=a1×q ___ ; (2)an=am×q ___ . .

5.等差中项:如果 a、b、c 成等差数列,则 b 叫做 a 与 c 的等差中项,即 b= 等比中项:如果 a、b、c 成等比数列,则 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b= 6.等差数列和等比数列项的性质 在等差数列{an}中,若 m+n=p+q (m, n, p, q∈ N*) ,则 在等比数列{an}中,若 m+n=p+q (m, n, p, q∈ N*) ,则 题型一:等差、等比数列基本量的运算 题型二:等差、等比数列“项”的性质 题型三:等差、等比数列的定义及证明 题型四:等差、等比数列的混合问题 四、热点分析

. .

1 4 【例 1】 (1)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? a6 ? ? , a1 ? a8 ? ? ,且 a1 ? a8 ,求数列 ?an ? 的 3 3
通项公式; (2)在等比数列 ?an ? 中, an ? 0 n ? N* ,公比 q ? ? 0,1? ,且 a1a5 ? 2a3a5 ?a2a8 ? 25 ,
a 3 与 a 5 的等比中项为 2,求数列 ?an ? 的通项公式.

?

?

第 2 页 共 5 页

1 【例 2】已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ,且当 n ? 1, n ? N* 时,有 an ? 0, 4an ? an?1 ? an?1 ? a n . 5
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)试问 a1a2 是否是数列 ?an ? 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. 备用:数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,且 an ? an?1 ? 答案: ? n ? 1?? n ? 2?

an?1 ? n ? 1? n ? N? , n≥2? ,求这个数列的通项公式. n a a a 提示:由 an ? an?1 ? n?1 ? n ? 1? n ? N? , n≥2? ,得 n ? n?1 ? 1? n≥2? , n n ?1 n

? a ? 所以数列 ? n ? 是等差数列,公差为 1,所以 an ? ? n ? 1?? n ? 2? . ? n ? 1?

【例 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四 个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数.

【例 4】已知函数 f ( x) ? 4 ? (1)若 a1 ? 1,

1 . x2

1 ? f (an )( n ? N? ) ,求 an ; an ?1
2 ,则 bn ? Sn?1 ? Sn 是否存在最小正整数 m ,使得对任意 ? an

2 (2)设 Sn ? a12 ? a2 ?

n ? N * ,均有 bn ?

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 25

五、课堂反馈

2 a1 ? 14 , 1. 已知数列 ?an ? 满足: 则使 an an ? 2 ? 0 成立的 n 的值是 an?1 ? an ? (n ? N* ) , 3
2.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 60 ,则 2a9 ? a10 的值为 .



3.已知等比数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 324, a3 ? a4 ? 36 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? a8 的值为 4.已知数列 ?an ? 为等差数列,若



a5 ? ?1 ,则数列 ? an ? 的最小项是第 a6

项.
? a30 ? 230 ,则

5.设数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列,且公比 q ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ?
a3 ? a6 ? a9 ? ? a30 ?


第 3 页 共 5 页

6 .设正项数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,若 ?an ? 和

? S ? 都是等差数列,且公差相等,则
n

a1 =
答案:

. 提示:设 ?an ? 的公差为 d ,则 S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S3 ? 3a1 ? 3d ,

1 4

1 1 由条件, 2a1 ? d ? a1 ? d , 3a1 ? 3d ? a1 ? 2d ,解得 d ? , a1 ? . 2 4
变题 1:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 ?an ? 和 则 a1 ? .? 3 4

?

S n ? n 都是公差为 d (d ? 0) 的等差数列,

?

?a ? ? ? 变题 2:已知数列 ?an ? 满足递推关系式 an?1 ? 2an ? 2n ? 1 n ? N* ,且 ? n n ? 为等差数列, ? 2 ?

?

?

则? ?



7.在等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 中,若 a1 ? b1 ? 0 , a11 ? b11 ? 0 ,则 a6 ,b6 的大小关系 为 答案: a6≥b6 . 提示: a6 =

a1 ? a11 b1 ? b11 2 ? ≥ b1b11 ? b6 ? b6 ≥b6 . 2 2 1 8.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 0 ? q ? ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数 2 列中的某一项,则公比 q 的取值集合为 .
答案:

?

2 ?1

?

提示:设 ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 是 {an } 中的第 t 项,则 qk ?1 1 ? q ? q2 ? qt ?1 ,

?

?

要满足题意,只需 1 ? q ? q2 ? q s , s ? Z .而当 0 ? q ? 解得 q ? 2 ? 1.

1 1 时,1 ? q ? q2 ? ( ,1) ,?1 ? q ? q2 ? q , 2 4

9.已知公差大于零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且满足: a3 ? a4 ? 117 , a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c . n?c

变题:数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 1 (n ? N* , n≥2) , a3 ? 27 .是否存在一个实数 t ,使得

bn ?

1 (an ? t ) (n ? N* ) ,且 ?bn ? 为等差数列?若存在,求出实数 t ;若不存在,请说明理由. 2n

解析: (1)由 a3 ? 27, 得 27 ? 2a2 ? 23 ? 1 ,? a2 ? 9 .又 9 ? 2a1 ? 22 ? 1 ,? a1 ? 2 .
第 4 页 共 5 页

(2)假设存在实数 t ,使得 {bn } 为等差数列.则 2bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,

?2 ?

1 1 1 (an ? t ) ? n?1 (an?1 ? t ) ? n?1 (an?1 ? t ) , n 2 2 2
an ? 2n ? 1 ? 2an ? 2n ?1 ? t ,? t ? 1 . 2

? 4an ? 4an?1 ? an?1 ? t ? 4an ? 4 ?

? 存在t ? 1, 使得数列{bn } 为等差数列.

10. 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 5、 13 后成为等比数列 ?bn ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 .求数列 ?bn ? 的通项公式. 解:设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d ,则 a ? d ? a ? a ? d ? 15 ? a ? 5 ; 数列 ?bn ? 中的 b3 、 b4 、 b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d ,则 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 ; 得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍) ,于是 b3 ? 5, b4 ? 10 ? bn ? 5 ? 2n?3 . 变题:设数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,当 a3 ? 2, a5 ? 6 时,若自然数 n1 , n2 , 满足 5 ? n1 ? n2 ?
3s ?1 ? 2 答案:

, ns ,

, .

? ns ?

,使得 a3 , a5 , an1 , an2 ,

, ans

是等比数列,则 ns ?

提示: 因为 d ?

a a5 ? a3 an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 4 , 当 n≥5 时, 又 q ? 5 ? 3, ?2, a3 2

所以 ans ? a5 ? 3s ? 2ns ? 4,?ns ? 3s ?1 ? 2 . 11.设数列 {an } , {bn } , {cn } 满足 a1 ? 4 , b1 ? 3 , c1 ? 5 , an?1 ? an , bn ?1 ?
cn ?1 ? an ? bn ( n ? N* ) . 2 an ? cn , 2

(1)求证:数列 {cn ? bn } 是等比数列; (2)求证:对任意 n ? N* , bn ? cn 为定值;
* 12.数列 {an } 的前 n 项为 Sn , Sn ? 2an ? 3n(n ? N ) .

(1)证明:数列 ?an ? 3? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)数列 ?an ? 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件 的项;若不存在,请说明理由.

第 5 页 共 5 页


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