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辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三下学期初考试数学(文)试题及答案


沈阳铁路实验中学 2015 届高三下学期初考试 数学(文)试题
一 选择题 (本小题满分 60 分) 1.已知集合 A ? {x || x |? 3}, B ? {x | y ? A. [0,3) B. [1,3) C. (1,3) D. (?3,1]

x ?1} ,则集合 A B 为

2. “a = 1”是“复数 a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R ,i 为虚数单位)是纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.以下有关线性回归分析的说法不正确 的是 ... A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 ( x, y ) B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值

C.相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱

D. R ? 1 ?
2

?(y ? y )
i ?1 n i i i ?1

n

2

? ( yi ? y)2
3 4
C.

越接近 1,表明回归的效果越好

4.将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次,出现“至少两次正面向上”的概率为 A.

1 4

B.

3 8

D.

11 16 1 1 a1 a 3a 5 ? a1 ,且 a4 与 a7 的等差中项为 4 4

5.已知为 {an } 等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a 3a 5 ?

9 ,则 S5 的值( ) 8
A.35 B.33 C.31 D.29 6.将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,所的图象的函数解析式是 A. y ? cos 2 x B. y ? 2cos x
2

C. y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

7.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为

A. 3 ? 3 2 B. 8 ? 3 2 C. 6 ? 6 2

D. 8 ? 6 2

8.已知圆 M 过定点 (2,1) 且圆心 M 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的弦长为 AB,则弦 长 | AB | 等于 A.4 B.3 C.2 D.与点 M 位置有关的值

9.当 a > 0 时,函数 f ( x) ? ( x2 ? 2ax)e x 的图象大致是

x2 y 2 x2 y 2 10 .已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 (?c, 0) 和 a b m n
(c, 0) ,若 c 是 a 与 m 的等比中项,n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率为(
B. ) A.

1 2

1 4

C.

3 2 D. 3 2

11.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的中 点.将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球 的体积为( )

A.

4 3? 27

B.

6? 2

C.

6? 8

D.

6? 24

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? b) x 2 ? a(b ? 3) x ? b ? 2 的图象过原点,且在 3

原 点 处 的 切 线 斜 率 是 -3 , 则 不 等 式 组 ?

? x ? ay ? 0 所确定的平面区域在 ? x ? by ? 0

x2 ? y 2 ? 4 内的面积为
A.

? 3

B.

? 2

C. ?

D. 2?

二 填空题(本小题满分 20 分) 13.执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为__________。 14 . 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



15. 平面上三个向量 OA 、 满足 | OA |? 1 , 则C OB 、 OA ? OB ? 0 , AC B ? OC , | OB |? 3 , | OC |? 1 , 的最大值是__________。
x 16.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? ax ,若函数在 R 上有且仅有 4

个零点,则 a 的取值范围是__________。 三 解答题(本小题满分 70 分)

17.在 ?ABC 中, AB ?

2 , BC ? 1 , cos C ?

3 . 4

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求 CB ? CA 的值. 23.节日期间,高速公路车辆较多,某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺 序,随机抽取第一辆汽车后,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,

[85,90) , [95,100) , [100,105) , 将他们在某段高速公路的车速 ( km / h ) 分成六段 [80,85) , [90,95) ,

[105,110) 后得到如下图的频率分布直方图.
(1)请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法?并估计出这 40 辆车速的中位数; (2)设车速在 [80,85) 的车辆为 A1 , A2 , , Am ( m 为车速在 [80,85) 上的频数) ,车速在 [85,90) 的车辆为 B1 , B2 , , Bn ( n 为车速在 [85,90) 上的频数) ,从车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 2 辆 共有几种情况?请列举出所有的情况,并求抽取的 2 辆车的车速都在 [85,90) 上的概率.

o 19.已知四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 60 , AB ? EC ? 2,

AE ? BE ? 2 , O 为 AB 的中点.

(Ⅰ)求证: EO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 点 F1 , F2 分别为其左右焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A (? , , ) ,离心率为 2 2 a b 2 2

(2)若 y ? 4 x 上存在两个点 M , N ,椭圆上有两个点 P, Q 满足, M , N , F2 三点共线, P, Q, F2 三
2

点共线,且 PQ ? MN .求四边形 PMQN 面积的最小值.

21.已知函数 f ( x) ? ax ?

a ?1 (a ? R) , g ( x) ? ln x 。 x

(1)若对任意的实数 a,函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x = x0 处的切线斜率总想等,求 x0 的值; (2)若 a > 0,对任意 x > 0 不等式 f ( x) ? g ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22.如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D。

(1)求证:CE = CD · CB; (2)若 AB = BC = 2,求 CE 和 CD 的长。 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为: ? 满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 24.设函数 f ( x) ?| 2 x ? 7 | ?1。 (1)求不等式 f ( x) ?| x ? 1| 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? ax 成立,求实数 a 的取值范围。

2

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点 y ? 2 ? 2sin ? ?

? 与 C1 的异于极点的交点为 A, 3

参考答案 1.B 【解析】

2.C 【解析】 试题分析: 因为复数 a2 ?1 ? (a ? 1)i( a ? R , i 为虚数单位) 是纯虚数” 则可知 a ? 1=0 ? a ? 1 ,a=-1
2

舍去,故可知条件和结论表示的集合相等,因此可知条件是结论成立的充要条件,故选 C. 考点:复数的概念 点评:解决的关键是理解纯虚数的定义,实部为零,虚部不为零,属于基础题。 3.C 【解析】 试题分析:对于 A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 ( x, y ) ,显然成立。 对于 B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值,符合定义。

对于 C.相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱,应该是绝对值越小,相关性越弱,故错误。

对于 D. R ? 1 ?
2

?(y ? y ) ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n i i

n

2

越接近 1,表明回归的效果越好,成立,故选 C.
2

考点:线性回归方程 点评:解决的关键是利用最小二乘法来求解回归的效果,属于基础题。 4.D 【解析】 试题分析:由于将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次,所有的情况有 2 =16 ,那么“至少两次正面向上” 情况有(反 反正 正) (正 正 反 反) (正 反 正 反) (正 反反正) (正 正 正 反) (反 正 正 正) (正 反 正 正) (正 正 反 正) (正 正 正 反) (正 正 正正) ,共有 11 种情况,因此可知其概率 为
4

11 ,选 D. 16

考点:古典概型 点评:解决的关键是理解试验的基本事件空间,然后结合古典概型概率来计算,属于基础题。 5.C

【解析】

1 1 9 a1 ,可得 4 a1?a7=a1,解得 a7= 再由 a4 与 a7 的等差中项为 4 4 8 9 1 1 3 ,可得 2 ? ? a4 ? a7 ,解得 a4=2.设公比为 q,则 =2?q ,解得 q= ,故 a1=16,S5=31,故选 C. 8 4 2
试题分析: :由 a 3a 5 ? 考点:等比数列及等差数列的性质 点评:此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和公 式化简求值,是一道中档题. 6.B 【解析】

(x ? 试题分析:根据题意,由于将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位得到解析式为 y ? sin[2

?
4

)] ,

(x ? 再向上平移 1 个单位得到为 y ? sin[2

?
4

)]+1=2 cos 2 x ,故选 B.

考点:三角函数图像变换 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换和三角函数的倍角公式,属基础题. 7.B 【解析】 试题分析:根据题意可知该三视图还原为几何体为长方体截取了两个四棱锥剩下的部分,因为底面 的边长为 2 的正方形,高为 1,侧面是梯形,上底面积为 1,下底面积为 4,那么侧面积为上底为 1, 下底为 2,高为 2 的两个等腰梯形,加上矩形 2 的面积即为所求,故结果为 8 ? 3 2 ,选 B. 考点:三视图的运用 点评:解决的关键是根据三视图还原几何体,通过几何体的表面积公式来得到求解,属于基础题。 8.A 【解析】

a2 a2 2 2 试题分析:设圆心坐标为( ,a),由于过定点(2,1) ,则其半径为 r ? ( ? 2) ? (a ? 1) , 4 4
那么可知其圆的方程为 ( x ?

a2 2 a2 ) ? ( y ? a)2 ? ( ? 2)2 ? (a ? 1) 2 ,令 x=0,可得关于 x 的一元二次方 4 4

程,结合韦达定理可知弦长为 | AB | =4,故选 A. 考点:直线与圆锥曲线的综合应用 点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲 线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.属于中档题。 9.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于当 a > 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e ,那么可知当 x 在原点右侧附近
2 x





































f ( x) ? (2x ? 2a)ex ? (x 2 ? 2ax)e x ? e x (x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2a) ,,并且不具有奇偶性排除 C,然后根据
当 x 趋近于负无穷大时,趋近于零,排除 D,然后在选项 A,B 中看,由于 x 趋近于正无穷大时,函数 值为正,排除 A,故选 B. 考点:函数的图像 点评:解决的关键是根据函数的值域的范围,通过特殊值法来求解,属于基础题。 10.A 【解析】 2 2 2 2 试题分析:根据是 a、m 的等比中项可得 c2=am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a +b =m +n =c, 2 2 2 2 2 2 根据 n 是 2m 与 c 的等差中项可得 2n =2m +c ,联立方程即可求得 a 和 c 的关系,进而求得离心率 e.

?a2 -b 2 =m2 ? n2 ? c 2 ? 2 c2 1 2 解:根据题意, ?c ? am ? 2m ? ? c 2 ? a 2 ? 4c 2 ? e ? ,故选 A. 2 2 ? 2 n 2 ? 2m 2 ? c 2 ?
考点:椭圆的几何性质 点评:本题主要考查了椭圆的性质,属基础题. 11.C 【解析】 试题分析:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1, 故外接球半径为

4 6 3 6 6 )? ? ,故选 C. ,外接球的体积为 ?( 3 4 8 4

故选 C. 考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 点评:本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.

13.

41 24 1 1 1 ,i=3,p=2 ?3 ; 第三次循环得到:s=1+ + ,i=4,p=2 ? 4 ?3 =24 ; 2 2 2?3

【解析】 根据题意, 由于起始量为 s=0,p=1,i=1,则第一次循环得到: s=1,i=2,p=2; 第二次循环得到: s=1+

第四次循环得到:s=1+

1 1 1 41 + + ,i=5,p=2 ? 4 ?3 ? 5 =120 ;此时输出 s 的值为 2 2 ? 3 24 24 ,故答案

41 为 24 。
试题分析: 考点:程序框图 点评:本题为程序框图题,考查对循环结构的理解和认识,按照循环结构运算后得出结果.属于基 础题 14. 20? 【解析】在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接 圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R ? 5 ,故此球的表面积 为 4? R ? 20? .
2

15.2 【解析】 试题分析:根据题意,平面上三个向量 OA 、 OB 、 OC ,满足 | OA |? 1 , | OB |? 3 , | OC |? 1 ,

OA ? OB ? 0









OA ? OB
2







知 故答

CA ? CB =(OA ? OC ) (OB ? OC ) ? OA OB ? OA OC ? OC OB ? OC ? ?OA OC ? OC OB ? ?OC (OA ? OB) ? ?1? 2 ? cos ? ? 2

案为 2. 考点:向量的数量积 点评:解决的关键是利用向量的夹角和数量积公式,转化为已知向量的关系式来求解,属于基础题。 16. (e, ??) 【解析】
x 试题分析:根据题意,由于函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? ax ,那么

可知当满足函数在 R 上有且仅有 4 个零点则可知 y ? e , y ? ax 有四个不同的交点,只需要考虑在 y
x

轴右侧有两个交点即可, 则可知, 当相切时有一个, 则此时的切点的斜率为 a,即 e =a ? x ? ln a ? 0 ,
x

那么当 x>0 时,则可值只有实数 a 的取值范围是 (e, ??) ,但是端点值不能取到,故答案为 (e, ??) 。 考点:函数的零点与方程的关系 点评:本题考查了函数的零点与方程的关系,函数的零点就是使得函数 y=f(x)的函数值为 0 时的

实数 x 的值.函数的零点 y=f(x)就是方程 f(x)=0 的实数根,从图象上看,函数的零点 y=f(x) 就是它的图象与 x 轴交点的横坐标.因此,函数的零点的研究就可转化为相应函数图象的交点的问 题,数形结合的思想得到了很好的体现 17. (Ⅰ) sin A = 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 在 ?ABC 中,AB ?

3 14 ; (Ⅱ) CB ? CA ? . 2 8

2 , BC ? 1 , cos C ?

3 7 , 可得 c ? 2 , a ? 1 , sin C ? , 4 4

已知两边和其中一边的对角,求另一角,显然符合利用正弦定理来解,由于 a ? 1 ?

2 ? c ,求的是

小边所对的角,故只有一解; (Ⅱ)求 CB ? CA 的值,由于 CB ? CA ? CB ? CA cos C ? ab cos C ,有 题设条件可知, a ? 1 , cos C ?

3 3 ,只需求出 b 的值即可,由已知 c ? 2 , a ? 1 , cos C ? , 4 4

可考虑利用余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 来求,从而求出 CB ? CA 的值. 试题解析: (Ⅰ)易得 sin A =

14 , 8
2 , a ? 1, cos C ? 3 4
, 可得 b ? 2 ,

2 2 2 ( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , c ? a ? b ? 2ab cosC , c ?

3 CB ? CA = a ? b cos C = . 2
考点:解三角形,向量数量级的运算. 18.23. (1)系统抽样, 97.5 ; (2)

2 5

【解析】 试题分析: (1)系统抽样的方法是每间隔一个相同的长度,抽取一个样本.所以本小题符合系统抽样 的方法.通过直方图计算中位数,是指直方图中从左到右直方图的面积为二分之一这条分界线所对的 值,通过运算可求得中位数的估算值. (2)由于车速在 [80,85) 的车辆频率为 0.05,车速在 [80,90) 的车辆的频率为 0.1.所以可求出车速 在这两段上的车辆数.再求出相应的概率即可. (1)此调查公司在抽样中,用到的抽样方法是系统抽样.

2分

∵车速在区间 [80,85) , [85,90) , [90,95) , [95,100) 上的频率分别为 0.05 , 0.1 , 0.2 , 0.3 ; ∴车速在区间 [80,95) 上的频率是 0.35 ,车速在区间 [80,100) 上的频率是 0.65 . ∴中位数在区间 [95,100) 内. 2分

设中位数的估计值是 x , ∴ 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? ( x ? 95) ? 0.06 ? 0.5 . 解之得 x ? 97.5 . ∴中位数的估计值为 97.5 (2)由(1)得 m ? 0.05 ? 40 ? 2 , n ? 0.1? 40 ? 4 . ∴所以车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 2 辆的所有情况是:

6分 8分

A1 A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , B1B2 , B1B3 , B1B4 , B2 B3 , B2 B4 , B3B4 ,共有
15 种情况.
10 分

车 速 都 在 [85,90) 上 的 2 辆 车 的 情 况 有 6 种 . 所 以 车 速 都 在 [85,90) 上 的 2 辆 车 的 概 率 是

6 2 = . 15 5
考点:1.统计的方法.2.统计数表的应用.3.概率的运算. 19. (I)证明:连接 CO

12 分

Q AE ? EB ? 2, AB ? 2
?V AEB 为等腰直角三角形 Q O 为 AB 的中点

? EO ? AB, EO ? 1 ????????2 分
得出 V ACB 是等边三角形 由勾股定理得 EO ? CO ,? EO ? 平面 ABCD

(II)

2 21 。 7

【解析】 试题分析: (I)证明:连接 CO

Q AE ? EB ? 2, AB ? 2
?V AEB 为等腰直角三角形

Q O 为 AB 的中点
? EO ? AB, EO ? 1 ????????2 分
又 Q AB ? BC, ?ABC ? 60
o

? V ACB 是等边三角形

?CO ? 3 ,????????????4 分
又 EC ? 2,

? EC 2 ? EO 2 ? CO 2 ,即? EO ? CO

? EO ? 平面 ABCD ????????6 分
(II)设点 D 到面 AEC 的距离为 h

Q AE ? 2, AC ? EC ? 2

? SV AEC ?

7 ????8 分 2

Q SVADC ? 3 , E 到面 ACB 的距离 EO ? 1
Q VD? AEC ? VE ? ADC
? SV AEC ? h ? SV ADC ? EO ????????????10 分
?h ? 2 21 7 2 21 ????????12 分 7

?点 D 到面 AEC 的距离为

20. (1) 【解析】

x2 ? y2 ? 1 ; (2 ) 4 2 . 2

试题分析: (1)由离心率为 e=

2 ,得到一方程,再由椭圆过点,代入方程,再由 a,b,c 的关系, 2

解方程组,即可得到 a,b,从而求出椭圆方程; (2)按直线 MN 斜率不存在和存在分别讨论:当直线 MN 斜率不存在时,直线 PQ 的斜率为 0,易 得 MN ? 4, PQ ? 2 2 , S ? 4 2 .当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为:y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与

y 2 ? 4 x 联立消去 y,得到 x 的二次方程,运用韦达定理和弦长公式可将 MN 的长用 k 的代数式表示

1 y ? ? ( x ? 1) 出来;此时由于直线 PQ ? MN ,所以 PQ 的方程为: 将它与椭圆方程联立消去 y,得 k
到 x 的二次方程,运用韦达定理和弦长公式可将 PQ 的长用 k 的代数式表示出来;从而四边形面积 S 可表示为 k 的函数,进而就可求出 S 的最小值.

试题解析: (1)由题意得:

c 2 ,得 b ? c ,因为 ? a 2

(?

2 2 3 ) ( )2 2 ? 2 2 ? 1(a ? b ? 0) ,得 c ? 1 , 2 a b

2 所以 a ? 2 ,所以椭圆 C 方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

4分

(2)当直线 MN 斜率不存在时,直线 PQ 的斜率为 0,易得 MN ? 4, PQ ? 2 2 , S ? 4 2 .
2 当 直 线 MN 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 方 程 为 : y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与 y ? 4 x 联 立 得

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ;
令 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ?

4 ? 2 , x1 x2 ? 1 . k2

MN ?

4 ?4, k2

6分

1 y ? ? ( x ? 1) ? PQ ? MN ,? 直线 PQ 的方程为: k
将直线与椭圆联立得, (k ? 2) x ? 4 x ? 2 ? 2k ? 0
2 2 2

2 ? 2k 2 4 x3 x4 ? 2 令 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , x3 ? x4 ? 2 , k ?2 ; k ?2
2 2 (1 ? k 2 ) , PQ ? k2 ? 2
? 四边形 PMQN 面积 S=
2

8分

4 2 (1 ? k 2 ) 2 , k 2 (k 2 ? 2)

令 1 ? k ? t , (t ? 1) ,上式

4 2t 2 4 2t 2 t 2 ?1 ? 1 1 = S? ? 4 2 ? 4 2 (1 ? 2 ) ? 4 2 2 2 (t ? 1)(t ? 1) t ? 1 t ?1 t ?1
所以 S ? 4 2 .最小值为 4 2 12 分

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与圆锥曲线的关系. 21. (1)a-1(2) a ? 1

【解析】

( x )l ? n xfx ? ( )l ? n x ? ( a x ? ) ? ? 1 试题分析:解:(Ⅰ) g 恒 成 立 , g(x) ??1 恒 成 立 即
g (x ) 1. m a x ??

a ? 1 x

2? 方法一: g(x) ??1恒成立,则 g ( 1 ) ? 1 ? ? a ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1
1 ? a [ x ? ( ? 1) ? ] ( x ? 1 ) ? ( a x ? a ?? 1 ) ( x 1 ) 1 a ? 时, g ( x ) ? ? ? 0 ? x ? 1 , x ? ? 1 ? 4? 2 2 x x a

而当 a ? 1

1 x ? ?1 ? ? 0, 则 x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (0,1) 单调递增, a


x?(1 ,? ? ) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (1, ??) 单调递减,

( x ) ? g ( 1 )1 ? ?? 2 a ? 1 则g ,符合题意. m a x
即 g(x) ??1恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ;

6?

2 1 a ? 1 ? a xx ? ? a ? 1( ? a x ? a ?? 1 ) ( x 1 ) ? g ( x ) ? ? a ? ? ? 方法二: , 2? 2 2 2 x x x x

(1)当 a ? 0 时, g ?( x ) ?

x ?1 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g x2

( x ) 在 (0,1) 单调递减,

) , g?( x) ? 0 , 当 x?(1,??

g(x)

在 (1, ??) 单调递增,

则 g ( x)min ? g (1) ? 1 ,不符题意;

1 ? a [ x ? ( ? 1) ? ] ( x ? 1 ) ? ( a x ? a ?? 1 ) ( x 1 ) 1 a ? ( x ) ? ? ? 0 ? x ? 1 , x ? ? 1 ? (2)当 a ? 0 时, g , 2 2 x x a
①若 a ? 0 ,? 1 ?

1 ? 0 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递减;当 x?(1,??) , g?( x) ? 0 , g ( x ) a

( x ) ?? g ( 1 ) 1 ? 2 a ? ? 1 ? a ? 1 单调递增,则 g ,矛盾,不符题意; m a x
②若 a ? 0 , (Ⅰ)若 0 ? a ?

4?

1 1 1 , ?1 ? ? 1, x ? (0,1), g ?( x) ? 0 ; x ? (1, ?1 ? ), g ?( x) ? 0 ; 2 a a 1 1 x ? (?1 ? , ??), g ?( x) ? 0 , ? g ( x) 在 (0,1) 单调递减, g ( x) 在 (1, ?1 ? ) 单调递增, g ( x) 在 a a 1 (?1 ? , ??) 单调递减, g (1) ? 1 ? 2a ? 0 不符合题意; a

(Ⅱ)若 a ? 合题意. (Ⅲ) 若

1 时, x ? (0, ??) , g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, ??) 单调递减, g (1) ? 1 ? 2a ? 0 ,不符 2

1 1 1 1 0 ? ?1 ? ? 1 , x ? (0, ?1 ? ) , ? a ? 1, x ? (?1 ? ,1) , g ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , x ? (1, ??) , a a 2 a 1 1 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ?1 ? ) 单 调 递 减 , 在 ( ?1 ? ,1) 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 单 调 递 减 , a a

g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,与已知矛盾不符题意.
(Ⅳ)若 a ? 1 , ? 1 ?

1 ? 0 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 单调递增; a

) , g?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 单调递减, 当 x?(1,??
则 g ( x) ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意; 综上,得 g(x) ??1恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1

6? 8?

(Ⅱ) 由(I)知,当 a ? 1 时,有 l , x ? 0 ;于是有 ln(1 ? x) ? x , x ? ?1 . n x? x ? 1 则当 x ? 0 时,有
1 1 1 x x l n ( 1)1 ? x ? ? l n ( 1) ? x ? 1( ? 1) ? x ? e10? x

* 在上式中,用 1 , , , , ( n ? N )代换 x ,可得

11 23

1 n

3 4 2 ? e, ( ) 2 ? e, ( )3 ? e, 2 3

n ?1 n (n ? 1) n ,( ) ? e 相乘得 ? en ? n ? 1 ? e n n ! n n!

12?

考点:导数的运用 点评:解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性,以及函数的最值,进而证明不等式, 属于基础题。 22. (1)利用相似三角形来证明线段的对应长度的比值,得到结论。 (2)3- 5 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证明:连接 BE.

∵BC 为⊙O 的切线

∴∠ABC=90°, ?CBE ? ?A ??2 分

OA ? OE,??A ? ?AEO
∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ??4 分 ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE ∴

CE CD ? CB CE

∴CE =CD?CB??6 分 ∴OC= 5 8分 得( 5 -1) =2CD 10 分
2

2

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ∴CE=OC-OE= 5 -1 由(Ⅰ)CE
2

=CD?CB

∴CD=3- 5

考点:相似三角形,切割线定理 点评:解决的关键是能充分的利用三角形的相似以及切割线定理来得到线段的长度比值和求解,属 于基础题。 231. (1) ? 【解析】

? x ? 4cos ? (?为参数);(2) 2 3 . ? y ? 4 ? 4sin ?

?x ? 2 cos ? ? x y ?2 试题分析: (1)设 P(x,y) ,则由条件知 M ( , ) .由于 M 点在 C1 上,所以 ? 从而 y 2 2 ? ? 2 ? 2sin ? ? ?2
求 2 的参数方程; (2) 曲线 C1 的极坐标方程为?=4sin?, 曲线 C2 的极坐标方程为?=8sin?. 射线?= C1 的交点 A 的极径为?1=4sin 求出结果. 试题解析:解: (1)设 P(x,y) ,则由条件知 M ( , ) .由于 M 点在 C1 上,所以

? ? ? , 射线?= 与 C2 的交点 B 的极径为?2=8sin . 所以|AB|=|?2-?1|即可 3 3 3
x y 2 2

? 与 3

?x ? 2 cos ? ? ?2 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
从而 C2 的参数方程为

即?

? x ? 4cos ? ? y ? 4 ? 4sin ?

? x ? 4cos ? (?为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
射线?=

5分

(2)曲线 C1 的极坐标方程为?=4sin?,曲线 C2 的极坐标方程为?=8sin?.

? ? 与 C1 的交点 A 的极径为?1=4sin , 3 3 ? ? 射线?= 与 C2 的交点 B 的极径为?2=8sin . 3 3
所以|AB|=|?2-?1|= 2 3 . 10 分.

考点:1.参数方程;2.极坐标. 24. (1) ?3,5? (2) a ? 【解析】 试题分析:解: ( 1) 2 x ? 7 ? 1 ? x ? 1 当 x ? 1 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ?( x ? 1) 解得 x ? 7 ? x 不存在

2 或a ? ?2 7

7 7 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) 解得 x ? 3 ? 3 ? x ? 2 2 7 7 当 x ? 时, (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) 解得 x ? 5 ? ? x ? 5 2 2
当1 ? x ? 综上不等式的解集为 ?3,5? (2) 2x ? 7 ? 1 ? ax

5?

7 , (a ? 2) x ? 6 ? 0能成立, 2 若a ? 2 ? 0,则a ? 2满足 7 2 若a ? 2 ? 0,则( a ? 2) ? 6 ? 0解得 ? a ? 2 2 7 2 ?a ? 7 7 当 x ? 时, (a ? 2) x ? 8 ? 0能成立, 2 若a ? 2 ? 0,则a ? ?2满足 若a ? 2 ? 0,则a ? ?2不满足 7 2 若a ? 2 ? 0,则( a ? 2) ? 8 ? 0解得 a ? 2 7 2 ? a ? 或a ? ?2 7
当x?

综上, a ? 另解:

2 或a ? ?2 7

10?

画出 f ( x) ? 2x ? 7 ? 1的图象,如下所示

若 f ( x) ? ax 有解,则 a ?

2 或a ? ?2 7

10?

考点:绝对值不等式 点评:考查了绝对值不等式的求解,利用三段论思想来求解,同时能利用绝对值的定义来去掉绝对 值来求解不等式,属于基础题。 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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