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3.2独立性检验的思想及应用(二)


3.2独立性检验的 基本思想及其初 步应用(二)

通过图形直观判断两个分类变量是否相关: 1、列联表 2、三维柱形图
不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

3、二维条形图
8000 7000 6000 不患肺癌 患肺癌

5000
4000

不吸烟 不患肺癌 患肺癌

3000 2000 1000

吸烟

从三维柱形图能清晰看出 各个频数的相对大小。

0

不吸烟

吸烟

从二维条形图能看出,吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。

4、等高条形图
1 0.9

0.8

患肺癌 比例

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

不患肺癌 比例
不吸烟
不吸烟

0.1

0

吸烟

吸烟

等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。

5、独立性检验
2 n ( ad bc ) 随机变量-----卡方统计量 K 2 = , (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

临界值表
P(K2 ? k0 ) 0.50
0.40 0.708

其中n = a + b + c + d 为样本容量。
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

k0

0.455

K 2 ? 10.828

0.1%把握认为A与B无关
1%把握认为A与B无关

99.9%把握认A与B有关 99%把握认为A与B有关 90%把握认为A与B有关

K 2 ? 6.635

K 2 ? 2.706
K 2 ? 2.706

10%把握认为A与B无关

没有充分的依据显示A与B有关,但也不能显示A与B无关

6、独立性检验的步骤
第一步:H0: 吸烟和患病之间没有关系 第二步:列出2×2列联表
患病
吸烟 不吸烟 总计 a c a+c
2

不患病
b d b+d
2

总计
a+b c+d a+b+c+d

第三步:计算

n(ad ? bc) K ? (a ? c)(b ? d )( a ? b)(c ? d )

第四步:查对临界值表,作出判断。
P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

反证法原理与假设检验原理 反证法原理:
在一个已知假设 下,如果推出一 个矛盾,就证明 了这个假设不成 立。

假设检验原理:
在一个已知假设 下,如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生, 就推断这个假设 不成立。

例1 在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214 人秃顶;而另外 772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效? 解:根据题目所给数据得到如下列联表:
秃顶 不秃顶 总计
患心脏病 600 500 400 300 200 100 0 214 175 451

患心脏病 214 451 665
患其他病 597

不患心脏病 175 597 772

总计 389 1048 1437

患其他病

秃头 不秃头

患心脏病

相应的三维柱形图如图所 示, 比较来说 ,底面副对 角线上两个柱体高度的乘 积要大一些 ,因此可以在 某种程度上 认为 “秃顶与 患心脏病有关”。

例1 在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214 人秃顶;而另外 772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效? 解:根据题目所给数据得到如下列联表:
秃顶 不秃顶 总计 患心脏病 214 451 665 不患心脏病 175 597 772 总计 389 1048 1437

根据联表1-13中的数据,得到
2 1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451) 2 K ? ? 16.373 ? 6.635. 389 ?1048 ? 665 ? 772

所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。

因为这组数 据来自住院 的病人,因 ① 在解决实际问题时,可以直接 此所得到的 计算 K 2 的观测值 k 进行独立检 结论适合住 验,而不必写出K2的推导过程 。 院的病人群 ② 本例中的边框中的注解,主要 体. 是使得学生们注意统计结果的 适用范围(这由样本的代表性 所决定)。

例1.秃头与患心脏病

例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下联表:
男 女 总计 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 37 85 35 143 72 228 总计 122 178 300

由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗?请详细阐述得出 结论的依据。
解:可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。 分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生 人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。 a 如果性别与是否喜欢数学课有关系,则男生中喜欢数学课的比例 a ? b c 与女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多,即
c?d

?

(a ? b ? c ? d )(a ? b)(c ? d ) a c ad ? bc ? ? ? a?b c?d (a ? b)(c ? d ) (a ? c)(b ? d )

例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下联表:
男 女 总计 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 37 85 35 143 72 228 总计 122 178 300

由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗?请详细阐述得出 结论的依据。
n(ad ? bc) (a ? b ? c ? d )(a ? b)(c ? d ) ? K 2 ? , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) (a ? c)(b ? d )
2

?

K 2 越大, “性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。 因此,
另一方面,在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下,事件

{K 2 ? 3.841} 的概率为

P( K 2 ? 3.841) ? 0.05,
2

因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得 K 的观测值k=4.514,即 小概率事件A发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立, 并且这种判断结果出错的可能性约为5%。所以,约有95%的把握认为“性 别与喜欢数学课程之间有关系”。

例4:为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效 与无效)是否有关,进行了相应的抽样调查,调查的结果列 在表中,根据所选择的193个病人的数据,能否作出药的效果 和给药方式有关的结论?
有效 口服 注射 合计 58 64 122 无效 40 31 71 合计 98 95 193

P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15
k0

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解:设H0:药的效果与给药方式没有关系。
2

193?58 ? 31 ? 64 ? 40? 2 K ? ? 1.3896 122 ? 71? 98 ? 95 因当H0成立时,K2≥1.3896的概率大于15%,故不能否定假设 H0,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。

例5:气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比, 所得数据如表所示,问:它们的疗效有无差异?
有效 复方江剪刀草 胆黄片 合计 184 91 275 无效 61 9 70 合计 245 100 345

P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15
k0

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解:设H0:两种中草药的治疗效果没有差异。
2

345?184 ? 9 ? 61? 91? 2 K ? ? 11.098 275 ? 70 ? 245 ?100

因当H0成立时,K2≥10.828的概率为0.001,故有99.9%的把握 认为,两种药物的疗效有差异。

例6、某校高三年级在一次全年级的大型考试中,数学成绩优 秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分也为优秀的人数如下 表所示,则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系 较大?
数学优秀 数学非优秀 物理 228 143 化学 225 156 总分 267 99

注:该年级此次考试中,数学成绩优秀的有360人,非优 秀的有880人。
(1)列出数学与物理优秀的2x2列联表如下 数学优秀 数学非优秀 合计 物理优秀 228 143 371 物理非优秀 132 737 869 合计 360 880 1240

代入公式可得

K 2 ? 270.1143.

物理 数学优秀 数学非优秀 228 143

化学 225 156

总分 267 99

注:该年级此次考试中,数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人。

(2)列出数学与化学优秀的2x2列联表如下 化学优秀 化学非优秀 225 135 数学优秀 156 724 数学非优秀 859 合计 381
代入公式可得

合计 360 880 1240

K 2 ? 240.6112.
总分优秀 267 99 366 总分非优秀 93 781 874 合计 360 880 1240

(3)列出数学与总分优秀的2x2列联表如下

数学优秀 数学非优秀 合计
代入公式可得

K 2 ? 2486.1225.


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