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2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第2讲 数列的综合应用


2014 届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第 2 讲 数列的综合应用

数列求和 一、基础知识要记牢 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项 相消法、分组法、倒序相加法和并项法等. 二、经典例题领悟好 [例 1] 已知函数 f(x)=x2+bx 为偶函数,数列{an}满足 an+1=2f(an-1)+1,且 a1=3, an>1. (1)设 bn=log2(an-1),求证:数列{bn+1}为等比数列; (2)设 cn=nbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [解] (1)∵函数 f(x)=x2+bx 为偶函数,∴b=0,

∴f(x)=x2, ∴an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1, ∴an+1-1=2(an-1)2. 又 a1=3,an>1,bn=log2(an-1),∴b1=log2(a1-1)=1, ∴ bn+1+1 log2?an+1-1?+1 log2[2?an-1?2]+1 2+2log2?an-1? = = = =2, bn+1 log2?an-1?+1 log2?an-1?+1 log2?an-1?+1

∴数列{bn+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)得,bn+1=2n,∴bn=2n-1, ∴cn=nbn=n2n-n, 设 An=1×2+2×22+3×23+?+n· 2n, 则 2An=1×22+2×23+3×24+?+n· 2n 1,


∴-An=2+2 +2 +?+2 -n· 2 ∴An=(n-1)2n 1+2.


2

3

n

n+1

2?1-2n? + + + = -n· 2n 1=2n 1-n· 2n 1-2, 1-2

n?n+1? 设 Bn=1+2+3+4+?+n,则 Bn= , 2 n?n+1? + ∴Sn=An-Bn=(n-1)2n 1+2- . 2 ?1?利用错位相减法求和时,应注意:①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应注意两式 “错项对齐”;②当等比数列的公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论.

?2?利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项,也可能前 面剩两项,后面也剩两项. 三、预测押题不能少 1.设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,且 3a2 是 a1+3 和 a3+4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; an 1 (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< . 2 ?an+1??an+1+1? a +a +a =7, ? ? 1 2 3 解:(1)由已知,得??a1+3?+?a3+4? =3a2. ? 2 ? 解得 a2=2. 设数列{an}的公比为 q,则 a1q=2, 2 ∴a1= ,a3=a1q2=2q. q 2 由 S3=7,可知 +2+2q=7, q ∴2q2-5q+2=0, 1 解得 q1=2,q2= . 2 由题意,得 q>1,∴q=2.∴a1=1. 故数列{an}的通项公式为 a2=2n 1.


2n 1 an 1 1 (2)证明:∵bn= = - = - - , ?an+1??an+1+1? ?2n 1+1??2n+1? 2n 1+1 2n+1


1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn =?20+1-21+1? +?21+1-22+1? + 2 - 3 + ? +?2n-1+1-2n+1? = ? ? ? ? 2 +1 2 +1 ? ? 1+1 - 1 1 1 1 = - < . 2n+1 2 2n+1 2 数列在实际问题中的应用 一、经典例题领悟好 [例 2] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产, 该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%,预计以后每年资金年增长率与第一年 的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下 一年生产,设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元, 试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示).

[解]

(1)由题意得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,

3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4 500- d. 2 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 (2)由(1)得 an= an-1-d 2 3 3 a - -d?-d = ? 2?2 n 2 ? 3?2 3 =? ?2? an-2-2d-d ?

? 3 ? 3? 3?n-1 ? 3? ??? ? ? =? ? ?2? a1-d ?1+ 2 ? ? ? 2? ? 2? ? ?
2

n-2

? ?. ? ?

3?n-1 ?3?n-1 ?3?n-1 整理得 an=? ?2? (3 000-d)-2d?2? -1=?2? (3 000-3d)+2d. 3?m-1 由题意,am=4 000,即? ?2? (3 000-3d)+2d=4 000.

?3?m-2×1 000 + ?2? 1 000?3m-2m 1? 解得 d= = . 3m-2m ?3?m-1 ?2?
1 000?3m-2m 1? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 3m-2m


4 000 万元.

数列应用题常见模型 (1)等差模型:即问题中增加(或减少)的量是一个固定量,此量即为公差. (2)等比模型:即问题中后一量与前一量的比是固定常数,此常数即为公比. (3)an 与 an+1 型,即问题中给出前后两项关系不固定,可考虑 an 与 an+1 的关系. 二、预测押题不能少 2.某个集团公司下属的甲、乙两个企业在 2013 年 1 月的产值都为 a 万元,甲企业每个 月的产值比前一个月的产值增加的数值相等, 乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的 百分数相等,到 2014 年 1 月两个企业的产值又相等. (1)到 2013 年 7 月,试比较甲、乙两个企业的产值的大小,并说明理由; (2)甲企业为了提高产能,决定用 3.2 万元买一台仪器,从 2014 年 2 月 1 日投放使用, 从启用的第一天起连续使用,第 n 天的维修保养费为 n+49 元(n∈N*),求前 n 天这台仪器的 10

日平均耗资(含仪器的购置费),并求日平均耗资最小时使用了多少天. 解:(1)到 2013 年 7 月甲企业的产值比乙企业的产值大.理由如下: 设从 2013 年 1 月到 2014 年 1 月甲企业每个月的产值(单位:万元)分别是 a1,a2,?, a13,乙企业每个月的产值(单位:万元)分别是 b1,b2,?,b13,由题意知{an}成等差数列, 1 {bn }成等比数列,∴a7= (a1+a13),b7= b1b13. 2 ∵a1=b1,a13=b13, 1 ∴a7= (a1+a13)> a1a13= b1b13=b7, 2 即 2013 年 7 月甲企业的产值比乙企业的产值大. (2)设一共用了 n 天,则 n 天的平均耗资为 p(n)元,

3.2×104+ 则 p(n)=
4

?5+n+49?n 10 ? ?
2 n

3.2×104 n 9.9 = + + . n 20 2

3.2×10 n 当且仅当 = ,即 n=800 时,p(n)有最小值,故日平均耗资最小时使用了 800 n 20 天.

数列中的综合问题,大多与函数、方程、不等式及解析几何交汇,考查利用函数与方程 的思想及分类讨论思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的方法研究数列的性质, 数列 与解析几何交汇,主要涉及点列问题.

数列与不等式的交汇 一、经典例题领悟好 [例 1] (2013· 湖北高考)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +?+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am 说明理由. (1)学审题——审条件之审视结构 条件― →求出 a1,q 的值― →写出{an}的通项公式. (2)学审题——审条件之审视结构

?1? 放缩法 数列{an}通项公式― →数列?a ?的类型― →求其和― ― →数列和范围― →结论. ? n?

用“思想”——尝试用“分类讨论思想”解题
3 3 ? ? ?a1=3, ?a1q =125, ? (1)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得 解得? 2 ?|a1q-a1q |=10, ? ?

5



?q=3,

? ?a1=-5, ? ?q=-1. ?

5 n-1 - 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n 1. 3 5 n-1 1 3 ?1?n-1 ?1? 3 1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ,故?a ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 an 5 ?3? 5 3 ? n? 3 ? ?1?m? ·1- 1 5 ? ?3? ? 9 ? ?1?m? 9 从而 ? = = · 1- < <1. 1 10 ? ?3? ? 10 n=1 an 1- 3
m

1 1 ?1? 1 - - 若 an=-5· (-1)n 1,则 =- (-1)n 1,故?a ?是首项为- ,公比为-1 的等比数列, an 5 5 ? n?
* ? 1 1 ?-5,m=2k-1?k∈N ?, 从而 ? =? n=1 an ? ?0,m=2k?k∈N*?, m m

故?

m

n=1

1 <1. an

综上,对任何正整数 m,总有 ?

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + +?+ ≥1 成立. a1 a2 am

?1?数列与不等式的综合问题考查有: ①判断数列问题中的一些不等关系; ②以数列为载体,考查不等式的恒成立问题; ③考查与数列问题有关的不等式的证明问题; ④有关的最值问题. ?2?在数列中应用分类讨论思想的常见题目类型: ①公比q的值不明确,求和时对q是否为1讨论; ②用n表示an和Sn时,对n分n=1与n≥2讨论; ③对项数n的奇偶性讨论. 二、预测押题不能少 1.已知等比数列{an}满足 an+1+an=9· 2n 1,n∈N*.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N*恒成立,求实数 k 的

取值范围. 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9· 2n 1,n∈N*,


∴a2+a1=9,a3+a2=18, a3+a2 18 ∴q= = =2, a2+a1 9 ∴2a1+a1=9,∴a1=3. ∴an=3· 2n 1,n∈N*,经验证,满足题意.


a1?1-qn? 3?1-2n? (2)由(1)知 Sn= = =3(2n-1), 1-q 1-2 1 - ∴3(2n-1)>k· 3· 2n 1-2,∴k<2- n-1. 3· 2 1 令 f(n)=2- n-1,则 f(n)随 n 的增大而增大, 3· 2 1 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = . 3 3 5 ∴k< . 3 5? ∴实数 k 的取值范围为? ?-∞,3?. 数列与解析几何的交汇

一、经典例题领悟好 [例 2] (2013· 成都市检测)设函数 f(x)=x2,过点 C1(1,0)作 x 轴的垂线 l1 交函数 f(x)的图 像于点 A1,以 A1 为切点作函数 f(x)图像的切线交 x 轴于点 C2,再过 C2 作 x 轴的垂线 l2 交函 数 f(x)图像于点 A2,?,以此类推得点 An,记 An 的横坐标为 an,n∈N*. (1)证明数列{an}为等比数列并求出其通项公式; (2)设直线 ln 与函数 g(x)=log 1 x 的图像相交于点 Bn,记 bn= OAn · OBn (其中 O 为坐
2

标原点),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解]
1). 2 (1)证明:以点 An-1(an-1,a2 n-1)(n≥2)为切点的切线方程为 y-an-1=2an-1(x-an-

1 1 当 y=0 时,得 x= an-1,即 an= an-1. 2 2 又∵a1=1, 1 ∴数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2

1?n-1 ∴通项公式为 an=? ?2? .

?1?n-1 ? (2)据题意,得 Bn? ??2? ,n-1?.
1?n-1 ?1?n-1 1?n-1 ∴bn= OAn · (n-1)=n? OBn =? ?4? +?4? · ?4? . 1?0 ?1?1 ?1?n-1 ∵Sn=1×? ?4? +2×?4? +?+n×?4? , 1?1 1 ?1?2 ?1?n S =1×? ?4? +2×?4? +?+n×?4? , 4 n 1?n 1-? 4? ? 1 1 1 1 1?n 3 - ?0 ? ?1 ? ?n 1 ? ?n 两式相减,得 Sn=1×? -n×? ?4? +1×?4? +?+?4? -n×?4? = ?4? . 4 1 1- 4 16 4n 16? ?1?n 16 3n+4 + × 化简,得 Sn= -? = - . 9 ? 3 9 ? ?4? 9 9×4n-1

对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,结合图形,得出关于数列相邻 项 an 与 an+1 之间的关系.根据这个关系和所求内容变形,得出通项公式或其他所求结论. 二、预测押题不能少 2.已知点 A(1,0),B(0,1)和互不相同的点 P1,P2,P3,?,Pn,?,满足 OPn =an OA +bn OB (n∈N*),其中{an},{bn}分别为等差数列和等比数列,O 为坐标原点,若 P1 是线 段 AB 的中点. (1)求 a1,b1 的值. (2)点 P1,P2,P3,?,Pn,?能否在同一条直线上?请证明你的结论. 1 1 解:(1)由 P1 是线段 AB 的中点? OP = OA + OB , 1 2 2

OA +b1 OB ,且 OA , OB 不共线, 又 OP 1 =a1
1 由平面向量基本定理,知 a1=b1= . 2 (2)由 OPn =an OA +bn OB (n∈N*)? OPn =(an,bn), 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则由于 P1,P2,P3,?,Pn,?互不相同,所以 d =0,q=1 不会同时成立. 1 若 d=0,则 an=a1= (n∈N*) 2 1 ?P1,P2,P3,?,Pn,?都在直线 x= 上; 2 1 若 q=1,则 bn= 为常数列 2

1 ?P1,P2,P3,?,Pn,?都在直线 y= 上; 2 若 d≠0 且 q≠1,P1,P2,P3,?,Pn,?在同一条直线上? Pn-1 Pn =(an-an-1,bn- bn-1)与 Pn Pn+1 =(an+1-an,bn+1-bn)始终共线(n>1,n∈N*) ?(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0 ?d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 ?bn+1-bn=bn-bn-1?q=1,这与 q≠1 矛盾, 所以当 d≠0 且 q≠1 时,P1,P2,P3,?Pn,?不可能在同一条直线上.

1.(2013· 郑州质检)设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) B.20 D.24

A.18 C.22

解析:选 B 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0.由于 a11=a1+(11-1)×d,所以 a1=a11 +(1-11)×d=0+(-10)×(-2)=20. 2.(2013· 浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1(n∈N*且 n≥2),则 a81=( A.638 C.640 B.639 D.641 )

解析:选 C 由已知 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1,可得 Sn- Sn-1=2,∴{ Sn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,故 Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2, ∴a81=S81-S80=1612-1592=640. 3.(2013· 济南模拟)数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前 12 项和等于 ( ) A.76 C.80 B.78 D.82


解析:选 B 由已知 an+1+(-1)nan=2n-1,得 an+2+(-1)n 1an+1=2n+1,得 an+2+ an=(-1)n(2n-1)+(2n+1). 取 n=1,5,9 及 n=2,6,10, 结果相加可得 S12=a1+a2+a3+a4+? +a11+a12=78. 1 4.已知曲线 C:y= (x>0)及两点 A1(x1,0)和 A2(x2,0),其中 x2>x1>0.过 A1,A2 分别作 x x

轴的垂线,交曲线 C 于 B1,B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3(x3,0),那么( x3 A.x1, ,x2 成等差数列 2 C.x1,x3,x2 成等差数列 x3 B.x1, ,x2 成等比数列 2 D.x1,x3,x2 成等比数列
1 2

)

1? ? 1? 解析:选 A 由题意,B1,B2 两点的坐标分别为? ?x1,x ?,?x2,x ?, 1 1 所以直线 B1B2 的方程为 y=- (x-x1)+ , x1x2 x1 令 y=0,得 x=x1+x2, x3 ∴x3=x1+x2,因此,x1, ,x2 成等差数列. 2 5.(2013· 江西宜春模拟)如图所示,当 n≥2 时,将若干点摆成三角形图案,每条边(包 括两个端点)有 n 个点,若第 n 个图案中总的点数记为 an,则 a1+a2+a3+?+a10=( )

A.126 C.136

B.135 D.140

解析:选 C 由已知图形可知,当 n≥2 时,an=3(n-1),∴a1+a2+a3+?+a10=1+ 9×?3+27? 3+6+?+27=1+ =136. 2 6.(2013· 辽宁省五校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a4-1)3+2 013(a4-1) =1,(a2 010-1)3+2 013(a2 010-1)=-1,则下列结论中正确的是( A.S2 013=2 013,a2 010<a4 B.S2 013=2 013,a2 010>a4 C.S2 013=2 012,a2 010≤a4 D.S2 013=2 012,a2 010≥a4 解析: 选 A 设 f(x)=x3+2 013x, 显然 f(x)为奇函数和增函数, 由已知得 f(a4-1)=-f(a2
010 - 1) ,所 以

)

f(a4 - 1) = f( - a2

010 + 1) , a4 - 1 =- a2 010 + 1 , a4 + a2 010 = 2 , S2 013 =

2 013?a1+a2 013? =2 013;显然 1>-1,即 f(a4-1)>f(a2 010-1),又 f(x)为增函数, 2 故 a4-1>a2 010-1,即 a4>a2 010. 7.函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k ∈N*,若 a1=16,则 a1+a3+a5=________. 解析:∵y′=2x,∴k=y′| x=ak=2ak, 故切线方程为 y-a2 k =2ak(x-ak),

1 1 令 y=0 得 x= ak,即 ak+1= ak. 2 2 1 ∴{an}是以 16 为首项, 为公比的等比数列, 2

?1?n-1. 即 an=16· ?2?
∴a1+a3+a5=16+4+1=21. 答案:21 8.(2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植 树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 解析:设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题意可知它是等比数列,且首项为 2, 2?1-2n? 公比为 2,所以由题意可得 ≥100,即 2n≥51,而 25=32,26=64,n∈N*,所以 n≥6. 1-2 答案:6 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴当 n≥2 时, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2n 1+2n 2+?+22+2+2=
- -

2-2n +2 1- 2

=2n. 当 n=1 时,a1=2 也适合上式, 2-2n 1 n+1 ∴an=2n(n∈N*).∴Sn= =2 -2. 1-2


答案:2n 1-2


10.(2013· 惠州市调研)已知向量 p=(an,2n),向量 q=(2n 1,-an+1),n∈N*,向量 p 与


q 垂直,且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log2an+1,求数列{an· bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵向量 p 与 q 垂直, ∴2nan+1-2n 1an=0,即 2nan+1=2n 1an,
+ +



an+1 =2,∴{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, an


∴an=2n 1. (2)∵bn=log2an+1,∴bn=n,∴an· bn=n· 2n 1,


∴Sn=1+2· 2+3· 22+4· 23+?+n· 2n 1,①


∴2Sn=1· 2+2· 22+3· 23+4· 24+?+n· 2n,②

①-②得, -Sn=1+2+22+23+24+?+2n 1-n· 2n




1-2n -n· 2n=(1-n)2n-1, 1-2

∴Sn=1+(n-1)2n. 11.(2013· 南昌市模拟)设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,若{an}和{ Sn}都是等差数列, 且公差相等. (1)求{an}的通项公式; 24bn (2)若 a1,a2,a5 恰为等比数列{bn}的前三项,记数列 cn= ,数列{cn}的前 n ?12bn-1?2 项和为 Tn.求证:对任意 n∈N*,都有 Tn<2. 解:(1)设{an}的公差为 d, 则 Sn= 又 d= d d 2 ? n +?a1-2? ?n= 2 d 1 ,所以 d= , 2 2 d d · n,且 a1- =0. 2 2

2n-1 d 1 a1= = ,an= . 2 4 4 2×3n 1 - (2)证明:易知 bn= ×3n 1,∴cn= n . 4 ?3 -1?2 2×3n 2×3n 2×3n 1 1 1 当 n≥2 时, n < = = - - , - ?3 -1?2 ?3n-1??3n-3? ?3n-1??3n 1-1? 3n 1-1 3n-1


1 ? ? 1 1 2×32 2×3n 3 ?1 3 - 3 ? +? + ∴当 n≥2 时,Tn= + 2 + ? + + 2 2 n 2 < + 2- 2 3 -1? ?3 -1 3 -1? 2 ?3 -1? ?3 -1? 2 ? 1 1 1 3 - =2- n <2,且 T1= <2, - 2 3n 1-1 3n-1 3 -1 故对任意 n∈N*,都有 Tn<2. 12.(2013· 湖北襄阳调研)已知数列{an},如果数列{bn}满足 b1=a1,bn=an+an-1,n≥2, n∈N*,则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”. (1)若数列{an}的通项为 an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}的通项为 cn=2n+b(其中 b 是常数),试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是 否是等差数列,请说明理由; (3)已知数列{dn}的通项为 dn=2n+n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)当 n≥2 时,bn=an+an-1=2n-1, 当 n=1 时,b1=a1=1 适合上式, ∴bn=2n-1(n∈N*).

? ?2+b,n=1, (2)qn=? ?4n+2b-2,n≥2, ?

当 b=0 时,qn=4n-2,由于 qn+1-qn=4,所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等 差数列. 当 b≠0 时,由于 q1=c1=2+b,q2=6+2b,q3=10+2b,此时 q2-q1≠q3-q2,所以 数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列. 综上,当 b=0 时,{qn}是等差数列;当 b≠0 时,{qn}不是等差数列.
? ?3,n=1, (3)pn=? n-1 ?3· 2 +2n-1,n≥2, ?

当 n>1 时,Tn=3+(3· 2+3)+(3· 22+5)+?+(3· 2n 1+2n-1),


∴Tn=3+3(2+22+23+?+2n 1)+(3+5+7+?+2n-1)=3· 2n+n2-4.


又 n=1 时,T1=3,适合上式, ∴Tn=3· 2n+n2-4.


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