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高三数学典型例题1 导数的应用


高三数学典型例题一 导数的应用(文)

例 1、 求函数 、

的值域.

例 2、把长度为 16cm 的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积之和的最小值 、 为多少? 例 3、 、 如图所示, 在二次函数 f(x)=4x-x2 的图象与 x 轴所围成图形中有个内接矩形 ABCD, 求这个矩形面积的最大值。

例 4、一种变压器的铁心的截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字型应具有 cm2 的面积,问应如何设计正十字型的宽及长 y,才能使其外接圆的周长最短,这 样使绕在铁心上的钢线最省.

例 5、证明:在杨辉三角中,若行数 P 是质数,则 p 整除 p 行中除 1 以外的所有数. 、 例 1、分析:求函数的值域以前学过一些方法,也可利用求导的方法,根据函数的单调 、 性求解.

解答: 函数的定义域由

求得,即 x≥-2.

1

当 x>-2 时,y′>0,即函数 f(-2)=-1,∴ 所求函数的值域为[-1,+∞). 点评:

,在(-2,+∞)上是增函数,又

(1)从本题的解答过程可以看到,当单调区间与函数的值域相同时,才可使用此 法,否则会产生错误.

(2)求值域时,当 x=-2,函数不可导,但函数 上是连续的,函数图象是连续变化的,因此在 x=-2 时,取得最小值. 例 2、分析:建立面积和与一正方形的周长的函数关系,再求最小值. 、 解答: 设一段长为 xcm,则另一段长(16-x)cm.

在[-2,+∞)

∴面积和

∴S′= 列表:

-2,令 S′=0 有 x=8.

x S′

(0,8) -

8 0

(8,16) +

∴当 x=8 时,S 有最小值 8cm2. 点评:这是解实际应用题的一般方法.先构造函数关系,再求满足条件的解,极值或最 值. 例 3、解析:设点 B 的坐标为(x,0)且 0<x<2, 、解析: ∵f(x)=4x-x2 图象的对称轴为 x=2, ∴点 C 的坐标为(4-x,0), ∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。 ∴矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)
2

令 y'=0,解得

,∵ 0<x<2, ∴取



∵极值点只有一个,当

时,矩形面积的最大值

例 4、分析:这是一个最值的综合应用问题,首先需由题意得到一个函数,再确定它的 、 极值与最值.本题可用 x、y 表示外接圆半径 R,再求 R 取最小值时 x、y 的大小.

解答: 设外接圆半径为 R,则

令 f′(x)=0 有 x=2 或 x=-2(舍去)∴x=2,y= 小值,

+1 时,R2 有最小值,即 R 有最

从而周长也最小为 点评:这里同样需间接设变量求最值.

例 5、分析:第 p 行中的数为 、

用组合数的计算公式证明.

证明:在第 p 行中除去 1 外的所有数可用

表示

而 又 p>k 且 p 为质数,故 p 不会被 2,3,…,k 整除.



中一定含有因数 p,故 p 整除第 p 行中除数 1 外的所有数.
3

高考解析
本章节内容能体现数学在实际中的应用, 能体现生活中的数学, 能考察学生的动手能力, 思维转化能力,是高考的重点知识点.本章节着重注意导数在求最值中的应用.

例、已知向量 函数,求 t 的取值范围.

在区间(-1,1)上是增

分析:本题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运 用基本函数的性质分析和解决问题的能力.

解法 1:依定义

开口向上的抛物线,故要使

在区间

(-1,1)上恒成立

解法 2:依定义

的图象是开口向下的抛物线,

4


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