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2015届高考数学大一轮复习 课时训练12 函数模型及其应用 理 苏教版


课时跟踪检测(十二)

函数模型及其应用

(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1. (2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费; 超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘 坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 2.某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层,每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所 去的楼层.假设乘客每向下步行 1 层的“不满意度”增量为 1,每向上步行 1 层的“不满意 度”增量为 2,10 人的“不满意度”之和记为 S.则 S 最小时, 电梯所停的楼层是________层. 3.一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸 水从洞中流出. 若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v, 则函数 v=f(h)的大致图像可能 是图中的________.

4.如图,书的一页的面积为 600 cm ,设计要求书面上方空出 2 cm 的边, 下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、 宽应分别为________. 5.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额 为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%, 八月份销售额比七月份递增 x%, 九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 6.(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年 医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方案, 该方案要求同时具备下 列三个条件:①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗 费用不得低于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x +4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x-2ln x+a(a 为常数)作为报销方案,请你确定整 数 a 的值(参考数据:ln 2≈0.69,ln 10≈2.3).
2

2

1

7.(2013·苏北四市统考)某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼, 规划要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米. 已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的解析式;(总开发费用 =总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?

8.(2014·南通一调)将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 1 h,种植一捆沙棘树苗用时 5 2

h.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 h 后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 h, 5 2 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 h,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继续种 3 植,求植树活动所持续的时间.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014·扬州期末)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职 工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.若建造 宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p= (0≤x≤8),若距 3x+5 离为 1 km 时,测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条 道路,已知购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设函数 f(x)为建造宿 舍与修路费用之和. (1)求 f(x)的解析式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求出最小值.

k

2

2.(2014·苏州一调)如图, 有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯, 其照射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P, Q 分别在边 BC,

CD 上),设∠PAB=θ ,tan θ =t.
(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少平方百米?

3.(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距 500 km,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州, 规定速度不得超过 100 km/h.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部 分组成:可变部分与速度 v km/h 的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元(a>0). (1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

4.(2014·镇江质检)有一海湾,海岸线为近似半个椭圆(如图),椭圆长轴端点分别为

A,B.A,B 间的距离为 3 km,椭圆焦点分别为 C,D.C,D 间的距离为 2 km,在 C,D 处分别
有甲、乙两个油井,现准备在海岸线上建一度假村 P,不考虑风向等因素影响,油井对度假 村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为 k1),与距离的平方成反比(比例系 数都为 k2),又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的 8 倍. (1)设乙油井排出的废气浓度为 a(a 为常数),度假村 P 距离甲油 井 x km,度假村 P 受到甲、乙两油井的污染程度和记为 f(x),求 f(x) 的解析式并求其定义域; (2)度假村 P 距离甲油井多少时,甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小?

3

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷



1.解析:当恰好行驶 8 km 时,需要付费 1+8+2.15×5=19.75 元,而现在付出费用 为 22.6 元,所以用 22.6-19.75=2.85,故多行 1 km,即实际行驶 9 km. 答案:9 2.解析:设所停的楼层为 n 层,则 2≤n≤12,由题意得:S=2+4+?+2(12-n)+1 +2+3+?+(n-2)= -n 2 - 2n +

n-

+ n- 2

3 2 53 = n - n+157, 2 2

53 * 其对称轴为 n= ∈(8,9),又 n∈N 且 n 离 9 的距离较近. 6 答案:9 3.解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时, 2 体积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2 答案:② 4.解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S=(a-2 -1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486 cm . 答案:30 cm,20 cm 5.解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%) ,则一月份 到十月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%) ],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%) ≥66, 令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 6 11 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ , 5 解得 x≥20. 答案:20 6.解:(1)y=0.05(x +4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①; 当 x=10 时,y 有最大值 7.4,小于 8,满足条件③; 29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y≥ 不恒成立,不满足条件②, 20 2 2
4
2 2 2 2 2 2 2

H

H

H

故该函数模型不符合该单位报销方案. (2)对于函数模型 y=x-2ln x+a, 设 f(x)=x-2ln x+a, 2 x-2 则 f′(x)=1- = ≥0.

x

x

所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件 由条件②得 x-2ln x+a≥ , 2 即 a≥2ln x- 在 x∈[2,10]上恒成立. 2 令 g(x)=2ln x- , 2 2 1 4-x 则 g′(x)= - = , x 2 2x 由 g′(x)>0 得 x<4, 所以 g(x)在(2,4)上是增函数,在(4,10)上是减函数. 所以 a≥g(4)=2ln 4-2=4ln 2-2. 由条件③得 f(10)=10-2ln 10+a≤8, 解得 a≤2ln 10-2.

①.

x

x

x

另一方面,由 x-2ln x+a≤x,得 a≤2ln x 在 x∈[2,10]上恒成立,所以 a≤2ln 2. 综上所述,a 的取值范围为[4ln 2-2,2ln 2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1. 7.解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列,所 以

x x- y=f(x)=800x+
2
2

×20+9 000
*

=10x +790x+9 000(x∈N ). (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为

f x g(x)= ×10 000 2 000x


x2+790x+ x

5

? 900 ? =50?x+ +79?≥50×(2 900+79)=6 950, ?
x

?

900 当且仅当 x= ,即 x=30 时,等号成立.

x

所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为 30 层. 2 150× 5 8. 解: (1)设 A 组人数为 x, 且 0<x<52, x∈N*, 则 A 组植树活动所需时间为 f(x)=

x

1 200× 2 60 100 = ,B 组植树活动所需时间为 g(x)= = . x 52-x 52-x 60 100 令 f(x)=g(x),即 = , x 52-x 39 解得 x= . 2 所以 A,B 两组同时开始的植树活动所需时间为 60 ? ? x , x≤19,x∈N , F(x)=? 100 ? ?52-x, x≥20,x∈N .
* *

60 25 而 F(19)= ,F(20)= , 19 8 故 F(19)>F(20). 所以当 A,B 两组人数分别为 20,32 时,植树活动持续时间最短. (2)A 组所需时间为 2 150× -20×1 5 6 1+ =3 , 20-6 7

B 组所需时间为
2 200× -32×1 3 2 1+ =3 , 32+6 3 6 所以植树活动所持续的时间为 3 h. 7 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)根据题意得 100= 所以 k=800. , 3×1+5

k

6

800 故 f(x)= +5+6x,0≤x≤8. 3x+5 800 (2)因为 f(x)= +2(3x+5)-5 3x+5 ≥2 800 3x+5

x+

-5=75,

800 当且仅当 =2(3x+5),即 x=5 时取等号. 3x+5 所以 f(x)min=75. 所以宿舍应建在离工厂 5 km 处,可使总费用 f(x)最小,最小为 75 万元. 2.解:(1)由题意得 BP=t,CP=1-t,0≤t≤1. 1-t ∠DAQ=45°-θ ,DQ=tan(45°-θ )= , 1+t

CQ=1-

1- t 2t = , 1+t 1+t
2 2

所以 PQ= CP +CQ = -t
2 2 ? 2t ?2=1+t . +? ? ?1+t? 1+t

所以 l=CP+CQ+PQ=1-t+

2t 1+t + =1-t+1+t=2,是定值. 1+t 1+t 1 ? +t + ?. 1+t?

2

1 1 1-t ?1 (2)S=S 正方形 ABCD-S△ABP-S△ADQ=1- t- · =2-? 2 2 1+t ?2 因为 1+t>0, 所以 S≤2-2 时取等号. 1 2 +t

1 1 1 =2- 2,当且仅当 (1+t)= ,即 t= 2-1 1+ t 2 1+t

所以探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为(2- 2)平方百米. 500 3.解:(1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为

v

y=a·

500 500 500a 2 +0.01v · = +5v.

v

v

v

500a 故所求函数为 y= +5v,v∈(0,100].

v

500a 500a (2)由题意知 a,v 都为正数, 故 +5v≥100 a, 当且仅当 =5v, 即 v=10 a时,

v

v

等号成立. ①若 10 a≤100,即 0<a≤100 时,

7

则当 v=10 a时,全程运输成本 y 最小; ②若 10 a>100,即 a>100 时, 则当 v∈(0,100]时,有

y′=-

500a 2 +5=

v

v2-100a <0. v2

所以函数 y 在 v∈(0,100]上单调递减,也即当 v=100 时,全程运输成本 y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小, 当 0<a≤100 时, 行驶速度应为 v=10 a km/h; 当 a>100 时,行驶速度应为 v=100 km/h. 4.解:(1)由点 P 在椭圆上知,PC+PD=3, 即 PC=x,则 PD=3-x. 所以度假村 P 受乙油井污染程度为 8ak1k2 所以 f(x)= 2 +

ak1k2 -x

2

8ak1k2 ,受甲油井污染程度为 2 .

x

x

ak1k2 -x x

2

?1 5? ,定义域为? , ?. ?2 2?
2

8ak1k2 (2)由(1)知 f(x)= 2 +

ak1k2 -x

?8 =ak1k2? 2+ ?x

x2-6x+9? ?

1

?.
-x x2-6x+
3 2

? 16 故 f′(x)=ak1k2?- 3 + ? x
=2ak1k2·

? ? ?

x3- x3 x-

-x 3 -x

=18ak1k2·

x

3

x2-6x+ 3 -x

.

令 f′(x)=0,解得 x=2,

?1 ? 当 x∈? ,2?时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数, ?2 ? ? 5? 当 x∈?2, ?时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数. ? 2?
故当 x=2 时,f(x)取得最小值. 即度假村离甲油井 2 km 时,甲乙两油井对度假村的污染程度和最小.

8



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