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含参不等式的解法举例


含参不等式的解法举例
当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可 以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影 响, 其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。 我们必须通过分类讨论才可解决上述两个 问题, 同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解, 而不是不等式的解来区分参数的讨论。 解参数不等式一直是高考所考查的重点内容, 也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解 决的问题。下面举例说明,以供同学们学习。 一、含参数的一元二次不等式的解法: 含参数的一元二次不等式的解法:
2 例 1:解关于的 x 不等式 ( m + 1) x ? 4 x + 1 ≤ 0( m ∈ R ) :

分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ≠ 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿ =4 (3-m) 图象开口向下, x 轴有两个不同交点, >0, 与 不等式的解集取两边。 ⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶ 当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程

4 x 2 ? 4 x + 1 = 0 的根。⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方, 不等式的解集为 ? 。
1 解: 当m = ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ≥ ? ; ? ? ? 4?
当m ≠ ?1时, + 1) x 2 ? 4 x + 1 = 0的判别式?=(3-m); (m 4 ? 2? 3?m 2+ 3?m? 则当m < ?1时,原不等式的解集为? x | x ≥ 或x ≤ ? m +1 m +1 ? ? ? 2? 3? m 2+ 3?m? 当 ? 1 < m < 3时, 原不等式的解集为? x | ≤x≤ ? m +1 m +1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x = 当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判 别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围, ③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 牛刀小试:解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2(a + 1) x + 4 > 0, ( a > 0) 思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答 请同学们自己完成。 二、含参数的分式不等式的解法: 含参数的分式不等式的解法: 例 2:解关于 x 的不等式 :

? ?

1? ?; 2?

ax ? 1 >0 x ?x?2
2

分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对 ax-1 中的 a 进行分类讨论求
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解,还需用到序轴标根法。 解:原不等式等价于 (ax ? 1)( x ? 2)( x + 1) > 0 当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)( x + 1) < 0 解得 ? 1 < x < 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 < x < 2 }; 当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x + 1) > 0 , a

1 则:当 a = 时, 原不等式的解集为 {x | x > ?1且x ≠ 2} ; 2 1 当 0< a < 时, 原不等式的解集为 ? x | x > 1 或 ? 1 < x < 2? ; ? ? 2 a ? ?

1 1 当 a > 时, 原不等式的解集为 ? x | ?1 < x < 或x > 2? ; ? ? a 2 ? ?
当 a <0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x + 1) < 0 , a

则当 a = ?1 时, 原不等式的解集为 {x | x < 2且x ≠ ?1} ; 当 ? 1 < a < 0 时, 原不等式的解集为 ? x | x < 1 或 ? 1 < x < 2? ; ? ? a ? ? 当 a < ?1 时, 原不等式的解集为 ? x | x < ?1或 1 < x < 2? ; ? ? a ? ? 小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0 的情况以及对

1 ,-1 和 2 的大小进行比较再 a

结合系轴标根法写出各种情况下的解集。 ⑵解含参数不等式时, 一要考虑参数总的取值范围, 二要用同一标准对参数进行划分, 做到不重不漏, 三要使划分后的不等式的解集的表达式是 确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为 0,再 转化为乘积不等式来解决。 牛刀小试:解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) > 1, (a ≠ 1) x?2 a?2 与 2 的大小关系分为 a ?1

思路点拨:将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论:先按 a >1 和 a <1 分 为 两 类 , 再 在 a <1 的 情 况 下 , 又 要 按 两 根

a < 0, a = 0和0 < a < 1 三种情况。有很多同学找不到分类的依据,缺乏分类讨论的意识,
通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。 三、含参数的绝对值不等式的解法: 含参数的绝对值不等式的解法: 例 3:解关于 x 的不等式 | ax ? 2 |≥ bx, ( a > 0, b > 0) 分析:解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号,本题要用到同解变形 | f ( x) |≥ g ( x) ? f ( x) ≤ ? g ( x)或f ( x) ≥ g ( x) ,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式, 然后就 a 、 b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。
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解: | ax ? 2 |≥ bx ? ax ? 2 ≤ ?bx或ax ? 2 ≥ bx ? ( a + b) x ≤ 2或( a ? b) x ≥ 2 当 a > b > 0 时, ( a + b) x ≤ 2或( a ? b) x ≥ 2 ? x ≤ 此时原不等式的解集为 ? x | x ≤ 2 或x ≥ 2 ? ; ? ? a+b a ? b? ? 当 a = b > 0 时,由 (a + b) x ≤ 2得x ≤

2 2 或x ≥ a+b a ?b

2 , 而(a ? b) x ≥ 2无解 , a+b

此时原不等式的解集为 ? x | x ≤ 2 ? ; ? ? a + b? ? 当 0 < a < b 时, ( a + b) x ≤ 2或( a ? b) x ≥ 2 ? x ≤ 此时此时原不等式的解集为 ? x | x ≤ 2 ? ; ? ? a + b? ? 原不等式的解集为 ? x | x ≤ 2 或x ≥ 2 ? ; b ≥ a > 0 时, 综上所述, a > b > 0 时, 当 ? ? 当 a+b a ? b? ? 原不等式的解集为 ? x | x ≤ 2 ? 。 ? ? a + b? ? 小结:去掉绝对值符号的方法有①定义法: | a |= {? a ( a<0 ) ②平方法: | f ( x) |≤| g ( x ) |?
a ( a ≥0 )

2 2 2 或x ≤ ?x≤ a+b a ?b a+b

f 2 ( x) ≤ g 2 ( x) ③ 利 用 同 | x |< a ? ?a < x < a, (a > 0);| x |> a ? x < ?a或x > a, (a > 0);









| f ( x) |≤ g ( x) ? ? g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x); | f ( x) |≥ g ( x) ? f ( x) ≤ ? g ( x)或f ( x) ≥ g ( x) ;
牛刀小试: (2004 年辽宁省高考题)解关于 x 的不等式 | x ? 1 | + a + 1 > 0, ( a ∈ R ) 牛刀小试: 思路点拨:⑴将原不等式化为 | x ? 1 |> 1 ? a 然后对 a 进行分类讨论求解。⑵要注意

a ≤ 0时, | x |< a的解集为 空集; a = 0时,x |> a的解x ≠ 0; a < 0时,x |> a的解集为R; | |
⑶抓住绝对值的意义, 在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。 具体解答请同学们自 己完成。

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