3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考理科数学一轮复习题 第二章 基本初等函数、导数及其应用2015年高考复习6


第 9 课时

函数模型及其应用

1.了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征, 知道直线 上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

[对应学生用书 P32] 【梳理自测】 一、常见的函数模型 1.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长 速度越来越快, 后三年年产量保持不变, 则该厂 6 年来这种产品的总 产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( )

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数 据:

x y

1.99 1.5

3

4

5.1 12

6.12 18.0 1

4.04 7.5

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律, 其 中最接近的一个是( )

A.y=2x-2 C.y=log3x D.y=2x-2

B.y= (x2-1)

1 2

3.(教材改编)某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期 利率为 r,存期是 x,本利和(本金加利息)为 y 元,则本利和 y 随存 期 x 变化的函数关系式是________. 4.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一 单位产品, 成本增加 10 万元. 又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数, 1 K(Q)=40Q- Q2,则总利润 L(Q)的最大值是________万元. 20 答案:1.A 2.B 3.y=a(1+r)x,x∈N* 4.2 500

◆以上题目主要考查了以下内容: 函数模型 一次函数模 型 二次函数模 型 指数函数模 型 对数函数模 型 函数解析式

f(x)=ax+b(a、b 为常数,a≠0)

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1)

f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1)

幂函数模型

f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

二、三种增长型函数之间增长速度的比较 (教材改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞) 时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) 答案:B ◆此题主要考查了以下内容: (1)指数函数 y=ax(a>1)与幂函数 y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围 内 ax 会小于 xn,但由于 ax 的增长快于 xn 的增长,因而总存在一个 x0, 当 x>x0 时有 ax>xn. (2)对数函数 y=logax(a>1)与幂函数 y=xn(n>0) 对数函数 y=logax(a>1)的增长速度, 不论 a 与 n 值的大小如何 总会慢于 y=xn 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0,使 B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) )

x>x0 时有 logax<xn.
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们的 增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存 在一个 x0,使 x>x0 时有 ax>xn>logax(a>1,n>0). 【指点迷津】 1.一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义 域. 2.二个关键 一个关键是正确选择自变量, 第二个关键是抓住某些量之间的相

等关系列函数式. 3.四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关 系,把握其中的数学本质,初步选择模型; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际 问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到实际问题,检验结果的实际意义,给出结论.

[对应学生用书 P32] 考向一 由函数图象模拟实际问题

如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一 个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止. 用下面对应的图象表示该 容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不 正确的有( . )

A.1 个 C.3 个 D.4 个

B.2 个

【审题视点】 等速度注入水,即等容量注入水,当时间 t 等量 变化时,可考虑水面高度 h 的变化快慢. 【典例精讲】 ①中,平行于底面的横截面处处相等,水面高度

h 随着时间 t 的等量增加, h 也等量增加, 故 h 是 t 的一次函数关系,
其对应图象是错的. ②中,随着时间等量增加,横截面越来越大,水面高度 h 增加的 也越来越小,其图象符合题意. ③中,在中截面以下,h 随 t 等量增加,其增加量越来越小,在 中截面以上,其增加量越来越大,其图象符合题意. ④中,随着 t 等量增加,h 变化先是越来越大后又越来越小,其 图象符合题意. 【答案】 A 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的

【类题通法】

快慢、 最大、 最小等)与函数的性质(如单调性、 最值等)、 图象(增加、 减少的缓急等)相吻合即可.

1.如图所示,向高为 H 的容器 A,B,C,D 中同时以等速注水, 注满为止:

(1)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的(a), 则容器的 形状是________; (2)若水量 v 与水深 h 的函数图象是下图中的(b), 则容器的形状 是________; (3)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的(c), 则容器的 形状是________; (4)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图中的(d), 则容器的 形状是________.

解析:(1)若 h(t)的图象是(a),h(t)是 t 的正比例函数,h 随 t 等比例增,其容器为 C. (2)若 v(h)的图象是(b)即指数型, v 随 h 的变化越来越大, 所以 容器是 A. (3)若 h(t)的图象是(c), h 随 t 的变化是先快后缓再快, 呈对称 变化为容器 D. (4)若 t(h)的图象是(d),当同样深度的水所用时间的变化由大 到小,即相对于前一次注水的容量越来越少,时间的变化越来越小, 容器为 B. 答案:(1)C (2)A (3)D (4)B

考向二

利用已知函数模型解决实际问题

(2014· 山东高考命题原创卷 ) 随着全球债务危机的深 化,中国某陶瓷厂为了适应发展,制定了以下生产计划,每天生产陶 瓷的固定成本为 14 000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已 知该产品的日销售量 f(x)(单位: 件)与产量 x(单位: 件)之间的关系 1 ? ?625x (0≤x≤400) 式为 f(x)=? ,每件产品的售价 g(x)(单位: ? ?x-144(400<x<500)
2

元)与产量 x 之间的关系式为 5 ? ?-8x+750(0≤x≤400) g(x)=? . ? ?-x+900(400<x<500) (1)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q(x)(单位: 元)与产量 x 之间的 关系式;

(2)若要使得日销售利润最大,则该陶瓷厂每天应生产多少件产 品,并求出最大利润. 【审题视点】 利用 f(x)与 g(x)及成本函数 l(x)之间的关系构 造 Q(x),并按分段函数求最值. 【典例精讲】 (1)设总成本为 c(x)(单位: 元), 则 c(x)=14 000 +210x, 所以日销售利润 Q(x)=f(x)g(x)-c(x) 1 6 ? ?-1 000x +5x -210x-14 000(0≤x≤400) =? . ? ?-x +834x-143 600(400<x<500)
3 2 2

(2)由(1)知,当 0≤x≤400 时,

Q′(x)=-

3 12 x2+ x-210. 1 000 5

令 Q′(x)=0,解得 x=100 或 x=700(舍去). 易知当 x∈[0,100)时,Q′(x)<0; 当 x∈(100,400]时,Q′(x)>0. 所以 Q(x)在区间[0,100)上单调递减, 在区间(100,400]上单调递增. 因为 Q(0)=-14 000,Q(400)=30 000, 所以 Q(x)在 x=400 时取到最大值,且最大值为 30 000. 当 400<x<500 时,Q(x)=-x2+834x-143 600. 当 x=- 834 =417 时,Q(x)取得最大值,最大值为 2×(-1)

Q(x)max=-4172+834×417-143 600=30 289.
综上所述,若要使得日销售利润最大,则该陶瓷厂每天应生产 417 件产品,其最大利润为 30 289 元. 【类题通法】 若题目给出了含参数的函数模型, 或可确定其函

数模型的图象, 求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的 值,再用求得的函数解析式解决实际问题.

2.某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组 成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上;该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示: 第t天 4 36 10 30 16 24 22 18

Q(万股)

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间

t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函 数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天中第几天日交易额最大,最大 值是多少? 1 ? ?5t+2,0<t≤20, 解析:(1)P=? (t∈N ) 1 ? ?-10t+8,20<t≤30.
*

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数),把(4,36),(10,30)代入,得
?4a+b=36, ? ? ∴a=-1,b=40. ?10a+b=30. ?

所以日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为

Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.
(3)由(1)(2)可得 1 ? t+2?×(40-t),0<t≤20, ? ??5 ? y=? ? 1 ? ?- t+8?×(40-t),20<t≤30. ? ?? 10 ? 1 - (t-15) +125,0<t≤20. ? ? 5 即 y=? (t∈N ) 1 ? ?10(t-60) -40,20<t≤30,
2 * 2

?

?

当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125 万元, 此时 t=15;当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而减小,

ymax= (20-60)2-40=120 万元.
所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元. 考向三 自建函数模型应用题

1 10

诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、 和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在 该年度所获利息的一半, 另一半利息作基金总额, 以便保证奖金数逐 年增加. 假设基金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 2013 年诺贝尔 奖金发放后基金总额约为 26 136 万美元.设 f(x)表示第 x(x∈N*)年 诺 贝 尔 奖 发 放 后 的 基 金 总 额 (2013 年 记 为 f(1) , 2014 年 记 为

f(2),……依次类推)
(1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x) 的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式计算 2023 年度诺贝尔奖各项奖金的数

目.(参考数据:1.0 3129=1.32) 【审题视点】 当年奖金发放后的总数就是该年的本息之和去掉 该年利息的一半. 【典例精讲】 1 由题意知: f(2) = f(1)(1 + 6.24%) - f(1) × 2

6.24%=f(1)(1+3.12%)

f(3)=f(2)(1+6.24%)- f(2)×6.24%
=f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%)2 ∴f(x)=26 136×(1+3.12%)x-1(x∈N*) (2)2022 年诺贝尔奖发放后基金总额为

1 2

f(10)=26 136×(1+3.12%)9=34 499.52(万美元)
1 1 故 2023 年各项奖金为 × f(10)×6.24%≈179.4(万美元) 6 2 2023 年诺贝尔奖各项奖金为 179.4 万美元. 【类题通法】 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理

顺其中的数量关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际 问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

3.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好, 但收费方式不同,甲家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月 中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元, 超过 30 小时的部分每张 球台每小时 2 元. 小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展

活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1) 设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费 为 f(x) 元 (15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x) 元 (15≤x≤40).试求 f(x)和 g(x); (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 解析:(1)f(x)=5x,15≤x≤40,

g(x)=?

?90,15≤x≤30 ?

? ?2x+30,30<x≤40

.

? ? ?15≤x≤30 ?30<x≤40 (2)由 f(x)=g(x)得,? ,或? , ?5x=90 ?5x=2x+30 ? ?

即 x=18 或 x=10(舍). 当 15≤x<18 时,f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴f(x)<g(x),即选甲家; 当 x=18 时,f(x)=g(x),既可以选甲家,也可以选乙家; 当 18<x≤30 时,f(x)-g(x)=5x-90>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家; 当 30<x≤40 时,f(x)-g(x)=5x-(2x+30) =3x-30>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家. 综上所述, 当 15≤x<18 时, 选甲家, 当 x=18 时, 可以选甲家, 也可以选乙家,当 18<x≤40 时,选乙家.

[对应学生用书 P34]

函数实际应用题的解答方法 (2014·郑州市高三质检)如图所示,一辆汽车从 O 点出 发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度匀速行驶 (图中的箭头方向为汽车行驶方向 ),汽车开动的同 时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公里、距离公 路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一 件东西送给汽车司机. 问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才 能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里? 【方法分析】 ①弄清条件是什么,解题目标是什么:

题目条件: 汽车行驶方向及速度, 人所在位置 M 及到公路的垂直 距离. 解题目标:人至少提前到达公路与汽车会合时所应有的速度. ②关于探索:M 到公路的垂直距离隐含了直角三角形,可求角的 余弦值.当摩托车行驶的距离到达公路时,恰好与汽车会合,形成三 角形, 是摩托车的最小速度转化为三角形的余弦定理, 研究三角形边 的关系. 【解答过程】 作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3,

4 ∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI= . 5 设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小 时, 4 由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t× , 5 即 v2= 25

t

2



400 1 +2 500=25( -8)2+900≥900,

t

t

1 ∴当 t= 时,v 取得最小值为 30, 8

∴其行驶距离为 vt=

30 15 = 公里. 8 4

故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的 愿望,此时他驾驶摩托车行驶了 【回归反思】 15 公里. 4

①此题大胆构造三角形(直角三角形和一般三角

形)是解题的入手点,从此可发现速度 v 与时间 t 的关系. ②此题目标是求 v 的最小值,故利用二次函数求最小值.

1.(2013·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空 地中, 欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴 影部分), 则其边长 x(单位:m)的取值范围是( A.[15,20] C.[10,30] B.[12,25] D.[20,30] )

解析:选 C.利用三角形相似求出矩形的边长,再利用面积关系 求解自变量的取值范围. 设矩形的另一边长为 y m, 则由三角形相似知, ∴y=40-x. ∵xy≥300,∴x(40-x)≥300, ∴x2-40x+300≤0, ∴10≤x≤30. 2.(2013·高考湖北卷)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中 因交通堵塞停留了一段时间后, 为了赶时间加快速度行驶. 与以上事 件吻合得最好的图象是( )

x
40



40-y , 40

解析:选 C.距学校的距离应逐渐减小,由于小明先匀速运动, 故前段是直线段,途中停留距离不变,后段加速,直线段比前段下降 的快,故应选 C. 3.(2012 ·高考江苏卷)如图,建立平面 直角坐标系 xOy, x 轴在地平面上,y 轴垂直于 地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原 1 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- 20 (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上, 其中 k 与发射方向有关. 炮的射程是 指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米, 试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理 由. 1 解析:(1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际意义和题设 20 条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1+ k 1 2 k+

k

所以炮的最大射程为 10 千米.

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- 1 (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ =(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6(千米)时,可击中目标. 4. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在 一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单 位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成 堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车 流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测 点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出 最大值.(精确到 1 辆/小时) 解析:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 a=- , ? ? 3 ? ?200a+b=0, 再由已知得? 解得? ?20a+b=60, 200 ? b= . ? ? 3 故函数 v(x)的表达式为 60, ? ? v(x)=?1 (200-x), ? ?3 (2)依题意并由(1)可得 0≤x≤20, 20<x≤200.

60x, ? ? f(x)=?1 ?3x(200-x), ?

0≤x≤20, 20<x≤200.

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1?x+(200-x)? 2 ? = 当 20<x≤200 时, f(x)= x(200- x)≤ ? 2 3 3? ? 10 000 , 3 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以, 当 x=100 时, f(x)在区间[20, 200]上取得最大值 综上, 当 x=100 时, f(x)在区间[0, 200]上取得最大值 10 000 . 3

10 000 ≈ 3

3 333,即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大 值约为 3 333 辆/小时.


推荐相关:

高中数学2015高考理科数学一轮复习题 第二章 基本初等函数导数及其应用(1)五_数学_高中教育_教育专区。第 5 课时 指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景. 2...


2016高考总复习(人教A版)高中数学_第二章_基本初等函数导数及其应用_第6讲_指数与指数函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 6 讲 指数与指数函数 1.根...


2015年基本初等函数知识点复习+高考题汇编(高三复习)_高考_高中教育_教育专区。...2015 年人教版数学必修一 第二章复习资料 姓 名: 数学学院 数学应用数学 ...


2015高考数学全程复习知识点同步检测:第二章 基本初等函数导数及其应用6讲 指数与指数函数_数学_高中教育_教育专区。1?x 1.(2015· 北京模拟)在同一...


高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题_...1 1 1 2 1 1 ? ? 3 2 6 1 b 1 1 5 ...第二问可以利用导数求函数的单调性, 也可以利用单调...


【课堂新坐标】2015高考数学一轮复习 专题二 基本初等函数导数及其应用(文、理)_数学_高中教育_教育专区。专题二 基本初等函数导数及其应用 1. 某棵果树...


高考领航】2015人教数学(理)总复习 第02章 基本初等函数导数及其应用 第6课时Word版含解析]_高中教育_教育专区。【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第02章...


高考数学一轮复习专题02 基本初等函数_数学_高中教育...2011 年高考数学一轮复习资料第二章【整体感知】: ...高考热点,应用函数知识解其他问题,特别是解 应用题...


2015高考数学总复习初等函数导数及其应用2_数学_高中...函数的单调性与最值 京翰高考试题(gaokao.zgjhjy....+ (a>0)(x>0); x (2)函数 y= x2+x-6....


2015年高考数学(课标通用)二轮复习专题训练:基本初等函数(6)_高三数学_数学_高中...一、选择 题二、简答 题三、填空 题 题号 得分 总分 评卷人 得分 一、...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com