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2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 八、概率与统计(逐题详解)


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 八、概率与统计(逐题详解)
第 I 部分

1.【2014 年陕西卷(理 06) 】从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )

A.

1 5
C

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】

【解析】 反向解题 . p = 1-

4 4 3 = 2 = .选C 2 C 5 C5 5

2.【2014 年重庆卷(理 03) 】已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 3 ,

y ? 3.5 ,则由观测的数据得线性回归方程可能为(



A. y ? 0.4x ? 2.3 C. y ? ?2x ? 9.5
【答案】A

B. y ? 2x ? 2.4

D. y ? ?0.3x ? 4.4

【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正,排除 C , D ,回归直线经过点 ( x, y ) ,故选 A

?

?

3.【2014 年陕西卷(理 09) 】设样本数据 x1 , x2 ,

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若

yi ? xi ? a ( a 为非零常数, i ? 1, 2,
(A) 1+a , 4 (B) 1 ? a, 4 ? a

,10 ) ,则 y1 , y2,
(C) 1, 4

y10 的均值和方差分别为(
(D) 1, 4+a



【答案】

A

均值也加此数,方差不 变.选A 【解析】 样本数据加同一个数,

1

4.【2014 年湖南卷(理 02) 】对一个容量为 N 的总体抽取容量为 m 的样本,若选取简单随机 抽样、 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别 为 p1 , p 2 , p3 ,则 A. C.

p1 ? p2 ? p3 p1 ? p3 ? p2

B. p2 ? p3 ? p1 D.

p1 ? p2 ? p3

【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等, 即 p1 ? p2 ? p3 ,故选 D

5.【2014 年山东卷(理 07) 】为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所 有 志 愿 者 的 舒 张 压 数 据 ( 单 位 : kPa ) 的 分 组 区 间 为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, 第 二组,??,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共 有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为

频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 0 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa

(A) 6

(B) 8

(C)

12 (D) 18

【答案】C 第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 20 ? 0.4 ? 50 【解析】

50 ? 0.36 ? 18 18 ? 6 ? 12

2

6.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 05) 】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活 动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

【答案】 :D 【解析】 :4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 2 ? 16 种,
4

1 1 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人一天三人有 C4 A2 ? 8 种;②每 2 天 2 人有 C4 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为 ? 6 种,

8?6 7 ? ; 或间接解法: 16 8

4 位同学都在周六或周日参加公益活动有 2 种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为

16 ? 2 7 ? ;选 D. 16 8

7.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 05) 】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良 的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空 气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 A B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

【答案】 【解析】

设某天空气质量优良, 则随后一个空气质量也 优良的概率为 p, 则据题有0.6 = 0.75? p, 解得p = 0.8, 故选A.

8.【2014 年广东卷(理 06) 】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样 本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10

【答案】A 【解析】由题意知:该地区中小学生总人数为:3500 ? 4500 ? 2000 ? 10000 人,所以样本 3

容量为 10000 ? 2% ? 200 ,应抽取高中生人数为: 200 ? 生近视人数为 40 ? 50% ? 20 人.故选 A.

4 ? 40 ,所以抽取的高中 7?9?4

9.【2014 年湖北卷(理 04) 】根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 6 0.5 7 -2. 0 8 -3.0

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则

?

A. a ? 0, b ? 0 【答案】 B

B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0.b ? 0

【解析】画出散点图如图所示,y 的值大致随 x 的增加而减小, 因而两个变量呈负相关,所以 b ? 0 , a ? 0

?x ? 0 ? 10.【2014 年湖北卷(理 07) 】由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
?x ? y ? 1 ,确定的平面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率 ? ? x ? y ? ?2
为( )

A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4
4

D.

7 8

【答案】 D 【解析】依题意,不等式组表示的平面区域如图,

由 几 何 概 型 概 率 公 式 知 , 该 点 落 在

?2 内 的 概 率 为

P?

S

BDF

?S
BDF

CEF

S

1 1 1 ? 2? ? 2 ? ? 1 2 2? 7 . ?2 1 8 ? 2? 2 2

11.【2014 年江西卷(理 06) 】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个 变量之间的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的 可能性最大的变量是

【答案】D 【解析】根据独立性检验相关分析知,阅读量与性别相关数据较大,选 D 5

12.【2014 年浙江卷(理 09) 】已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个 蓝球 (m ? 3 , n ? 3) ,从乙盒中随机抽取 i(i ? 1 , 2) 个球放入甲盒中. ( a )放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?i (i ? 1 , 2) ; ( b )放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi (i ? 1 , 2) .则 A. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E(?2 ) C. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E(?2 ) 【答案】A 【解析】 , , B. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E(?2 ) D. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E(?2 )

,所以 P1>P2;由已知 ξ1 的取值为 1、2, ξ2 的取值为 1、2、3,所以 =

=

,E(ξ1)﹣E(ξ2)

= 第 II 部分

.故选 A

13.【2014 年辽宁卷(理 14) 】正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在 抛物线 y ? ? x 和 y ? x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,学科网则
2
2

质点落在阴影区域的概率是

.

6

【答案】 【解析】∵A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1) , ∴正方体的 ABCD 的面积 S=2×2=4, 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2 =2 =2[(1﹣ )﹣(﹣1+ )]=2× = ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是

.故答案为:

14.【2014 年广东卷(理 11) 】从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数 的中位数是 6 的概率为 。 【答案】

1 6

7 3 3 【解析】 由题意得: 所有的基本事件有 C10 其中中位数是 6 的事件有 C6 ? 20 ? C10 ? 120 个,

个,所求概率为 P ?

20 1 = 120 6

15.【2014 年江西卷(理 12) 】10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好 取到 1 件次品的概率是________.
1 3 C3 C7 1 ? 4 C10 2

【答案】

1 2

【解析】 Q P ?

16.【2014 年天津卷(理 09) 】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6 ,则应从一年级 本科生中抽取____名学生. 【答案】60 【解析】由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为 300× 4 =60 4+5+5+6

17.【2014 年江苏卷(理 04) 】从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的 乘积为 6 的概是 【答案】 .

1 3

【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来: (1,2) , (1,3) (1,6) , 7

(2,3) , (2,6) , (3,6) ,共 6 种情况,满足题目乘积为 6 的要求的是(1,6)和(2,3) , 则概率为

1 。 3

18.【2014 年江苏卷(理 06) 】在底部周长 ? [80,130] 的树木进行研究,频率分布直方图如 图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 株树木的底部周长小于 100cm.

【答案】24 【解析】 从图中读出底部周长在 [80,90] 的频率为 0.015 ?10 ? 0.15 , 底部周长在 [90,100] 的 频率为 0.025 ?10 ? 0.25 ,样本容量为 60 株, (0.15 ? 0.25) ? 60 ? 24 株是满足题意的。 频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 80 90 100 110 120 130 第 6 题图 底部周长 cm

19.【2014 年上海卷(理 10) 】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 分数表示). 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简

【答案】

1 15

【解析】 :P ?

8 1 ? 3 C10 15

8

20.【2014 年上海卷(理 13) 】 某游戏的得分为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游 戏的得分. 若 E (? ) ? 4.2 ,则小白得 5 分的概率至少为 .

【答案】0.2

【解析】 :设得 i 分的概率为 pi ,∴ p1 ? 2 p2 ? 3 p3 ? 4 p4 ? 5 p5 ? 4.2 , 且 p1 ? p2 ? p3 ? p4 ? p5 ? 1 ,∴ 4 p1 ? 4 p2 ? 4 p3 ? 4 p4 ? 4 p5 ? 4 ,与前式相减得:

?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? 0.2 ,∵ pi ? 0 ,∴ ?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? p5 ,即 p5 ? 0.2

21.【2014 年浙江卷(理 12) 】随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P (? ? 0) ? 则 D (? ) ? _____.

1 , E (? ) ? 1 , 5

【答案】 【解析】设 P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得 p+q= , , 所以 为: .故答案 ,解得 ,

第 III 部分 22.【2014 年陕西卷(理 19) 】 (本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

作物产量(kg) 概率

300 0.5

500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

9

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元 的概率. 解(I)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ,由题 设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4 ? 利润=产量 ? 市场价格 - 成本, ? X 所有可能地取值为 500 X 10 - 1000 = 4000,500 X 6 - 1000 = 2000. 300 X 10 - 1000 = 2000, 300 X 6 - 1000=800.

???? P(X = 2000) =P ?A?P?B?
所以 X 的分布列为

P(X = 4000) =P A P B = (1 - 0.5) X (1 - 0.4) = 0.3. + P ? A?P B = (1- 0.5) X 0.4 X 0.5 X (1 - 0.4) = 0.5.

??

P(X = 800) =P ? A?P?B ? = 0.5 X 0.4 = 0.2.

(II)设 C1,C2 ,C3 相互独立, 由(I)知, P(G)= P(X = 4000) + P(X = 2000) = 0.3+0.5 = 0.8 ( i = 1,2,3), 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P( C1C2C3 )+P( C1 C2C3 )+P( C1C2 C3 )=3X0.8 X0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896.
2

23.【2014 年重庆卷(理 18) 】一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的 数字是 1,3 张卡片上的数字 是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列(注:若三个数 a , b, c 满足

a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).
解: (1)所求概率 p ?
3 3 C4 ? C3 5 ? 3 C9 84

(2) p( x ? 1) ?

3 2 1 C4 ? C4 C5 34 17 ? ? ; 84 82 42

10

p( x ? 2) ?

1 1 1 1 1 3 C4 C3C2 ? C32C2 ? C32C4 ? C3 43 ? 84 84 1 C7 7 1 ? ? 84 84 12

p( x ? 3) ?

24.【2014 年安徽卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为

1 2 ,乙获胜的概率为 ,各局比 3 3

赛结果相互独立. (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【解析】 (Ⅰ)设事件 Ai (i ? 2,3,4,5) 表示“甲在第 i 局比赛结束时赢得比赛” ,根据题意得:

2 2 4 1 2 2 4 2 1 2 2 8 ? ? ; P ( A3 ) ? ? ? ? ; P ( A4 ) ? ? ? ? ? 3 3 9 3 3 3 27 3 3 3 3 81 4 4 8 56 ? ? 因此,甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率 P ? ? 9 27 81 81 P( A2 ) ?

(Ⅱ) X 的所有可能取值集合为 {2,3,4,5}

P( X ? 2) ?

2 2 1 1 5 ? ? ? ? ; 3 3 3 3 9 1 2 2 2 1 1 6 2 P( X ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 3 3 27 9 2 1 2 2 1 2 1 1 10 P( X ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 3 3 3 3 81 1 2 1 2 2 1 2 1 8 5 2 10 8 P( X ? 5) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (或 P( X ? 5) ? 1 ? ? ? ? ) 3 3 3 3 3 3 3 3 81 9 9 81 81

X 的分布列为
X
P
2
5 9
3

4
10 81

5

2 9

8 81

5 2 10 8 224 E( X ) ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 9 9 81 81 81

11

25.【2014 年福建卷(理 18) 】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进 行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上 所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 解: (1)设顾客所获取的奖励额为 X, ①依题意,得 P(X=60)= ,即顾客所获得奖励额为 60 元的概率为 ,

②依题意得 X 得所有可能取值为 20,60,P(X=60)= ,P(X=20)= 即 X 的分布列为 X P 60 20



所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)=20× +60× =40

(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所以先寻找期望为 60 元的可能方 案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是 面值之和的最大值,所以数学期望不可能为 60 元, 如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以数学期望也不 可能为 60 元, 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1, 对于面值由 20 元和 40 元的组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40, 20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40) ,记为方案 2, 以下是对这两个方案的分析:

12

对于方案 1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获取的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 60 20 100 P

X1 的数学期望为 E(X1)= X1 的方差 D(X1)=

. = ,

对于方案 2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获取的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 40 20 80 P

X2 的数学期望为 E(X2)= X2 的方差 D(X2)=差 D(X1)

=60,

=



由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求, 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小, 所以应 该选择方案 2.

26.【2014 年湖南卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别是

2 3 和 . 现安排甲组 3 5

研发新产品 A,乙组研发新产品 B. 设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业 可获得利润 100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. 解: 记 E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题可知

2 1 3 2 , P( E ) ? , P( F ) ? , P( F ) ? . 3 3 5 5 且事件 E 与 F,E 与 F , E 与 F , E 与 F 都相互独立. P( E ) ?
(1) 记 H={至少有一种新产品研发成功},则 H ? E F ,于是

1 2 2 2 13 P( H ) ? P( E ) P( F ) ? ? ? ? . ,故所求概率为 P( H ) ? 1 ? P( H ) ? 1 ? 3 5 15 15 15
(2)设企业可获利润为 X (万元) ,则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 又因

13

1 2 2 1 3 3 P( X ? 0) ? P( E F ) ? ? ? , P( X ? 100 ) ? P( EF ) ? ? ? , 3 5 15 3 5 15 P( X ? 120 ) ? P( E F ) ?
故所求分布列为 X P

2 2 4 2 3 6 ? ? , P( X ? 220 ) ? P( EF ) ? ? ? . 3 5 15 3 5 15
100 120 220

0

2 15

3 15

4 15

6 15

数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

2 3 4 6 2100 ? 100 ? ? 120 ? ? 220 ? ? ? 140 . 15 15 15 15 15

27.【2014 年辽宁卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低 于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望

E ( X ) 及方差 D( X ) .

(Ⅰ)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个” , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” ,B 表 示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此

P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 .
14

P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15 .

P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108 .

(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为
0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6(1 ? 0.6)2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 (1 ? 0.6) ? 0.432 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为

X P

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72

28.【2014 年全国大纲卷(20) 】 (本小题满分 12 分)

0.5、 0.5、 0.4 ,各人是否 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、
需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.

解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, i ? 0,1, 2

B 表示事件:甲需使用设备
C 表示事件:丁需使用设备

D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备 (1) D ? A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B?C
i P(B) ? 0.6, P(C) ? 0.4, P( Ai ) ? C2 0.52 , i ? 0,1, 2

所以 P(D) ? P( A 1 ? B ?C ? A 2 ?B? A 2 ? B ? C ) ? P( A 1 ? B ? C) ? P( A 2 ? B) ? P( A 2 ? B ? C)

15

? P( A1 )P(B)P(C) ? P( A2 )P(B) ? P( A2 )P(B)P(C) ? 0.31 (2) X 的可能取值为 0 , 1, 2 , 3 , 4 P( X ? 0) ? P(B ? C ? A0 ) ? P(B)P(C)P( A0 ) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.4) ? 0.52 ? 0.06 .
P( X ? 1) ? P( B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C ) ? P( B) P( A0 ) P(C ) ? P( B) P( A0 ) P(C ) ? P( B) P( A1 ) P(C ) ? 0.6 ? 0.52 ? (1 ? 0.4) ? (1 ? 0.6) ? 0.52 ? 0.4 ? (1 ? 0.6) ? 2 ? 0.52 ? (1 ? 0.4) ? 0.25 , P( X ? 4) ? P( B ? C ? A2 ) ? P( B) P(C) P( A2 ) ? 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.06 , P( X ? 3) ? P( D) ? P( X ? 4) ? 0.25 , P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 0.38
所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

4

0.06

0.25

0.38

0.25

0.06

数学期望 E(X) ? P( X ? 2) ? 0 ? P( X ? 0) ? 1? P( X ? 1) ? 2 ? P( X ? 3) ? 3 ? P( X ? 3) ? 4 ? P( X ? 4) ? 0.25 ? 2 ? 0.38 ? 3 ? 0.25 ? 4 ? 0.06 ? 2 .

29.【2014 年山东卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A, B ,乙被划分 为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回 球一次,落点在 C 上的概率为

1 3 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各 5 5

一次,小明的两次回球互不影响.求: (I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (II)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

解: (I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A

P ( A) ?

5 1 1 4 3 ? ? ? ? 6 5 6 5 10

16

(II) ?的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 6

1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? 6 5 30 3 5 6 5 6 1 3 1 1 1 1 1 2 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? 3 5 5 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? ? ? , P(? ? 6) ? ? ? 2 5 3 5 30 2 5 10

??的分布列为
?
P

0
1 30

1
1 6

2
1 5

3
2 15

4
11 30

6
1 10

? 其数学期望为 E (? ) ? 0 ?

1 1 1 2 11 1 91 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30

30.【2014 年四川卷(理 17) 】一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每 次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即 获得 ?200 分) 。设每次击鼓出现音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立。 2

(1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增 加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。 解: (1) X 可能取值有 ?200 ,10,20,100

1 1 1 1 3 1 1 1 P( X ? ?200) ? C30 ( )0 (1 ? )3 ? , P( X ? 10) ? C3 ( ) (1 ? ) 2 ? , 2 2 8 2 2 8 1 1 3 1 1 1 3 P( X ? 20) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? , P( X ? 100) ? C3 ( )3 (1 ? )0 ? 2 2 8 2 2 8
故分布列为

X
P

?200
1 8

10

20

100

3 8

3 8

1 8

17

(2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是 p ?

3 3 1 7 ? ? ? 8 8 8 8 7 511 0 7 0 则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 p1 ? 1 ? C3 ( ) (1 ? )3 ? 8 8 512

(3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是

1 3 3 1 10 E ( X ) ? (?200) ? ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? 分 8 8 8 8 8
这说明每盘游戏平均得分是负分, 由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘游戏 后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少。

31.【2014 年天津卷(理 16) 】 (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). ⑴求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; ⑵设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则

P(A)=

C3·C7+C3·C7 49 = , 3 C10 60

1

2

0

3

49 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 . 60 (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. C4·C6 (k=0,1,2,3), 3 C10 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30
k
3-k

P(X=k)=

所以随机变量 X 的分布列是

X P

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 6 2 10 30 5

18

32.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 18) 】(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中 点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,其
2

2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N ( ? , ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

【解析】 :(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为

2

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200
s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

? 150
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

????6 分

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826
19

??????9 分

(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 X

B(100, 0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26

???12 分

【2014 年北京卷(理 16) 】 (本小题 13 分). 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) :

场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5

投篮次数 22 15 12 23 24

命中次数 12 12 8 8 20

场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5

投篮次数 18 13 21 18 25

命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小学科网(只需写出结论)

解(I)根据投篮计数据可以算出李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场, 分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (Ⅱ)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6” 。 则 C= AB

AB ,A,B 独立。
3 2 , P( B) ? . 5 5

根据投篮统计数据, P ( A) ?

P(C) ? P( AB) ? P( AB)
3 3 2 2 ? ? ? ? 5 5 5 5
20

?
13 . 25

13 25

所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场 不超过 0.6 的概率为

(Ⅲ) EX ? x

33.【2014 年湖北卷(理 20) 】计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位: 亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各 年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限 制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? x ? 80
1

80 ? x ? 120
2

x ? 120
3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 依 题 意 ,

p1 ? p(40 ? X ? 80) ?

10 ? 0.2 50



p2 ? p(80 ? X ? 120) ?

35 5 ? 0.7 , p3 ? p(X ? 120) ? ? 0.1 50 50

由二项分布,在未来 4 年中至多有一年的年入流量超过 120 的概率为

9 9 1 0 1 p ? C4 (1 ? p3 ) 4 ? C4 (1 ? p3 )3 p3 ? ( ) 4 ? 4 ? ( )3 ? ? 0.9477 10 10 10
(Ⅱ)记水电站年总利润为 Y

(1) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y ? 5000 ,

E (Y) ? 1? 5000 ? 5000

(2)安装 2 台发电机的情形 ? 4200 依 题 意 , 当 40 ? x ? 80 时 , 一 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Y ? 5000? 800 ,因此

P(Y ? 4200) ? P(40 ? x ? 80) ? p1 ? 0.2 ; 当 X ? 8 0时 , 两 台 发 电 机 运 行 , 此 时
Y ? 5000 ? 2 ? 10000 ,因此 P(Y ? 10000) ? P(X ? 80) ? p2 ? p3 ? 0.8 ;由此得的分布
列如下 21

Y P

4200 0.2

10000 0.8

所以, E (Y) ? 4200 ? 0.2 ? 1000 ? 0.8 ? 8840 。

(3)安装 3 台发电机的情形 依题意 ,当 40 ? x ? 80 时,一台 发电机运 行,此时 Y ? 5000 ? 1600 ? 3400 ,因 此

P(Y ? 3400) ? P(40 ? x ? 80) ? p1 ? 0.2 ;当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时
Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 因 此 P(Y ? 9200) ? P(80 ? X ? 120) ? p2 ? 0.7 ; 当
X? 1 2 0 时 , 两 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Y ? 5000 ? 3 ? 15000 , 因 此

P(Y ? 15000) ? P(X ? 120) ? p3 ? 0.1 由此得的分布列如下
Y P 3400 0.2 8200 0.7 15000 0.1

所以, E (Y) ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 。 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台。

34.【2014 年广东卷(理 17) 】 (本小题满分 13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工 人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36, 根据 上述数据得到样本的频率分布表如下:

分组 [25,30 (30,35 (35,40 (40,45 (45,50

] ] ] ] ]

频数 3 5 8

频率 0.12 0.20 0.32

n1 n2

f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35]的概率。 【解析】 (1) n1 ? 7, n2 ? 2 , f1 ? 0.28, f 2 ? 0.08 ;

22

(2)样本频率分布直方图为
频率 组距

0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 ? ,则 ? ~ B(4, 0.2) ,

P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为 0.5904.
? 35.【2014 年江西卷(理 21) 】 (本小题满分 13 分)随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n

?

?

个连续正整数分成 A,B 两组, 每组 n 个数, A 组最小数为 a1 , 最大数为 a 2 ; B 组最小数为 b1 , 最大数为 b 2 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 P (C ) ; (3)对(2)中的事件 C, C 表示 C 的对立事件,判断 P (C ) 和 P(C ) 的大小关系,并说明理 由。

【解析】 (1)随机变量 ? 的取值所有可能是:2,3,4,5

P ?? ? 5 ? ? P ?? ? 2 ? ? P ?? ? 3? ?

4 1 ? ; 3 C6 5 4 1 ? 3 C6 5 6 3 ? 3 C6 10

23

P ?? ? 4 ? ?

6 3 ? 3 C6 10

? 的分布列为:
?
2 3 4 5

P
所以, ? 的数学期望为

1 5

3 10

3 10

1 5

1 3 3 1 7 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 5 10 10 5 2
2)事件 ? 与 ? 的取值恰好相等的基本事件:



P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

n ? 2 时,

P ?c? ? 2 ?

2 2 ? 2 C4 3

??? 1 P ?c? ? P ? c ? ? 1 ??? P c P c ? ? ? ? P c 3)因为 ,所以要比较 与 的大小,实际上要比较 与 ? ? 2的 ? ? ? ?

大小, 由

P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

可知,

??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 2 时, ? ? ??? P ?c? ? P ? c ? 当 n ? 3 时, ? ?

24

36.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 19) 】 (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

(1) 由所得数据计算得

t=

1 (1+2+3+4+5+6+7)=4, 7 1 y = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7
7 1

? (t
i ?1 7

? t ) 2 =9+4+1+0+1+4+9=28

? (t
i ?1
7

1

? t )( y1 ? y)

=(-3) ?(-1.4) + (-2)?(-1) + (-1)?(-0.7) +0 ? 0.1+1 ? 0.5+2 ? 0.9+3 ? 1.6=14,

? (t
b=
i ?1

1

? t )( y1 ? y )
=
1

? (t
i ?1

7

? t )2

14 =0.5 28

a= y -b t =4.3-0.5 ? 4=2.3 所求回归方程为 y =0.5t+2.3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 y=0.5×9+2.3=6.8 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元

25

26


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