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两条直线的交点坐标与距离公式-解析几何


学案2 两直线的交点坐标与 距离公式

一、两直线的交点 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组

{

A1x+B1y+C1=0

的解,

A2x+B2y+C2=0
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 , ② 当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)时,两 平行 条直线无交点,即 ,③当A1B2-A2B1=0且A1C2A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点, 重合. 即 二、距离公式 1.两点间的距离

平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=

(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .

2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0

d=

A2 + B2

. 返回目录

3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线,求l1,l2距离的方法:

(1)求一条直线上一点到另一条直线的距离.
(2)设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则
C1 - C 2

d=

A2 + B2 .

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考点一 两直线位置关系的判定 已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m,l2:2x+(m+5)y=8,问m为 何值时: ①l1∥l2;②l1与l2重合; ③l1与l2相交;④l1与l2垂直. 【分析】利用两直线平行、重合、相交、垂直的条 件求解. 返回目录

【解析】①由

m+3 4 3m - 5 ,得m=-7, = ≠ 2 m+5 -8

∴当m=-7时,l1∥l2. ②由
m+3 4 3m - 5 ,得m=-1, = = 2 5+m -8

∴当m=-1时,l1与l2重合.
m+3 4 ≠ ③由 ,得m≠-1且m≠-7, 2 5+m

∴当m≠-1且m≠-7时,l1与l2相交. ④由(m+3)· 2+4(m+5)=0,得m=13 ∴当m=- 时,l1与l2垂直. 3 13 , 3

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【评析】(1)垂直有两种情况:一种是一条直线 的斜率为0,另一条直线的斜率不存在;另一种就是斜 率都存在,且两个斜率的积为-1. (2)两条直线平行有两种情况,一种就是斜率都 不存在;另一种就是斜率都存在并且相等.
(3)两条直线重合即方程是相同的.

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*对应演练*
已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定

m,n的值,使
(1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.

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(1)∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7. (2)由m· m-8〓2=0,得m=〒4, 由8〓(-1)-n·m≠0,得n≠〒2, 即m=4,n≠-2时,或m=-4,n≠2时,l1∥l2. (3)当且仅当m· 2+8· m=0,即m=0时,l1⊥l2, n 又- =-1,∴n=8. 8 即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.

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考点二 距离公式的应用
已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2: x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.

【分析】可设点斜式方程,求与两直线的交点.利用 两点间距离公式求解.
【解析】解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的 方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9), 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 返回目录

若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,
分别与直线l1,l2的方程联立, 由 由

{ {

y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1

解得

3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1

解得

x+y+6=0,

由两点间的距离公式,得 1 - 4k 1 - 9k 3k - 2 3k - 7 2 ( ) +( )2=25, k +1 k +1 k +1 k +1 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知,直线l的方程为x=3或y=1. 返回目录

解法二:设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,
y1),B(x2,y2), 则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5, 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25, 联立①②可得 ① ②

{

x1-x2=5
y1-y2=0



{

x1-x2=0

y1-y2=5.

由上可知,直线l的倾斜角分别为0°和90°. 故所求的直线方程为x=3或y=1.

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【评析】 这类题一般有三种情况:被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线,当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ; 当a>d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求,先设交 点坐标,利用整体思想求解.

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*对应演练*
求过点P(-1,2)且与点A(2,3)和B(-4,5)距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),

即kx-y+k+2=0.由题意知
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-

| 2k - 3 + k + 2 | k +1
2

=

| -4k - 5 + k + 2 | k2 +1

1 . 3 1 ∴直线l的方程为y-2=- (x+1), 3

即x+3y-5=0. 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,也符合题意. 返回目录

解法二:当AB∥l时,有k=kAB=- 1,直线l的方程为y-2= 3 - 1 (x+1),即x+3y-5=0.
3

当l过AB的中点时,AB中点坐标为 (-1,2),
∴直线AB的方程为x=-1. 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

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考点三

对称问题

求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.

【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.

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【解析】解法一:由

{

y=2x+3 y=x+1

得直线l1与l的交点坐标为

(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).

{

y 1 + 3 x1 = +1 2 2

y1 - 3 =-1 x1



{

x1=2

y1=1,

1+1 ∴l2的方程为y-1= (x-2),即x-2y=0. 2+2

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解法二:设所求直线上一点P(x,y), 则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称. 由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点 P2( x + x 0 , y + y 0 )在直线l上. 2 2 y0 - y · 1=-1 x0 - x ∴ 变形得 , y + y 0 x + x0 = +1 2 2 代入直线l :y=2x+3得x+1=2〓(y-1)+3,

{
1

{

x0=y-1 y0=x+1,

整理得x-2y=0. ∴所求直线方程为x-2y=0. 返回目录

解法三: 由

{

y=2x+3 y=x+1 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),

∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 在直线l上任取一点(1,2), 由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,

由点到直线的距离公式得

| k - 2 + 2k - 1 |
2 2

1 +k 2 + (-1) 1 解得k= (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0. 2

=

| 2-2+3|
2 2

,

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【评析】 (1)对称问题是解析几何中的一个重要题型, 是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲 线上的点关于直线对称来解决.求点P(x0,y0)关于直线 l:Ax+By+C=0的对称点Q(x1,y1)的坐标,可利用PQ⊥l及线 段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题解法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法 解题的.这是解这类问题的一个通法. (2)两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论: ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y); ②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y); ③点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y); ④点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x);

⑤点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
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*对应演练*
已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称, 则l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0 B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0

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B(l1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点都在l2 上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为 l1上一点,设其关于l的对称点为(x,y),则 x+0 y-2 -1=0, x=-1, 2 2 得 即(1,0), y+2 y=-1. × 1 =-1, x (-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.

{

{

故应选B.)

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考点四

直线系方程的应用

求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.

【分析】 (1)先求出直线l1与l2的交点,然后利用点 斜式求出直线方程.
(2)可利用垂直直线系方程求解.

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【解析】解法一:先解方程组3x+2y-1=0
3 5x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为 求 5 5 出l的斜率为- ,于是由直线的点斜式方程求出 3 5 l:y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 3

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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线, 而l过l1,l2的交点(-1,2),故5〓(-1)+3〓2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0. 解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得

(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3 + 5λ 5 其斜率 , =2 + 2λ 3 1 解得λ= ,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0. 5

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解法四:∵l⊥l3, 故l属于直线系5x+3y+C=0, ①

又l过l1,l2的交点,故l又属于直线系
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 则①,②是同一直线,必有 ②

3 + 5λ 2 + 2λ - 1 + λ = = 5 3 C 由等比定理,得 - 1 + λ - 2(3 + 5 λ) + 5(2 + 2 λ) 4 = = C - 2× 5 + 5× 3 5 又 - 2(-1 + λ) + (2 + 2 λ) = 4 = 4 - 2·C + 3 3 - 2C 5 ∴C=-1,代入①即得l的方程为5x+3y-1=0.
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{

【评析】 (1)解法一是通法通解,用了求交点及两直线 垂直时斜率之间的关系求出斜率,然后利用点斜式求出方 程.解法二与解法三比较灵活,用了垂直和相交的直线系方 程,运算较简捷.

(2)常见的直线系方程:
①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). ②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R).

③过直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0
的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ是实数),但不包括l2,应用直线系方程①②可比较快捷地 求出与已知直线平行或垂直的直线方程,利用直线系方程 ③可解决与相交和过定点有关的问题. 返回目录

*对应演练*
过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的 距离为 10 的直线的方程为 .

3x-y-4=0(设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即 (7+λ)x+(5-λ)y-24=0. ∴
| (7 + λ) × 5 + (5 - λ) - 24 | (7 + λ) + (5 - λ)
2 2

= 10 ,解得λ=11.

故所求直线方程为3x-y-4=0.) 返回目录

考点五 直线中的最值问题 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

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【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满

足(1);C关于l的对称点为C′,AC′与l 的交点Q满足(2).事
实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则 |P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′|<|AB′| =|PA|-|PB′|=|PA|-|PB|; 对于(2),若Q′是l上异于Q的点,则 |Q′A|+|Q′C|=|Q′A|+|Q′C′|>|AC′|=|QA|+|QC|.

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【解析】 (1)如图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标

b-4 为(a,b),则kBB′ · l=-1,即3· k =-1.∴a+3b-12=0 ① a α b-4 又由于线段BB′的中点坐标为( , ),且在直线l上, 2 a ∴3〓 α - b - 4 -1=0.即3a-b-6=0 ② a 2 解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为 即2x+y-9=0. , y -1 x - 4 = 3 -1 3 - 4



即l与AB′的交点坐标为P(2,5). 返回目录

{

3x-y-1=0 2x+y-9=0, 得

{

x=2 y=5,

(2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为 ( 3 , 24 ).
5 5

∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,
AC′和l交点坐标为(
7 7 11 26 , ), 7 7

则P点坐标为(11 , 26 ) .

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【评析】 (1)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离

之和最小.
①当两定点A,B在直线l异侧时,由两点之间线段最短 及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点P为AB连 线与l的交点;点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长 度,如图. |P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|. 当且仅当A,B,P三点共线时等式成立.

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②当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对 称点为A′.连结A′B交直线l于点P,则点P到两定点A,B的距离 之和最小. (2)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对 值最大. ①当两定点A,B在直线l的同侧时(AB连线与l 不平行),连结A,B两点所在的直线,交直线l于点P. 如图,在l上任取一点P′,则有 当||P′B|-|P′A||≤|AB|=|PB|-|PA|,

当P′与P两点重合时,等号成立,最大的值为 |AB|.重合时,等号成立,最大值为|A′B|.
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②当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的 对称点A′,连结A′B,交l于点P,如图可知,
||PB|-|PA′||=|A′B|时,达到最大. 在l上任取一点P′,则 ∵||P′B|-|P′A′||≤|A′B|, ∴当P′点与P点重合时, 等号成立,最大值为|A′B|.

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*对应演练*
设点A(-3,5)和B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上,找一点P,
使|PA|+|PB|为最小,并求这个最小值.

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设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a,b), 则由AA′⊥l和AA′被l平分, b-5 3 × = -1 , a+3 4 得 a-3 b+5 3× - 4× +4 = 0 , 2 2 解之得a=3,b=-3,∴点A′的坐标为(3,-3),

{

∴(|PA|+|PB|)min=|A′B|= ∵kA′B=
15 + 3 =-18, 2-3

. (3 - 2)2 + (-3 - 15)2 = 5 13

∴直线A′B的方程为y+3=-18(x-3). 解方程组

{

3x-4y+4=0,

8 解之得P( ,3). y+3=-18(x-3), 3
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本学案内容是高考直线部分命题的重点.一般从下 面三方面来命题:一是用直线方程判断两直线间的位 置关系;二是利用两直线间的位置关系求直线方程;

三是综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴
对称等常见的一些问题.

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