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江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选分类汇编18:函数的单调性与导数


江苏省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 18:函数的单调性与导数
一、填空题 错误! 未指定书签。 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题) 函数

f ( x) ? x ? 2cos x, x ? [0, ] 2

?

的最大值是________.
【答案】

?
6

? 3

错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)已知定义在 R 上的可

导函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ( x) ,满足 f ( x) ? f ( x) ,且 y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等
/ /

式 f ( x) ? e 的解集为______.
x

【答案】 (0, ??) 错误!未指定书签。 . (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)若函数 f ( x) ? ax ? x ? 3 恰有 3
3

个单调区间,则 a 的取值范围是__________.
【答案】 (??,0) 错误!未指定书签。 . (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)定义在 R 上的函数

f ( x) , 其 导 函 数 f ' ? x ? 满 足 f ' ? x ? ? 1 , 且 f ? 2 ? ? 3 , 则 关 于 x 的 不 等 式 f ? x ? ? x ? 1 的 解 集 为
________.
【答案】 ? ??, 2 ? 错误!未指定书签。 . (江苏省阜宁中学 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题)若函数 y ? f ? x ? 的导

函数在区间 ? a , b ? 上是增函数,则函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b ? 上的图象可能是下列中的________.


【答案】①







错误! 未指定书签。( .江苏省阜宁中学 2014 届高三第一次调研考试数学 (理) 试题) 若函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ?

上的导函数为 f ? ? x ? ,且不等式 xf ? ? x ? ? f ? x ? 恒成立,又常数 a, b 满足 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定 成立的是_______. ① bf ? a ? ? af ? b ? ;② af ? a ? ? bf ? b ? ;③ bf ? a ? ? af ? b ? ;④ af ? a ? ? bf ? b ? .
【答案】① 错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 诚 贤 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

f(x)= x2 ? cos x ,x∈ [? , ] ,则满足 f(x0)>f( )的 x0 的取值范围为________.
1

π π 2 2

? 3

【答案】

? ? ? ? [? , ? ) ∪ ( , ] 2 3 3 2

错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市洛社高级中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)若 函 数 f ( x) 的 导 函

数 f '( x) ? x ? 4 x ? 3 , 则 函 数 f ( x ? 1)的 单 调 减 区 间 是 ________ .
2

【答案】 (2, 4) 错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 无 锡 市 洛 社 高 级 中 学 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

? ? x 2 ? 6 x ? e 2 ? 5e ? 2, x ? e f ( x) ? ? ( 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 且 e≈ 2.718) 若 ? x ? 2 ln x, x ? e

f (5 ? m2 ) ? f (4m) , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ___________ .
【答案】 (?5,1) 错误!未指定书签。 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题)已知 f ( x) 为奇函

数,且当 x>0 时, f ( x) ? 0 , f (3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解 集为____________.
'

【答案】 {x | 0 ? x ? 3或 ? 3 ? x ? 0} 错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)已知定义在 R 上的

可 导 函 数 y ? f ?x ? 对 任 意 x ? R 都 有 f ?x ? ? f ?? x ? , 且 当 x ? 0 时 , 有 x ? f ??x ? ? 0 , 现 设

a ? f ? sin 32 0 , b ? f cos 32 0 ,则实数 a, b 的大小关系是______.
【答案】a>b 二、解答题 错误!未指定书签。 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期( 10 月)第一次统测数学 ( 理 ) 试卷) 已知函数

?

?

?

?

f ( x) ? x 2 ln | x | ,
(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.
【答案】解:(1)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R 且 x ? 0} 关于坐标原点对称

f (? x) ? (? x) 2 ln | ? x |? x 2 ln x ? f ( x) ? f ( x) 为偶函数
(2)当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ? x(2 ln x ? 1) x
? 1 2

令 f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? x ? e
2

?x?

e e

令 f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0
? 1 2

? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 0 ? x ? e

?0? x?

e e

所以可知:当 x ? (0,

e ) 时, f ( x) 单调递减, e

当x?(

e ,?? ) 时, f ( x) 单调递增, e

又因为 f ( x) 是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得:

当 x ? (?

e ,0) 时, f ( x) 单调递增, e e ) 时, f ( x) 单调递减, e e e ,0) , ( ,??) ; e e

当 x ? ( ??,?

综上可得: f ( x) 的递增区间是: (?

f ( x) 的递减区间是: (0,

e e ) , (??,? ) e e
2

(3)由 f ( x) ? kx ? 1 ,即 f ( x) ? x ln | x |? kx ? 1,显然, x ? 0 可得: x ln | x | ?

1 1 1 ? k 令 g ( x) ? x ln | x | ? ,当 x ? 0 时, g ( x) ? x ln x ? x x x
x2 ?1 1 1 1 ? 2 ? ln x ? 1 ? 2 ? ln x ? x x x2 x

g ' ( x) ? x' ln x ? x ?

显然 g ' (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 当 x ? 1时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,

? x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1
又 g (? x) ? ? g ( x) ,所以可得 g ( x) 为奇函数,所以 g ( x) 图像关于坐标原点对称 所以可得:当 x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1 ∴ g ( x) 的值域为 (??,?1] ? [1,??) ∴ k 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??)

错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 启 东 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 模 拟 数 学 试 题 ) 设 函 数
3

f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 .(1).若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间;
(2).若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围
【答案】解:(1) a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x , f '( x) ? e ? 1 .
x x

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (??,0) 单调减少,在 (0, ??) 单 调增加 (II) f '( x) ? e ? 1 ? 2ax
x

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x ?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? e x ? 1 ? 2a(e? x ? 1) ? e? x (e x ? 1)(e x ? 2a) ,
故当 x ? (0,ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ( ??, ] .
错误! 未指定书签。 ( .江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题) 设 t>0,已知函数 f (x)=x (x-t)
2

1 2

的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求函数 f (x)的单调区间; 1 (2)设函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 k,当 x0∈(0,1]时,k≥- 恒成立,求 t 的最大值; 2 (3)有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好 与函数 y=f(x)的图象有两个不同的交点 C,D,若四边形 ABCD 为菱 .. 形,求 t 的值.
【答案】,解:(1)f ′(x)=3x -2tx=x(3x-2t)>0,因为 t>0,所以当 x>
2

2t 或 x<0 时,f ′(x)>0, 3

2t 所以(-∞,0)和( ,+∞)为函数 f (x)的单调增区间; 3 2t 2t 当 0<x< 时,f ′(x)<0,所以(0, )为函数 f (x)的单调减区间 3 3 1 1 2 (2)因为 k=3x0 -2tx0≥- 恒成立,所以 2t≤3x0+ 恒成立, 2 2x0

4

因为 x0∈(0,1],所以 3x0+

1 ≥2 2x0

1 3x0× = 6, 2x0

1 6 即 3x0+ ≥ 6,当且仅当 x0= 时取等号. 2x0 6 所以 2t≤ 6,即 t 的最大值为 6 2 2t 4t 处取得极小值- . 3 27
3

(3)由(1)可得,函数 f (x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x=

因为平行于 x 轴的直线 l 恰好 与函数 y=f (x)的图象有两个不同的交点, .. 4t 所以直线 l 的方程为 y=27
3 3

4t 4t 2t t 2 令 f (x)=- ,所以 x (x-t)=- ,解得 x= 或 x=- . 27 27 3 3 2t 4t t 4t 所以 C( ,- ),D(- ,- ) 3 27 3 27 因为 A(0,0),B(t,0).易知四边形 ABCD 为平行四边形. 4t 2 (- ) +(- ) ,且 AD=AB=t, 3 27
2 3 3

3

AD=

t

3

所以

4t 2 3 8 (- ) +(- ) =t,解得:t= 3 27 2
2

t

3

4

错误!未指定书签。 . (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题) 已知实数 a ? 0 , 函数

f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 2 ln x ,g (x )? f (x ) ? 4 a?
(1)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;

1 . 4a

(2)若 f ( x) 在区间 [1, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若当 x ? [2, ??) 时,函数 g ( x) 图象上的点均在不等式 ? 取值范围.
【答案】

?x ? 2 ,所表示的平面区域内,求实数 a 的 ?y ? x

5

错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 南 京 市 第 五 十 五 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 ) 已 知

) , l 是曲线 y ? f ( x) 在点 P(0, f (0)) 处的切线. a ? 0 , f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1
6

(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)若切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点,求 a 的值; ( Ⅲ)证明对任意的 a ? n (n ? N ) ,函数 y ? f ( x) 总 有单调递减区间 ,并求出 f ( x) 单调递减区间
*

的长度的取值范围.(区间 [ x1 , x2 ] 的长度= x2 ? x1 )

【答案】 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1), f (0) ? 1 , f ( x) ? 2ax ? 2 ?
2

'

1 2ax 2 ? (2a ? 2) x ? 1 , ? x ?1 x ?1

f ' (0) ? ?1,切点 P(0,1) , l 斜率为 ? 1.
∴切线 l 的方程: y ? ? x ? 1 (Ⅱ)切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点等价于方程 ax ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1) ? ? x ? 1 有且只
2

有一个实数解. 令 h( x) ? ax ? x ? ln( x ? 1) ,则 h( x) ? 0 有且只有一个实数解.
2

∵ h(0) ? 0 ,∴ h( x) ? 0 有一解 x ? 0 .

h ' ( x) ? 2ax ? 1 ?

1 2ax ? (2a ? 1) x ? ? x ?1 x ?1
2

2ax[ x ? (

1 ? 1)] 2a x ?1

1 ' x2 ? 0( x ? ?1), h( x) 在 (?1,??) 上单调递增, ① a ? , h ( x) ? 2 x ?1
∴ x ? 0 是方程 h( x) ? 0 的唯一解; ②0 ? a ?

1 ' 1 , h ( x) ? 0 , x1 ? 0, x2 ? ?1 ? 0 2 2a

x
h ' ( x)

(-1,0)

0

1 (0, ? 1) 2a


1 ?1 2a
0 极小值



1 ? 1,??) 2a

+ ↗

0 极大值0

+ ↗

h( x)
∴ h(

1 1 1 1 1 ? 1) ? h(0) ? 0, h( ) ? a ? 2 ? ? ln( ? 1) ? 0 , 2a a a a a 1 ∴方程 h( x) ? 0 在 ( ? 1,??) 上还有一解.故方程 h( x) ? 0 的解不唯一; 2a 1 ' 1 ③当 a ? , h ( x) ? 0 , x1 ? 0, x 2 ? ? 1 ? (?1,0) 2 2a
7

x
h ' ( x)

1 (?1, ? 1) 2a
+ ↗

1 ?1 2a
0 极大值

(

1 ? 1,0) 2a

0

(0,??)
+ ↗



0 极小值0

h( x)
∴ h(

? ?.

1 ? 1) ? h(0) ? 0 , 而当 x ? ?1 且 x 趋向 -1 时 , ax 2 ? x ? a ? 1, ln( x ? 1) 趋向 ? ? , h( x) 趋向 2a
1 2a

∴方程 h( x) ? 0 在 (?1, ? 1) 上还有一解.故方程 h( x) ? 0 的解不唯一. 综上,当 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点时, a ? (Ⅲ) f ( x) ?
'

1 . 2

2ax 2 ? (2a ? 2) x ? 1 ' 2 ;∵ x ? ?1, ∴ f ( x) ? 0 等价于 k ( x) ? 2ax ? (2a ? 2) x ? 1 ? 0 . x ?1
? ? (2a ? 2) 2 ? 8a ? 4(a 2 ? 1) ? 0
, 对 称 轴



x??

2a ? 2 1 1 ?? ? ? ?1 , k (?1) ? 2a ? (2a ? 2) ? 1 ? 1 ? 0 ,∴ k ( x) ? 0 有 解 x1 , x 2 , 其 中 4a 2 2a

? 1 ? x1 ? x2 .
∴当 x ? ( x1 , x 2 ) 时, f ( x) ? 0 .所以 y ? f ( x) 的减区间为 [ x1 , x2 ]
'

x 2 ? x1 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x 2 x1 ? (?

2a ? 2 2 1 1 ) ? 4? ? 1? 2 2a 2a a 1 1 ? 1? 2 ? 2 2 n 1

* 当 a ? n(n ? N ) 时,区间长度 x 2 ? x1 ? 1 ?

∴减区间长度 x2 ? x1 的取值范围为 (1, 2 ]
错误! 未指定书签。 (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题) . 已知 a , 函数 f ( x) ? x ? ax , b 是实数,
3

g ( x) ? x 2 ? bx , f / ( x) 和 g / ( x) 分别是

f ( x) , g ( x) 的导函数,若 f / ( x) g / ( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性
一致. (Ⅰ)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求 | a ? b | 的 最大值.
8

【答案】由已知,f '(x)=3x +a,g'(x)=2x+b,a,b?R;

2

⑴由题设“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 即,(3x2+a)(2x+b)?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 因 a>0,所以,3x2+a>0,所以,2x+b?0 在区间[-1,+?)上恒成立, 即,b?-2x 在区间[-1,+?)上恒成立,而 y=-2x 在[-1,+?)上最大值 ymax=-2(-1)=2, 所以,b?2,即 b?[2,+?); ⑵由“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)?0 在以 a,b 为端点的开区间上恒成立, 即,(3x2+a)(2x+b)?0 在以 a,b 为端点的开区间上恒成立, 因 a<0,所以,由(3x2+a)(2x+b)=0,得 x1=- a - ,x2= 3 a b - ,x3=- ; 3 2

①若 b>0,则开区间为(a,b),取 x=0,由 f '(0)g'(0)=ab<0 知,f(x)和 g(x)在区间(a,b)上单调性不一致, 不符合题设; ②若 b?0,因 x2,x3 均为非负,故不在以 a,b 为端点的开区间内;所以,只有 x1 在区间上; 由 f '(x)g'(x)?0 在以 a,b 为端点的区间上恒成立,知 x1=- 大于 a,b 中的小者; 因为 a,b 都不大于 0,所以,(2x+b)?0,所以,由 f '(x)g'(x) ?0 知(3x2+a)?0,所以- 当 0>a>b?- a - ?x?0; 3 a - 要么不小于 a,b 中的大者,要么不 3

a - 时,由 f '(x)g'(x)?0 在区间(b,a)上恒成立,即(3x2+a)(2x+b)?0 在区间(b,a )上恒成立, 3 a - |,而由 a>- 3 a 1 - 解得 a>- ; 3 3

知|a-b|最大值为|a+ 此时,|a+ 当 0?b >a?- 1 1 )|= ; 3 3

a 1 - |=|-( -a)2+ -a|,配方后知,取不到最大值; 3 3 a - 时,显然,此时,当 b=0,a=- 3 a 1 - ,即 b=0,a=- 时,|a-b|取得最大值|0-(- 3 3

1 综上,|a-b|的最大值为 ; 3
错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)本小题满分 16 分,

第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 2 2

(1) 当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x) 的单调区间; (3) 对定义域内每一个 x ,总有 f ?x ? ? 0 ,则称 f ? x ? 为“非负函数”,若 f ? x ? 在 x ? ?1,??? 上是“非 负函数”,求实数 a 的取值范围.
【答案】解(Ⅰ) a ? 2 时,

f ( x) ?

1 2 1 x ? 2 ln x ? , 2 2

f (1) ? 0

2 f '( x) ? x ? , f '(1) ? ?1 x 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ? y ? 1 ? 0
9

a x2 ? a ? ( x ? 0) x x x2 ? a ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的递增区间为 ? 0, ?? ? ①当 a ? 0 时, f '( x) ? x ②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ? a
(Ⅱ) f '( x) ? x ?

x f’(x) f(x)

( 0, 减

a)

a

( ( a , ??) ,1) + 增

所以函数 f ( x) 的递增区间为

?

a , ?? ,递减区间为 (0, a )

?

(Ⅲ)由题意知对任意的 x ? [1, ??) , f ( x) ? 0 ,则只需任意的 x ? [1, ??) , f ( x) min ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x) 在[1,+?)上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2 所以 a ? 0 满足题意;
而 f (1) ? ②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 所以只需 f (1) ? 0

a ? 1 , f ( x) 在[1,+?)上是增函数,

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2 所以 0 ? a ? 1 满足题意;
而 f (1) ? ③当 a ? 1 时, a ? 1 , f ( x) 在[1, a ] 上是减函数,[ a ,+?)上是增函数, 所以只需 f ( a ) ? 0 即可 而 f ( a ) ? f (1) ? 0 从而 a ? 1 不满足题意; 综合①②③实数 a 的取值范围为 (??, 0) ? (0,1]

10


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