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2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷二


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2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷二
一、选择题 1、设集合 P={1,2,3,4,5},集合 Q ? {x ? R | 2 ? x ? 5} ,那么下列结论正确的是( A. P ? Q ? P B. P ? Q ? Q C. P ? Q ? P D. P ? Q ? Q ( D.即非充分也非必要条件 ) ) )

2、已知条件 p:x≤1,条件,q:

1 <1,则 ? p 是 q 的 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 3、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 3
D. ? 2

A.4

B. ? 4

C.2

4、以 ? 24 为首项的等差数列 ?an ? ,当且仅当 n=10 时,其前 n 项和最小,则公差 d 的取值范围 是( )

A. d ?

12 5

B.

12 8 ?d ? 5 3


C.

12 8 ?d ? 5 3

D.

12 8 ?d ? 5 3

5、下列命题正确的是(

?? ? ? ? ?? A.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ? , ? 内单调递增 3? ? ? 3 6?
B.函数 y ? cos4 x ? sin 4 x 的最小正周期为 2?

?? ? ?? ? C.函数 y ? cos ? x ? ? 的图像是关于点 ? , 0 ? 成中心对称的图形 3? ? ?6 ? ?? ? ? D.函数 y ? tan ? x ? ? 的图像是关于直线 x ? 成轴对称的图形 3? 6 ?
6、 、 为两个互相垂直的平面, 、 为一对异面直线, α β a b 下列条件: ①a//α、 ? ? ; b ②a⊥α、 // ? ; b ③a⊥α、b ? ? ;④a//α、b // ? 且 a 与 α 的距离等于 b 与 β 的距离, 其中是 a⊥b 的充分条件的有 ( A.①④ B.① ) C.③ D.②③

7、已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)(x ? b)(a ? b), m, n 是 f (x) 的零点,且 m ? n ,则实数 a、b、m、n 的 大小关系是 ( )

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开始

A. m ? a ? b ? n C. a ? m ? b ? n

B. a ? m ? n ? b D. m ? a ? n ? b ( D.2652 ) .

k=1

8、如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? A.2450 B.2500 C.2550

S ?0
k ? 50?



9、有 5 个人拿着不同的水桶在一个水龙头前排队打水,前面的人接 满后离开,后面的人才能继续接水. 甲接满水需 1 分钟,乙接满水 需 1.8 分钟,丙接满水需 1.5 分钟, 丁接满水需 1.1 分钟,戊接满 水需 1.2 分钟.则排队的时间总和的最小值为( A. 6.6 B. 14.6 C. 17.8 )分钟. D. 19.8

S ? S ? 2k
k ? k ?1

输出S
结束

10、直线 x ? 3 y ? 0 绕原点按顺时针方向旋转 30°所得直线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的位置关系 是( ) ( ) D.直线过圆心

A.直线与圆相切

B.直线与圆相交但不过圆心 C.直线与圆相离

11、已知整数对序列, (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1),? ,则第 2008 个 数对是( ) B. (55,9) C. (54,9) D. (54,10)

A. (55,8)

12、 如果我们定义一种运算:g ? h ? ? 大致图象是( )

? g ( g ? h), 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 , 那么函数 f ( x ? 1) 的 h ( g ? h), ?

?x ? y ? 5 ? 0 ? , 且z ? 2 x ? 4 y 的最小值为-6, 二、填空题 13、 已知 x, y, z满足? x ? 3 则常数 k= ?x ? y ? k ? 0 ?

.

14、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数为 a、b,则 log2 a b ? 1 的概率 为 .

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15、若函数 f ( x) ?

ax ? 1 (a为常数 ), 在(?2,2) 内为增函数,则实数 a 的取值范围 x?2



16、已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0) ,若直线上存在点 P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为 “B 型直线” ,给出下列直线:①y=x+1,②y= 的是 三、解答题 17、 已知三 点 A,B ,C 的坐 标分别为 A(cos ? , sin ? )(? ? .(填上所有正确结论的序号)

4 x, ③y=2,④y=2x+1,其中为“B 型直线” 3

k? , k ? Z ), B(3,0), C (0,3) , 且 4

AB ? AC ? ?1
(1)求 sin ? ? cos ? 的值; (2)求

1 ? sin 2? ? cos 2? 的值。 1 ? tan ?

18、如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点,以 AE 为折痕将 ?DAE 向上折 起,使 D 为 D ? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD ? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D? E

C
B

A

B
18 题

A

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19、已知 f ( x) ?

2x ? a ( x ? R) 在区间 [?1,1] 上是增函数 x2 ? 2
1 的两个非零实根为 x1 , x2 。 x

(I)求实数 a 的取值范围; (II)记实数 a 的取值范围为集合 A,且设关于 x 的方程 f ( x) ? ①求 | x1 ? x2 | 的最大值; ②试问: 是否存在实数 m, 使得不等式 m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对 ?a ? A 及 t ? [?1,1] 恒成立? 若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20、有 A,B,C,D 四个城市,它们都有一个著名的旅游点,依此记为 a,b,c,d.把 ABCD 和 a,b,c,d 分别写成左、右两列,现在一名旅游爱好者随机用 4 条线把左右两边的字母全部 连接起来,构成“一一对应” ,已知每连对一个得 2 分,连错得 0 分; (Ⅰ)求该爱好者得分的分布列; (Ⅱ)求该爱好者得分的数期望.

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21、 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x), x<0 时, 当 f(x)>1, 且对任意的实数 x、 y∈R, f(x+y)=f(x)f(y), 有 (Ⅰ)求 f(0),并写出适合条件的函数 f(x)的一个解析式; (Ⅱ)数列{an}满足 a1 ? f (0)且f (a n ?1 ) ? ①求通项公式 an 的表达式; ②令 bn ? ( ) n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , Tn ?
a

1 (n ? N * ) , f (?2 ? a n )

1 2

1 1 1 , ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1

试比较 Sn 与

4 Tn 的大小,并加以证明. 3

22、设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直线分 a2 b2
??? 8 ??? ? ? 5

别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且 AP= PQ . y A P F O Q x ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

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高三数学强化训练综合卷二参考答案 一、选择题 CAAB CCAC 二、填空题 13.0 三、解答题 17、解: (1) AB ? (3 ? cos? ,? sin ? ), AC ? (? cos? ,3 ? sin ? ). 14、 CBBB

1 12

15、 ( ,?? )

1 2

16.①③

? AB ? AC ? ?1,? (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1 2 整理得 : sin ? ? cos? ? . 3
(2)原式=

2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 2 sin ? cos? , sin ? 1? cos?
2 4 5 平方得1 ? 2 sin ? cos ? ? ,? 2 sin ? cos ? ? ? 3 9 9

由sin ? ? cos ? ?
故原式= ?

5 9

18、 (Ⅰ) Rt ?BCE 中,BE ? 解 在 在 Rt ?AD?E 中, AE ?
2 2 2

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,
2

D?

D?A ? D?E ? 2 ,
2
2

∵ AB ? 2 ? BE ? AE , ∴ AE ? BE .---------------------------2 分 ∵平面 AED ? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE , ∴ BE ? 平面 AED? . ∵ AD ? ? 平面 AED? ,∴ AD ? ? BE .------------------------------------5 分 (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ)知 AD ? ? BE , ∵ AD? ? ED? ,∴ AD ? ? 平面 EBD? ,

E A
19-2

G
F B

C

∵ AD ? ? 平面 AED? ,∴平面 ABD ? ? 平面 EBD? ,且交线为 BD? ,---------7 分 如图 19-2,作 FG ? BD ? ,垂足为 G ,则 FG ? 平面 ABD? , 连结 AG ,则 ?FAG 是直线 AC 与平面 ABD? 所成的角.-------------------9 分 由平面几何的知识可知

EF EC 1 1 2 ? ? ,∴ EF ? EB ? .--------------11 分 FB AB 2 3 3

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在 Rt ?AEF 中, AF ?

AE 2 ? EF 2 ? 2 ?

2 2 5 , ? 9 3

2 6 FG 30 FG D?E 2 6 ? ? 9 ? 在 Rt ?EBD? 中, ,可求得 FG ? .∴ sin ?FAG ? . FB D?B AF 2 5 15 9 3
------------------------------------------------------------------------13 分 19、解: (1) f ?( x) ?

?2( x2 ? ax ? 2) ( x2 ? 2)2

?????????????????1 分

? f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数 ? f ?( x) ? 0 即 x 2 ? ax ? 2 ? 0 ,在 x ?[?1,1] 恒成立 ????①
设 ????3 分

? ( x) ? x2 ? ax ? 2 ,则由①得
?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 解得 ?1 ? a ? 1 ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0
所以, a 的取值范围为 [?1,1]. ?????????????????????6 分

(2)由(1)可知 A ? {a | ?1 ? a ? 1} 由 f ( x) ?

1 2x ? a 1 ? 得 x 2 ? ax ? 2 ? 0 即 2 x x ?2 x

? ? ? a2 ? 8 ? 0

? x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两个非零实根

? x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? ?2 ,又由 (1) ? 1 ? a ? 1
?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 ? 3 ???????????9 分
于是要使 m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对 ?a ? A 及 t ? [?1,1] 恒成立 即 m ? tm ? 1 ? 3 即 m ? tm ? 2 ? 0 对 ?t ? [?1,1] 恒成立 ???②???11 分
2 2

设 g (t ) ? m ? tm ? 2 ? mt ? (m ? 2) ,则由②得
2 2

? g (?1) ? m 2 ? m ? 2 ? 0 ? 解得 m ? 2 或 m ? ?2 ? 2 ? g (1) ? m ? m ? 2 ? 0 ?

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故存在实数 m? (??, ?2) ? (2, ??) 满足题设条件??????????14 分 20、 (I)解:设答对题的个数为 y,得分为ξ ,y=0,1,2,4 ∴ξ =0,2,4,8??????????????????????1 分

P(? ? 0) ?

9 9 ????????????????????3 分 ? 4 A4 24
2 C4 ? 1 8 1 ? ? ????????????????5 分 4 24 3 A4 2 C4 ? 1 6 1 ? ? ????????????????7 分 4 24 4 A4

P(? ? 2) ?

P(? ? 4) ?
P(? ? 8) ?

1 1 ??????????????????9 分 ? 4 A4 24

则ξ 的分布列为 ξ P 0 2 4 8

9 1 24 3 9 1 1 1 (II)Eξ =0× +2× +4× +8× =2 24 3 4 24

1 4

1 24

答:该人得分的期望为 2 分????????????12 分 21、解: (I)由题意,令 y=0,x<0,得 f(x)[1-f(0)]=0,∵x<0 时,f(x)>1. ∴1-f(0)=0. f(0)=1.??????????????????????2 分 适合题意的 f(x)的一个解析式为 f(x)=(

1 x ) .????????????4 分 2

(II)①由递推关系知 f(an+1)·f(-2-an)=1,即 f(an+1-2-an)=f(0). ∵f(x)的 R 上单调,∴an+1-an=2, (n∈N*) ,??????????6 分 又 a1=1,故 an=2n-1.????????????????????7 分 ②bn= ( )

1 2

an

1 1 1 1 ? ( ) 2 n ?1 ,Sn=b1+b2+?+bn= +( )3+?+( )2n-1 2 2 2 2

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1 1 [1 ? ( ) 2 n ] 3 1 2 2 ? (1 ? n ). 1 2 4 1 ? ( )2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? ? ??? ? ? ??? a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 1 ? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ?????9分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 4 2 1 3 1 2 1 1 3 4 n ? (2n ? 1) S n ? Tn ? (1 ? n ) ? (1 ? )? ( ? n)? ? 3 3 2 2n ? 1 3 2n ? 1 4 2 (2n ? 1) ? 4 n 4
4 3

欲比较 Sn 与 Tn 的大小,只需比较 4n 与 2n+1 的大小. 由=1,2,3 代入可知 4n>2n+1,猜想 4n>2n+1.????????10 分 下用数学归纳法证明 (i)当 n=1 时,41>2×1+1 成立 (ii)假设当 n=k 时命题成立,即 4k>2k+1 当 n=k+1 时,4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1, 说明当 n=k+1 时命题也成立. 由(i) (ii)可知,4n>2n+1 对于 n∈N*都成立. 故 Sn> Tn .????????????????????????12 分 注:证明 4n>2n+1,除用数学归纳法证明以外,还可用其它方法证明,
1 2 n 如:4n=(1+3)n=1+ Cn ? 3 ? Cn ? 32 ? ? ? Cn ? 3n ? 1 ? 3n ? 2n ? 1.

4 3

22、解⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)

王新敞
奎屯

新疆

A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
得 x1 ?

b2 c

设 P( x1 , y1 ),由AP ?

8 PQ , 5

8b 2 5 , y1 ? b ?2 分 13c 13

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ? 1 ????4 分 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=

1 ???6 分 2

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⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac, 得

c 1 1 1 3 b2 3 ? a , 由 ? , 得c ? a 于是 F(- a,0) Q ( a ,0) , a 2 2 2 2 c 2 1 1 a,0) ,半径 r= |FQ|=a????????11 分 2 2

△AQF 的外接圆圆心为(

1 | a ?3| x2 y2 ? ? 1 ??14 分 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 ,所求椭圆方程为 4 3 2

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