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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程练习 新人教A版选修1-1


2.1.1 椭圆及其标准方程

一、选择题 1.椭圆 2x +3y =12 的两焦点之间的距离是( A.2 10 C. 2 [答案] D [解析] 椭圆方程 2x +3y =12 可化为: + =1, 6 4
2 2 2 2

)

B. 10 D. 2 2

x2 y2

a2=6,b2=4,c2=6-4=2,∴2c=2 2.
2.(2015?广东文)已知椭圆 + 2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m=( 25 m A.2 C.4 [答案] B [解析] ∵椭圆 + 2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),∴c=4= 25-m ,∴m =9, 25 m ∴m=3,选 B. 3.(2015?海南中学期中考试)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过点 F2 的直 16 9 线交椭圆于点 A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=( A.11 C.9 [答案] A [解析] 由方程知 a =16,∴2a=8,由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|
2

x2

y2

)

B. 3 D. 9

x2

y2

2

2

x2

y2

)

B.10 D.16

=8,∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=16, ∴|AF1|+|BF1|=11,故选 A. 9 4.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0),则点 P 的

a

轨迹是(

) B.线段 D.椭圆或线段

A.椭圆 C.不存在 [答案] D

9 [解析] ∵a+ ≥6,∴|PF1|+|PF2|≥6=|F1F2|,

a

∴选 D. 5. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1、 F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4, ∴△PF1F2 为直角三角形. 6.已知椭圆的两个焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使 得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.射线 [答案] A [解析] ∵|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PQ|+|PF1|=2a, 又∵F1、P、Q 三点共线, ∴|PF1|+|PQ|=|F1Q|,∴|F1Q|=2a. 即 Q 在以 F1 为圆心,以 2a 为半径的圆上. 二、填空题 7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离 分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程为__________ ________. [答案] ) B.椭圆 D.直线 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

x2

y2

)

x2 y2
4

+ =1 3
?a+c=3 ? ? ?a-c=1

[解析] 由题意可得?

,∴?

?a=2 ? ? ?c=1



故 b =a -c =3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 8.过点(-3,2)且与 + =1 有相同焦点的椭圆方程是__________ ________. 9 4 [答案] + =1 15 10

2

2

2

x2 y2

x2 y2

x2

y2

[解析] 因为焦点坐标为(± 5,0),设方程为 2+

x2 y2 =1,将(-3,2)代入方程可得 2 a a -5

9

a

2



4 x y 2 =1,解得 a =15,故方程为 + =1. a -5 15 10
2

2

2

9.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__________ 25-m m+9 ________. [答案] 8<m<25

x2

y2

m+9>0 ? ? [解析] 由题意得?25-m>0 ? ?m+9>25-m
三、解答题

,解得 8<m<25.

10.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.

x y 9 [解析] 当焦点在 x 轴上时, 设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0), 知 2+ a b a
0 =1,又 a=3b,解得 b =1,a =9,故椭圆的方程为 +y =1. 9 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). 0 9 2 2 由椭圆过点 P(3,0),知 2+ 2=1,又 a=3b,联立解得 a =81,b =9,故椭圆的方程
2 2

2

2

x2

2

b2

y2 x2 a b

a

b

为 + =1. 81 9 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y =1. 81 9 9

y2

x2

y2

x2

x2

2

一、选择题

x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4
A.5 C.3 或 5 [答案] C

)

B. 3 或 8 D.20

[解析] 2c=2,∴c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, ∴m=5 或 m=3,故答案为 C. 2.设椭圆的标准方程为 A.k>3 C.4<k<5 + =1,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是( k-3 5-k B.3<k<5 D.3<k<4

x2

y2

)

[答案] C [解析] 由题意得 k-3>5-k>0, ∴4<k<5. 3.若曲线 ax +by =1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a、b 满足( A.a >b
2 2 2 2

)

1 1 B. <

a b

C.0<a<b [答案] C

D.0<b<a

x y 1 1 [解析] 将方程变为标准方程为 + =1,由已知得, > >0,则 0<a<b,选 C. 1 1 a b a b
4.(2015?成都六校协作体期中考试)如果椭圆的两个焦点为 F1(-1,0)和 F2(1,0),P 是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,那么椭圆的方程是( A. + =1 16 9 C. + =1 4 3 [答案] C [解析] ∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即 a=2,c=1, ∴b =a -c =3,∵焦点在 x 轴上,故选 C. 二、填空题 5.若椭圆 + =1 的一个焦点坐标为(0,1),则实数 m 的值为__________ ________. 5 m [答案] 6 [解析] 由题意知,c=1, ∴m-5=1,∴m=6. 6.椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=__________ 9 2 ______;∠F1PF2 的大小为__________ ________. [答案] 2 120° [解析] 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=2, |PF1| +|PF2| -|F1F2| cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| = 16+4-28 1 =- . 16 2
2 2 2 2 2 2

2

2

)

x2

y2

B. + =1 16 12 D. + =1 3 4

x2

y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2

∴∠F1PF2=120°. 三、解答题 7.根据下列条件,求椭圆的标准方程. 1 (1)经过两点 A(0,2),B( , 3); 2 (2)经过点(2,-3)且与椭圆 9x +4y =36 有共同的焦点. [解析] (1)设所求椭圆的方程为 + =1(m>0,n>0,且 m≠n),
2 2

x2 y2 m n

?1 ? ∵椭圆过 A(0,2),B? , 3?. ?2 ?
0 4 ? ?m+n=1, ∴? 1 3 ?4m+n=1, ?
2

解得?

? ?m=1, ?n=4. ?

即所求椭圆方程为 x + =1. 4

y2

x2 y2 (2)∵椭圆 9x +4y =36 的焦点为(0, ± 5), 则可设所求椭圆方程为 + =1(m>0), m m+5
2 2

4 9 又椭圆经过点(2,-3),则有 + =1, m m+5 解得 m=10 或 m=-2(舍去), 即所求椭圆的方程为 + =1. 10 15

x2

y2

x y π 8. 已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任一点,若∠F1PF2= ,求 100 64 3
△F1PF2 的面积. [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n. 根据椭圆定义有 m+n=20, 又 c= 100-64=6,∴在△F1PF2 中, π 2 2 2 由余弦定理得 m +n -2mncos =12 , 3 ∴m +n -mn=144,∴(m+n) -3mn=144, 256 ∴mn= , 3 1 ∴S△F PF = |PF1||PF2|sin∠F1PF2 1 2 2
2 2 2

2

2

1 256 3 64 3 = ? ? = . 2 3 2 3


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