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广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之数列专题一


2013 届高三第二轮复习

数列专题 一

2013-3-26

数列解答题思路的引入:基本量运算, an 与 S n 的关系 1、设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

2、 设数列{an}为前 n 项和为 Sn, 数列{bn}满足: n =nan, b 且数列{bn}的前 n 项和为(n-1)Sn+2n (n

∈N*). (1)求 a1,a2 的值; (2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列;并求出数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)求数列 ?an ? 的通项公式.

* 3、 (2012 年高考(广东理) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n? N , )

且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列.

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列的通项公式; (3)(附加)证明:

4、设数列的前项和为,已知,, , 是数列的前项和. (1)求数列的通项公式; (2)求; (3) (附加)求满足的最大正整数的值.

2013 届高三第二轮复习

数列专题 一

2013-3-26

1、设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 . 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q

解得 q1 ? 2,q2 ?

1 .由题意得 q ? 1 ? q ? 2 .?a1 ? 1 . , 2

故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 由(1)得 a3n?1 ? 23n ?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 又 bn?1 ? bn ? 3ln 2

?{bn } 是等差数列.?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) Ks5u ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 ?
故 Tn ?

3n( n ? 1) ln 2 2

2、 设数列{an}为前 n 项和为 Sn, 数列{bn}满足: n =nan, b 且数列{bn}的前 n 项和为(n-1)Sn+2n (n ∈N*). (1)求 a1,a2 的值;(2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列;(3)求数列的通项公式. 解:(1)由题意得:a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1) Sn +2n; 当 n=1 时,则有:a1=(1-1)S1 +2,解得:a1=2; 当 n=2 时,则有:a1+2a2=(2-1)S2 +4,即 2+2a2=(2+a2)+4,解得:a2=4. (2)由 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn +2n,……① 得 a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1= n Sn+1+2(n+1) , ② ②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2, 分) (4 即 (n+1)(Sn+1- Sn)= nSn+1-(n-1)Sn+2,得 Sn+1=2Sn+2; ∴ Sn+1+2=2(Sn+2), 由 S1+2= a1+2=4≠0 知 数列{ Sn +2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。 (3)方法一: 当时, ,

又也满足上式, ∴. 法 2:由②-①得: , 得. ④ 当时,, ⑤ ⑤-④得:. 由,得,∴. ∴数列是以为首项,2 为公比的等比数列.

∴.

3、 (2012 年高考(广东理) 设数列的前项和为,满足,, ) 且、 、成等差数列. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求数列的通项公式; (3)证明: 解析:(Ⅰ)由,解得. (Ⅱ)由可得(),两式相减, 可得,即, 即,() 由可得,,所以 则,即 所以数列是一个以 3 为首项,3 为公比的等比数列. 所以,即(), (Ⅲ)因为,所以,所以, 于是

4、设数列的前项和为,已知,, 是数列的前项和. , (1)求数列的通项公式; (2)求; (3)求满足的最大正整数的值. (1) 解:∵当时, , ∴. ……………1 分 ∴. ……………2 分 ∵, , ∴.………3 分 ∴数列是以为首项,公比为的等比数列. ∴. ……………4 分 (2) 解:由(1)得: , ……………5 分 ∴ . ………8 分 (3)解: …9 分 Ks5u . …………11 分

令,解得:. 故满足条件的最大正整数的值为.

……………13 分 ……………14 分


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