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山西省四校2016届高三上学期第二次联考数学(文)试题及答案


2016 届 高 三 年 级 第 二 次 四 校 联 考

数学(文)试题
2015.12 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选 项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. )
2 2 1.已知 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? y y ? x ? 3 ,则 A ? B ?

?

?

?

A. ?1, 2 ?

?

?

B. ? 2, 3 ?

?

?

C. ? 3,3?

?

?

D. ? 2, 3 ?

?

?

2 ,则复数 z 的虚部为 i ?1 A. ? 1 B. 0 C. i D. 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知平面向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 3 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的正弦值为
2.若复数 z 满足 z (i ? 1) ?

?

?

A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

4.甲乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小 组,则两人参加同一个小组的概率为 A.

1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

开始

5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实 的个数为 A. 1 6.已知双曲线 C : B. 2 C. 3 D. 4

输入x

数x值


x ? 2?
否 y ? x2 ? 1
输出y
结束

y ? log 2 x

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,右焦点 F 到渐近 a2 b2

线 的

距离为 2 , F 到原点的距离为 3 ,则双曲线 C 的离心率 e 为 A.

5 3

B.

3 5 5

C.

6 3

D.

6 2

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A.28+6 5 C.56+12 5 B.30+6 5 D.60+12 5 项起,每

8.已知数列 2008,2009,1,-2008,…这个数列的特点是从第二

一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2014 项之和 S2014 等于 A.1 B.4 018 C.2 010 D.0

0 9.已知三棱锥 P ? ABC ,在底面 ?ABC 中, ?A ? 60 , BC ? 3 , PA ? 面ABC , PA ? 2 ,

则此三棱锥的外接球的体积为 A.

8 2 ? 3

B. 4 3?

C.

4 2? 3

D. 8?

10. 已知函数 f ( x ) 满足:①定义域为 R ;② ?x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ;③当 x ?[?1,1] 时,

f ( x) ? ? | x | ?1,则方程 f ( x) ?
A.5 B.6

1 log 2 x 在区间 [?3,5] 内解的个数是 2
C.7 D.8

11. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ( 其 中 ? 是 实 数 ) , 若 f ? x ? ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 且

?

6

f ( ) ? f (0) ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2
A. ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? ? C. ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 6 3 ? ? ? 12. 函数 f ( x) ? ?

?

?

?

??

B. ? k? , k? ? ? (k ? Z ) 2? ? D. ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 2 ? ?

?

??

?

?

2? ?

?

?

?

?2 x3 ? 3 x 2 ? 1( x ? 0) ? 在 ? ?2,3? 上的最大值为 2 ,则实数 a 的取值范围是 ax ? ?e ( x ? 0),
B. [0, ln 2]

A. [ ln 2, ??)

1 3

1 3

C. (??, 0]

D. (??, ln 2]

1 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 f ( x) ? ax ln x ? 1, x ? (0, ??) ( a ? R ) , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数, f ?(1) ? 2 ,则 a ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14. 若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
15. 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F, 其准线与双曲线 x ? y ? 1相交于 A, B 两点, 若△ ABF 为
2 2 2

等边三角形,则 p =

16. 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 a cos B ? b cos A ? 取最大值时,角 B 的值为

1 当 tan( A ? B ) c, 2

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,a1 ? 1 ,公比为 q ;等差数列 ?bn ? 中,b1 ? 3 ,且 ?bn ? 的前 n 项 和为 Sn , a3 ? S3 ? 27, q ?

S2 . a2

(Ⅰ)求 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

3 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2Sn

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是正三角形,点 D 是

A1 B1 中点, AC ? 2 , CC1 ? 2 .
(Ⅰ)求三棱锥 C ? BDC1 的体积; (Ⅱ)证明: A1C ? BC1 .

19. (本小题满分 12 分) 某地随着经济的发展, 居民收入逐年增长, 下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款 (年底余额) , 如下表 1: 年份 x 储蓄存款 y(千亿元) 2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, t ? x ? 2010, z ? y ? 5 得到下表 2: 时间代号 t z (Ⅰ)求 z 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出 y 关于 x 的回归方程; 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5

(Ⅲ)用所求回归方程预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达多少?

?? ? ?a ? ? bx ? ,其中 b (附:对于线性回归方程 y

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ) ? ? y ? bx ,a

2 i

? nx

2

20. (本小题满分 12 分) 如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (2,0) ,与 y 轴正半轴相交于两点 (点 M 在点 N 的下方) ,且 MN ? 3 . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆
M,N

x2 y 2 ? ? 1 相 交 于 两 点 A、B , 连 接 AN、BN , 求 证 : 8 4

?ANM ? ?BNM .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x ( a ? R ). x

(Ⅰ)若 h( x) ? f ( x) ? 2 x ,当 a ? ?3 时,求 h( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有唯一的零点,求实数 a 的取值范围.

选做题:请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC中,AB ? AC , D为?ABC 外接圆劣弧 ? AC 上的点 点 A 、 C 重合) ,延长 BD 至 E , 延长 AD 交 BC 的延长线于 (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ? 为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ? 第 22 题 图 (不与

F.

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?

( ? 为参数),以直角坐标系原点为极点, x 轴正半轴

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m, m ? 0, f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? .

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 ?x ? R ,使得 f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ?

3 t ? 1 成立,求实数 t 的取值范围. 2

2016 届高三四校第二次联考文科数学试题参考答案
一、选择题 CBDAC 二、填空题 13. 2 三、解答题 17.解: ?1? 设数列 ?bn ? 的公差为 d ,? a3 ? S3 ? 27, q ? BBCAA CD

14. 4

15. 2 3

16.

? 6
S2 a2

? q2 ? 3d ? 18,6 ? d ? q2 , q ? 3, d ? 3 4 分
an ? 3n?1 , bn ? 3n , 6 分

? 2 ? 由题意得: Sn ?

? 1 n ? 3 ? 3n ? 3 3 2? 1 1 ? ? ? ? ? , cn ? ? ? ? 2Sn 2 3 ? n ? n ? 1? ? n n ? 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 12 分. 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
18. 证明: (Ⅰ) VC ?BDC1 ? VD?BCC1 1 分 过 D 作 DH ? C1 B1 ,直三棱柱中 C1 B1 ? 面 A1 B1C1 ? C1 B1 ? DH ,

? DH ? 面 BCC1 ,? DH 是高? DH =

3 , 3分 2

S ?BCC1 ?

1 1 3 6 ? 2 ? 2 ? 2 ,?VC ? BDC1 ? VD ? BCC1 ? ? ? 2? 6分 2 3 2 6

(Ⅱ)取 C1 B1 的中点 E,连接 A1 E, CE 底面是正三角形,? A1 E ? B1C1 8 分 矩形 C1 B1 BC 中, RT? C1CE 中, C1C ?

2, C1 E ? 1 ,

RT? BCC1 中, BC ? 2, CC1 ? 2 ,?

C1C C1 E ? ,? ?C1CE ∽ ?BCC1 , BC CC1

? ?C1 BC ? ?EC1C , ?C1 BC ? ?BC1C ? 900 ,? ?ECC1 ? ?BC1C ? 900 ,

?CE ? BC1 10 分 ? BC1 ? 面 A1CE ,? A1C ? BC1 12 分
19.解: (1) t ? 3, z ? 2.2

? t i zi ? 45, ? ti ? 55,
2 i ?1 i ?1

5

5

? ? 45 ? 5 ? 3 ? 2.2 ? 1.2 , a ? ? z ? bt ? 2.2 ? 3?1.2 ? ?1.4 b 55 ? 5 ? 9
? z ? 1.2t ? 1.4 6 分
(2) t ? x ? 2010, z ? y ? 5 ,代入 z ? 1.2t ? 1.4 得到:

y ? 5 ? 1.2( x ? 2010) ? 1.4 ,即 y ? 1.2 x ? 2408.4 9 分
(3)? y ? 1.2 ? 2020 ? 2408.4 ? 15.6 ,

? 预测到 2020 年年底,该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元 12 分
20.解: (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆心坐标为 ( 2, r ) .



MN ? 3 ∴

25 ?3? r 2 ? ? ? ? 22 ,解得 r 2 ? . 2分 4 ?2?
2 2

2

5? 25 ? ∴ 圆 C 的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? ? ? . 4分 2? 4 ? 5? 25 ? 2 (Ⅱ)把 x ? 0 代入方程 ?x ? 2? ? ? y ? ? ? ,解得 y ? 1 或 y ? 4 , 2? 4 ?
即点 M (0,1), N (0,4) . 6 分 (1)当 AB ? y 轴时,可知 ?ANM ? ?BNM =0. (2)当 AB 与 y 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 .
2

联立方程 ?

? y ? kx ? 1 ?x ? 2 y ? 8
2 2

,消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 6 ? 0 . 8 分
2 2

设直线 AB 交椭圆 ? 于 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两点,则

x1 ? x 2 ?

? 4k ?6 , x1 x 2 ? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ k AN ? k BN ?

y1 ? 4 y 2 ? 4 kx1 ? 3 kx2 ? 3 2kx1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

若 k AN ? kBN ? 0 ,即 ?ANM ? ?BNM 10 分 ∵ 2kx 1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ?

? 12 k 12 k ? ?0, 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ ?ANM ? ?BNM . 12 分 21. 解: (1) h( x) 定义域为 (0, ??) ,

h?( x) ? ?

1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? 2 ? ? ?? 2 2 x x x x2

……2 分

? 1? ? h( x) 的单调递减区间是 ? 0, ? 和 ?1, ?? ? .……4 分 ? 2?
1 有唯一的实根 x 1 显然 a ? 0 ,则关于 x 的方程 x ln x ? 有唯一的实根 a
(2)问题等价于 a ln x ? 构造函数 ? ( x) ? x ln x, 则 ? ?( x) ? 1 ? ln x, 由 ? ?( x) ? 1 ? ln x ? 0, 得 x ? e
?1 ?1

(6 分)

当 0 ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 单调递减 当 x ? e 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 单调递增
?1

所以 ? ( x) 的极小值为 ? (e ) ? ?e
?1

?1

(8 分)

1 的唯一的实根, a 1 1 1 ?1 只需直线 y ? 与曲线 y ? ? ( x) 有唯一的交点,则 ? ?e 或 ? 0 a a a 解得 a ? ?e或a ? 0
如图,作出函数 ? ( x) 的大致图像,则要使方程 x ln x ? 故实数 a 的取值范围是 ??e? ? (0, ??) (12 分)

22.解析: ?1? 证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆

? ?CDF ? ?ABC .

? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,
? ?CDF ? ?EDF
5分

? 2 ? 由 ?1? 得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB ,
所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? AB 2 ? AD ? AF , ? AF AB

又? AB ? AC ,

? A B ? A C?

A D ? ,? A AB F ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .
23.解: ?1? ∵曲线 C 的参数方程为 ?
2

10 分 (α 为参数)

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?
2

∴曲线 C 的普通方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 10 曲线 C 表示以 ? 3,1? 为圆心, 10 为半径的圆。 将?

? x ? ? cos? 代入并化简得: ? ? 6cos ? ? 2sin ? ? y ? ? sin ?
. 5分

即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? 2sin ?

? 2 ? ∵的直角坐标方程为 y ? x ? 1
∴圆心 C 到直线的距离为 d ?

9 3 2 ∴弦长为 2 10 ? ? 22 . 10 分 2 2

24.解: ?1? 因为? f ? x ? ? x ? 3 ? m ,所以 f ? x ? 3? ? x ? m ? 0 ,

? m ? 0 ,? x ? m 或 x ? ? m ,又? f ? x ? 3? ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? .
故 m=2 . 5分

? 2?

3 3 f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ? t ? 1 等价于不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?t 2 ? t ? 3 , 2 2

? ? x ? 4, x ? ?3 ? 1 ? g ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?3x ? 2, ?3 ? x ? 2 ? 1 ? ? x ? 4, x ? ? , 8分 ? 2
(本处还可以用绝对值三角不等式求最值) 故 g ( x) max ? g ( ) ?

1 2

1 7 7 3 2 ,则有 ? ?t ? t ? 3 ,即 2t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 或 t ? 1 2 2 2 2

即实数的取值范围 ? ??, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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