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2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例教学案


第三章 三角函数、 三角恒等变换及解三角形第 8 课时 解三角 形应用举例 第四章 (对应学生用书(文)、(理)55~56 页) 考情分析 正余弦定理在应用题中的应用. 考点新知 能准确地建立数学模型,并能用正弦定 理和余弦定理解决问题. 1. (必修 5P11 习题 4 改编)若海上有 A、B、C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里, ∠BAC=60°,∠ABC=75°,则 B、C 间的距离是________海里. 答案:5 6 解析:由正弦定理, 知 BC AB = , sin60° sin(180°-60°-75°) 解得 BC=5 6(海里). 2. (必修 5P20 练习第 4 题改编)江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部 在同一水面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 60°, 而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m. 答案:10 3 解析:如图,OA 为炮台,M、N 为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°, OM = AOtan45 ° = 30 , ON = AOtan30 ° = 900+300-2×30×10 3× 3 × 30 = 10 3 , 由 余 弦 定 理 , 得 MN = 3 3 = 300=10 3(m). 2 3. (必修 5P18 例 1 改编)如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 m 的 C、D 两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是__________ m. 答案:20 6 解析:由已知知△BDC 为等腰直角三角形,故 DB=40;由∠ACB=60°和∠ADB= 第 1 页 共 9 页 60°知 A、B、C、D 四点共圆, 所以∠BAD=∠BCD=45°; 在△BDA 中,运用正弦定理可得 AB=20 6. 4. (必修 5P21 习题 2 改编)某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿 南偏东 40°方向前进 10 m 到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30°,则塔高为________m. 答案:10 解析:如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45° ,则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD= 3h. 在△OCD 中,∠OCD=120°,CD=10. 由余弦定理得 OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos120°, ∴ h2-5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍). 5. 如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 mkm 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 nkm 范围内(包括边界)有暗 礁,现该船继续东行.当 α 与 β 满足条件________时,该船没有触礁危险. 答案:mcosαcosβ>nsin(α-β) 解析:∠MAB=90°-α,∠MBC=90°-β=∠MAB+∠AMB=90°-α+∠AMB, BM m ∴ ∠AMB=α-β.由题可知, 在△ABM 中, 根据正弦定理得 = , sin(90°-α) sin(α-β) mcosα mcosαcosβ 解得 BM= .要使船没有触礁危险,需要 BMsin(90°-β)= >n,所以 sin(α-β) sin(α-β) α 与 β 满足 m

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