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07-08高等数学(下)期中考试试卷答案(6学分)


浙江工商大学 2007/2008(二)《高等数学》课程期中考试试卷答案 适用专业 计算机与信息工程

2007 2008 学年第二学期高等数学期中考试试卷 高等数学期中考试试卷答案 2007/2008 学年第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分) ( 1. π ;
6

2. 4( y 2 + z 2 ) = (4 ? x) 2 ;

3.

2 (ln 2 ? 1) ; 2

4. 2 6 ;

5. 1 .
2

二、单项选择题(每小题 3 分,满分 15 分) 单项选择题 单项选择 1. B ; 2. C ; 3. C ; 4. C ; 5. C .

三、解答题(一)(每小题 7 分,满分 49 分) 1.解 所求平面的法向量
r n = 3 1 0 = (?4 , 12 , 2) = 2(?2 , 6 , 1) , 1 1 ?4 r i r j r k

顾所求平面方程为: ? 2( x ? 1) + 6( y + 2) + ( z ? 1) = 0 ,即 ? 2 x + 6 y + z + 13 = 0 .
y ?z ? 2 z 2 .设 z = xf ( ) + 2 yg ( x 2 , xy ) ,其中 f 可导, g 有二阶连续偏导数,求 , 2 。 x ?x ?x 2.解
y y ?z = f + xf ′ ? (? 2 ) + 2 yg1 ? 2 x + 2 yg 2 ? y = f ? f ′ + 4 xyg1 + 2 y 2 g 2 , ?x x x

y y y y ?2z = f ′ ? (? 2 ) + 2 f ′ ? f ′′ ? (? 2 ) + 4 yg1 + 4 xy ( g11 ? 2 x + g12 ? y ) + 2 y 2 ( g 21 ? 2 x + g 22 ? y ) 2 ?x x x x x y = 3 f ′′ + 4 yg1 + 8 x 2 yg11 + 8 xy 2 g12 + 2 y 3 g 22 . x

3.解

方程两边取微分,得
dz ? dx ? dy + e z-x-y dx + xe z ? x ? y (dz ? dx ? dy ) = 0 ,

解得 4.解
5.解

dz =

1 + xe z ? x? y ? e z ? x ? y dx + dy . 1 + xe z ? x ? y
1 y

原式= ∫ dy ∫
0

xy 1+ y
3

0

dx =



1

0

1 1 1 ? x 2 |0 y dy = 1 + y 3 |1 = ( 2 ? 1) . 0 2 3 3 1+ y
3

y

曲线 xy = 1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2 .

∫∫ max{xy , 1}dxdy = ∫∫ xy dxdy + ∫∫ dxdy
D
D1
2 2

y
2
2 2 1 x

D1
1 2

= ∫1 dx ∫1 xydy + ∫0 dx ∫0 dy + ∫1 dx ∫0 dy
2

D1
D2
O
1 2

x

2

= 15 ? ln 2 + 1 + 2 ln 2 4 = 19 + ln 2 .
4
1

2

x

浙江工商大学 2007/2008(二)《高等数学》课程期中考试试卷答案 适用专业 计算机与信息工程

6.解

? 在 xOy 面上的投影区域为 D : x 2 + y 2 ≤ 1 .

∫∫∫
?

z x 2 + y 2 dv =

∫∫
Dxy

x2 + y 2



1 x2 + y

z dz = 2

1 [ x 2 + y 2 ? ( x 2 + y 2 ) 2 ]dxdy 2D

∫∫
xy

3

2π 1 = 1 ∫ dθ ∫ ( r 2 ? r 4 ) dr = 2 π .

2

0

0

15

7.解

1 lim 4 t →0+ t

∫∫∫ f (
?

x +y +z
2 2

2

∫ )dv = lim
t →0 +



0





π

0

d?



t

0

f (r ) ? r 2 sin ?dr

t4



= lim +
t →0



t

f ( r ) r 2 dr t
4

0

= lim +
t →0

4πf (t )t 2 4t 3

= π lim +
t →0

f (t ) ? f (0) = πf ′(0) . t ?0

四、解答题(二)(第一小题 10 分,第二小题 11 分,满分 21 分) 1.解 过 L 的平面束方程为: 2 x ? 3 y ? z + 1 + λ ( x + y + z ) = 0 ,即
(2 + λ ) x + (λ ? 3) y + (λ ? 1) z + 1 = 0 .

因 P( 2 , 1, ? 1) 在 π 1 上,则有
(2 + λ ) ? 2 + (λ ? 3) ? 1 + (λ ? 1) ? (?1) + 1 = 0

解得 λ = ? 3 .
2

所以 π 1 方程为: 1 x ? 9 y ? 5 z + 1 = 0 .
2 2 2

又由于 π 1 , π 2 垂直,所以
1 9 5 (2 + λ ) ? (λ ? 3) ? (λ ? 1) = 0 , 2 2 2

解得 λ = 34 .
13

所以 π 2 方程为: 60 x ? 5 y + 21z + 13 = 0 . 2.解
2 设 M ( x0 , y0 , z0 ) 为椭球面上的所求的一点.令 F = x 2 + y 2 + z ? 1 ,则在点 M 处切

4

平面的法向量 n = {Fx , Fy , Fz ) = {2 x0 , 2 y0 , 1 z0 } ,所以切平面的方程为
2 2 x0 ( x ? x0 ) + 2 y0 ( y ? y0 ) + 1 1 z ( z ? z0 ) = 0 即 x0 x + y0 y + z0 z = 1 . 2 0 4

r

z2 所以,截距的平方和为: f = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 4 ) 2 ,且 x 02 + y 02 + 0 ? 1 = 0 . x0 y0 z0 4

2

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z2 令 G = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 4 ) 2 + λ ( x02 + y02 + 0 ? 1) ,解 x0 y0 z0 4
? ?Gx0 = ?2 x0 3 + 2λx0 = 0 ? ?3 ?G y0 = ?2 y0 + 2λy0 = 0 ? ?G = ?32 z ?3 + 1 λz = 0 0 ? z0 2 0 ? z2 2 2 ?Gλ = x0 + y0 + 0 ? 1 = 0 4 ?

得惟一驻点 x0 = y0 = 1 , z0 = 2 ,故所求点为 ( 1 , 1 , 2 ) ,此时, f min = 16 .
2 2 2

3



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